Argomento: Teorema Centrale del Limite (pag 537 e seguenti) e distribuzioni bivariate continue. La v.c. normale bivariata
NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni quando necessario
Esercizio 1
1) Si trovi il valore della costante k per cui
f(x,y) = k + e−x−y (x,y>0)
rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
2) Si determinino le funzioni di ripartizione delle v.c. marginali.
3) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
4) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti, motivando la risposta.
5) Si stabilisca se X e Y sono identicamente distribuite, motivando la risposta.
Siano X1,…,Xn v.a. indipendenti e distribuite come X e si consideri la v.c. somma S = ∑Xi.
6) Si determini la distribuzione di S.
7) Si stabilisca se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema Centrale del Limite e si determini un’approssimazione Normale per S nel caso in cui n = 150.
Soluzione 1. k = 0.
Infatti:
[ ] [ ]
e e kdxdy 1dy kdx dy
e dx e dy kdx dy
dx e k
0 0 0 y 0
x
0 0
0 0
y x
0 0 0 0
y
x = + = + − × − = +
+
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫∫
∞ ∞ ∞ − ∞ − ∞ ∞ − ∞ − ∞ ∞ ∞∞ ∞ − −
. L’ultimo integrale è illimitato qualunque sia il valore di k≠0.
Per k=0 la funzione integra 1 sul suo supporto ed è su esso positiva.
2. Le funzioni di ripartizione delle v.c. marginali risultano:
− G(x) = x
x
0 t x
0 0
y t x
0 0 y
t dydt e e dydt e dt 1 e
e − −
∞ −
∞ −
−
− =
∫ ∫
=∫
= −∫∫
(x>0),G(x) = 0 (x≤0);
2
− H(y) = y
y
0 t y
0 0
x t y
0 0 t
x dxdt e e dxdt e dt 1 e
e − −
∞ −
∞ −
−
− =
∫ ∫
=∫
= −∫∫
(y>0),H(y) = 0 (y≤0).
3. Le funzioni di densità delle v.c. marginali risultano:
− g(x) = dx
) x (
dG =e−x (x>0) (esponenziale negativa di parametro unitario);
− h(y) = dy
) y (
dH =e−y (y>0) (esponenziale negativa di parametro unitario);
4. X e Y sono indipendenti essendo g(x)h(y)=f(x,y).
5. X e Y sono identicamente distribuite (esponenziali negative con parametro unitario).
Siano X1,…,Xn v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = ∑Xi. 6. S ha distribuzione Gamma(n,1).
Il risultato consegue dalla proprietà riproduttiva della gamma essendo l’esponenziale negativa una gamma di parametri (1, θ). In particolare nel presente esercizio θ=1.
7. Le ipotesi del Teorema Centrale del Limite sono soddisfatte.
Infatti le n v.c. sono indipendenti e identicamente distribuite (essendo tutte distribuite come X e quindi v.c. esponenziali negative di parametro unitario) con media e varianza finite (pari a 1).
Dunque, al divergere di n, la successione di v.c.
{ }
Zn con) S ( Var
) S ( E
Zn = S− è tale che
) 1 , 0 ( N Z
d
n→ .
Essendo n grande (n=150) Znè approssimativamente distribuita come una N(0,1) e quindi S è approssimabile con una Normale con media e varianza entrambe pari a 150.
Per il calcolo della media e della varianza si osservi che E(X)= Var(X) = 1 da cui:
E(S)=E X 150E
( )
X 1501 i
i 150
1 i
i= =
∑ ∑
=
=
e
Var(S)=Var X 150Var
( )
X 1501 i
i 150
1 i
i= =
∑ ∑
=
=
(si ricordi che le Xi sono indipendenti).
Oppure si può osservare che, se S è una gamma(150,1), allora E(S)=Var(S)=150.
4
Esercizio 2
1. Si trovi il valore della costante k per cui
( )
k y y e, x f
−x
= (x>0, 0<y<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
2. Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
3. Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e identicamente distribuite, motivando la risposta.
Siano X1,…,Xn v.c. indipendenti e distribuite come X e si consideri la v.c. somma
∑
== n
1 i
i
n X
S .
4. Si determini la distribuzione di Sn.
5. Dopo aver verificato che le ipotesi del Teorema Centrale del Limite sono soddisfatte, si determini un’approssimazione Normale per Sn nel caso in cui n = 400 e, sulla base di questa, si calcoli P(350<Sn<450).
6. Si stabilisca il limite a cui converge in probabilità Sn/n motivando la risposta fornita.
Soluzione
1. k = 1/2.
Infatti si ha
[ ] [ ] 1
2 k ) 1 1 0 2 ( 1 k e 1
2 y k dx 1 e k ydy dxdy 1 y k e
dxdy 1 k
y e
0 x 1
0 1 2
0 0
x 1
0 0 x 1
0 0
x − = − − = =
=
=
= ∞ − ∞ − − ∞
∞ −
∫∫ ∫ ∫
∫∫
2. Le funzioni di densità delle v.c. marginali risultano:
g(x) = e-x (x>0);
infatti 1 x
[ ]
210 x0
xydy e y e
e 2 ) x (
g =
∫
− = − = −h(y) = 2y (0<y<1).
infatti h(y) 2e ydx 2y
[ ]
e x 0 2y0
x = − =
=∞
∫
− − ∞3. X e Y sono indipendenti, ma non sono identicamente distribuite.
Infatti g(x) = e−x ≠ 2y = h(y) per un generico x e y g(x) h(y) = e−x2y = f(x,y) per ogni x e y.
4. Nel seguito si pone per semplicità Sn=S.
S ha distribuzione Gamma(n,1).
Il risultato discende dall’osservare che X ha distribuzione esponenziale di parametro 1 ovvero X è una v.a. Gamma(1,1).
X1,…,Xn sono quindi n v.c. gamma di parametro (1,1)
Il risultato consegue dalla proprietà riproduttiva della gamma rispetto al parametro di forma α con riferimento ad una parametrizzazione del tipo t 1e t
) ) (
, , t
( α− −θ
α
α Γ
= θ θ α
ϕ nel
caso particolare in cui θ=1 (esponenziale negativa).
5. Le ipotesi del Teorema Centrale del Limite sono soddisfatte.
Infatti le n v.c. sono indipendenti e identicamente distribuite (essendo tutte distribuite come X e quindi v.c. esponenziali negative di parametro unitario) con media e varianza pari a 1.
Dunque la successione di v.c.
{ }
Zn con) S ( Var
) S ( E
Zn = S− è tale che Z N(0,1)
d
n→ .
Essendo n grande (n=400) Znè approssimativamente distribuita come una N(0,1) e quindi S è approssimabile con una Normale con media e varianza entrambe pari a 400.
Per il calcolo della media e della varianza si osservi che E(X)= Var(X) = 1 da cui:
E(S)=E X 400E
( )
X 4001 i
i 400
1 i
i= =
∑ ∑
=
=
e
Var(S)=Var X 400Var
( )
X 4001 i
i 400
1 i
i= =
∑ ∑
=
=
(si ricordi che le Xi sono indipendenti).
Infine si ha
P(350<S<450) = 0.9938-0.0062
2 Z 5 2 P 5 20
400 Z 450
20 400
P 350 =
− < <
=
− < < −
=0.9876.
6
Esercizio 3
Sia (X,Y) una variabile casuale normale bivariata di parametri µX, µY, σX, σY e ρ. Si determini:
1. le distribuzioni marginali di X e Y;
2. la fdd condizionata φ(x|y) e φ(y|x);
3. la media e la varianza della v.a. media aritmetica Z=(X+Y)/2 nel caso di ρ=0;
4. la media e la varianza della v.a. W=(X+Y)/2 nel caso di ρ≠0.
5. Qual è la distribuzione della variabile Z?
Soluzione
La funzione di densità di una normale bivariata è data da:
( )
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
− −
ρ
− σ
= πσ ρ σ σ µ µ φ
2
Y Y Y
Y X
X 2
X X 2
Y Y 2 X
X 1 2
1
2 Y
X Y
X Y
X e
1 2
) 1 , , , , , y , x (
1) Distribuzione marginale di X
( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
∫
∞ +
∞
−
σ
µ ρ −
−
σ
µ ρ −
+
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ − ρ −
− −
σ
µ
− ρ
−
−
∞ +
∞
−
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ − ρ −
− −
σ
µ
− ρ
−
−
∞ +
∞
−
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
−
−
ρ
− σ σ π
= π
ρ =
− σ σ π
= π
ρ =
− σ
= πσ σ
µ ϕ
dy e
1 2
e 1 2
1
dy e
1 2
e 1 2
1
dy e
1 2
) 1 , , x (
2
X X 2 2
X X 2 2
Y Y Y
Y X
X 2
2
X X 2
2
Y Y Y
Y X
X 2
2
X X 2
2
Y Y Y
Y X
X 2
X X 2
x x
y y 2 x 1 2
1
2 Y
x 1 2
1
X
y y 2 x 1 2
1
2 Y
x 1 2
1
X
y y 2 x x 1 2
1
2 Y
X X
X
posto
Y
y Y
t σ
µ
= − da cui y=µY +σYt e dy=σYdt si ha
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
∫
( )∫
∫
∞ +
∞
−
σ
µ ρ − ρ −
− −
σ
µ ρ − ρ −
−
−
∞ +
∞
−
σ
µ ρ − ρ −
− −
σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
−
−
∞ +
∞
−
σ
µ ρ − ρ −
− −
σ
µ ρ − ρ −
− −
σ
µ
− ρ
−
−
ρ
− σ π
= π
ρ
− σ π
= π
ρ σ
− σ σ π
= π σ µ ϕ
dt e
1 2 e 1
2 1
dt e
1 2 e 1
2 1
dt e
1 2 e 1
2 e ) 1 , , x (
2
X X 2 2
X 2 X 2
2
X X 2 2
X 2 X 2
X X 2
2
X X 2 2
X 2 X 2 2
X X 2
t x 1 2
1
2 1 x
1 2
1
X
t x 1 2
1
2 x
x 1 2
1
X
Y t x
1 2
1
2 Y x
1 2 x 1 1 2
1
X X
X
da cui
) , , x ( 2 e
) 1 , , x
( X X
x 2 1
X X
X
2
X X
σ µ φ σ =
= π σ µ
ϕ
σ
µ
− −
essendo:
∫
( ) +∫
∞∞
−
∞ +
∞
−
σ
µ ρ − ρ −
− −
=
−ρ
σ µ ρ − + µ φ ρ =
−
π x ,1 dt 1
, t dt
e 1 2
1 2
X X Y
t x 1 2
1
2
2
X X 2
Si osservi la notazione, usata dal libro di testo, di indicare con ϕ(x) la generica funzione di densità di una variabile casuale e con φ(x) la fdd della normale
In modo analogo, ripetendo la stessa procedura invertendo il ruolo di X e Y, si ha:
) , , y ( ) , , y
( µY σY =φ µY σY ϕ
2) distribuzione (fdd) condizionata Y|X
) , , x (
) , , , , , y , x , (
, , , , x
| y (
X X
Y X Y X Y
X Y
X φ µ σ
ρ σ σ µ µ
= φ ρ σ σ µ µ
ϕ (def. di distribuzione condizionata)
( )
( )
( ) ( )
σ
µ ρ −
−
−
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
−
−
σ
µ
−
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
−
−
σ
µ
− −
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
−
−
ρ
− σ
= π
ρ
− σ
= π
σ π ρ
− σ
= πσ ρ σ σ µ µ ϕ
2
X 2 X 2
Y Y Y
Y X
X 2
X X 2
2
X X 2
Y Y Y
Y X
X 2
X X 2
2
X X
2
Y Y Y
Y X
X 2
X X 2
1 x y y 2 x x 1 2
1
2 Y
x 2 y 1 y 2 x x 1 2
1
2 Y
x 2 1
X
y y 2 x x 1 2
1
2 Y X Y
X Y X
e 1 2
1
e e
1 2
1
2 e 1 e 1 2
1 )
, , , , , x
| y (
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 X X Y 2 Y
Y 2
X X Y
Y 2
2
Y Y Y
Y X
X 2
X 2 X 2
x 1 y
2 1
2 Y
x y 1 2
1
2 Y
y y 2 x 1 x
1 1 2
1
2 Y Y
X Y X
e 1 2
1
e 1 2
1
e 1 2 ) 1 , , , , , x
| y (
−µ
σ ρσ
− µ σ − ρ
−
−
σ
µ ρ −
−
σ
µ
− ρ
−
−
σ
µ + −
σ
µ
− σ
µ ρ −
−
σ
µ ρ − + ρ −
−
−
ρ
− σ
= π
ρ
− σ
= π
ρ
− σ
= π ρ σ σ µ µ ϕ
8
( ) ( )
−µ −ρ σ
σ ρσ + µ φ
= σ µ
ϕ X 2 2Y
X Y Y X
| Y X
|
Y , ) y, x ,1
, x
| y ( Si noti:
− la media condizionata è una funzione lineare della variabile condizionante. La pendenza della retta non dipende solo dalla correlazione esistente fra X e Y ma anche dalla loro variabilità;
− la media condizionata non dipende dalla variabile condizionante se ρ=0 (condizione quest’ultima che implica l’indipendenza nel caso della normale bivariata), caso in cui si ha
Y X
|
Y =µ
µ (il valore atteso condizionato coincide con quello marginale);
− la varianza condizionata non dipende dai valori di X (proprietà di omoschedasticità)
− la varianza condizionata è non superiore a quella marginale essendo 1−ρ2≤1. Esse coincidono se ρ=0.
In modo analogo, ripetendo la stessa procedura invertendo il ruolo di X e Y, si ha:
( ) ( )
−µ −ρ σ
σ ρσ + µ φ
= σ µ
ϕ 2X
2 Y
Y X X
Y
| X Y
|
X , ) x, x ,1
, y
| x (
3) 2 2
Y) ( E E(X) 2
Y E X
E(Z) = + =µX+µY
+
=
Si noti che se E(X)=E(Y)=µ, allora il valore atteso della la media aritmetica delle due v.a. è pari a µ
4 4
Y) ( Var Var(X) 2
Y Var X
Var(Z)
2 Y 2 X+σ
=σ
= +
+
= Si noti che se X
=dY con varianza σ2 allora
Var(Z) 2 σ2
= .
4) E(W)=
2
Y X+µ
µ (=E(Z))
4 2 4
Y) Cov(X, 2
Y) ( Var Var(X) 2
Y Var X
Var(W) X Y
2 Y 2
X+σ + ρσ σ
= σ +
= +
+
=
Si noti che la varianza della v.a. “media aritmetica” nel caso di correlazione tra le variabili è maggiore o minore della varianza della v.a.”media aritmetica” nel caso di assenza di correlazione, a seconda che la correlazione sia, rispettivamente, positiva o negativa
5) Nel caso di indipendenza fra X e Y, U=X+Y ha distribuzione normale con media µX + µY
e varianza σ2X+σ2Y per la proprietà riproduttiva della normale rispetto al valore atteso e alla varianza.
) z 2 U ( P ) z 2 / U ( P ) z Z ( P ) z (
F = ≤ = ≤ = ≤ =Φ(2z, µX + µY, σ2X+σ2Y)
( ) ( )
( ) 2
2 Y 2 X
Y
z X
2 2 1
2 Y 2 X 2
Y 2 X Y
X e
2 2 1 ,
, z 2 dz 2
) z ( ) dF z
(
σ + σ
µ + µ
− −
σ + σ
= π σ + σ µ + µ φ
=
= ϕ
( ) ( )
( )
µ +µ σ +σ
φ σ =
+ σ
= π σ
+ σ
= π
ϕ
σ + σ
µ +µ
−
−
σ + σ
µ +µ
−
−
, 4 , 2
z e
4 / 2
e 1 4 / 2
) 1 z (
2 Y 2 X Y X 4
/ z 2 2 1
2 Y 2 X z 2
2 2 1
2 Y 2 X
2
2 Y 2 X
Y X 2
2 Y 2 X
Y X
.
