Calcolo delle Probabilità: esercitazione 7

Calcolo delle Probabilità: esercitazione 7

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Argomento: variabili casuali continue e loro trasformazioni (pag 125 e seguenti del libro di testo), distribuzione rettangolare continua (pag 405 e seguenti del libro di testo). Mediana e quantile

NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni quando necessario

Esercizio 1

1) Si trovi il valore della costante k per cui la funzione f(x) = 2kx + 3(kx)² (0<x<1)

rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X assumendo k>0.

2) Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X.

3) Si calcoli il valore atteso E(X).

Soluzione

1) La funzione f(x) = 2kx + 3(kx)² (0<x<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c.

unidimensionale X per k = (√5 – 1) / 2 = 0.618.

Infatti dalla condizione (si veda libro di test pag 127)

∫

0

1 dx ) x (

f discende kx k x ¹ 1

0 3 2

2 + = da cui

k = ( 5 – 1) / 2 e k’ = – ( 5 + 1) / 2.

L’unica soluzione accettabile è quindi k = ( 5 – 1) / 2.

2) La funzione di ripartizione della v.c. X è data da:

F(x) = 0 per x≤0,

F(x) =

∫

x

0

x 0 3 2

2 k u

ku du ) u (

f = kx² + k²x³ per 0<x<1 F(x) = 1 per x≥1.

3) E(X) =

∫

(

)

0

2 2x dx k 3 kx 2

x 0.6985.

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Esercizio 2

Sia X una v.c. Rettangolare sull’intervallo (0,1) e si definisca Y = log(X).

1. Si determinino la funzione di ripartizione e la funzione di densità della v.c. Y.

2. Si calcolino la mediana, la media e il 95-esimo percentile di Y.

3. Si determini la funzione generatrice dei momenti delle variabili X e si calcoli tramite essa il valore atteso di X

4. Si calcoli la funzione generatrice dei momenti di Y e si determini var(Y).

Soluzione

Sia X una v.c. Rettangolare sull’intervallo (0,1) con f.r. F(x) e f.d. f(x).

Sia inoltre Y = log(X).

Si noti che se 0<X<1 allora −∞<Y<0, supporto della variabile aleatoria Y.

1. H(y) = P(Y≤y) = P(log X ≤ y) = P(X ≤ exp y) = F(exp y) = exp(y) per y<0 e

H(y) = 1 per y≥0.

La f.d. della v.c. Y risulta h(y) =H’(y) = exp(y) (y<0).

2. La mediana di Y si ottiene risolvendo l’equazione H(y) =

2 ) 1 y

exp( = che ha come soluzione y = −log2 = −0.69.

Il 95-esimo quantile di Y si ottiene risolvendo l’equazione

H(y) = exp(y)=0.95 che ha come soluzione y = log 0.95 = −0.051.

E(Y) =

∫

∞

− 0

yh(y)dy = −1. (integrazione per parti)

3.

( )

t 1 e t

dx e e e

E ) t ( G

1 t

0 1 tx

0 tx tx

X

= −



 



=

=

=

∫

( )

2 t t

X t

1 e ) te

t ( '

G = − − per t≠0.

) t ( '

G_X come del resto G_X(t) non sono definite per t=0.

Estendiamo allora tali funzioni per continuità sullo 0 ovvero poniamo 1

e t lim

1 lime ) 0 (

G ^t

0 t t

0

X = t − = =

→

→ applicando la regola dell’Hopital e

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( )

2 1 2 lime t

2 e e limte t

1 e limte

) 0 ( ' G

t

0 t t t t

0 2 t

t t

0

X = t − − = + − = =

→

→

→ applicando la regola dell’Hopital.

Da cui si ricava E(X) = 0.5.

4. ^{G (t) E}

( )

0 1 1 t

0 t 1

0 x log t tY

Y  = +



 





= +

=

=

=

∫ ∫

Alternativamente

( )

E ) t ( G

0 0 x 1 0 t

y 1 t 0

y ty tY

Y = +

+

= −



 





= +

=

=

= ^−∞

∞

− +

∞

− +

∞

−

∫ ∫

( )

Y t 1

) 1 t ( '

G =− + da cui E(X)=G'_Y(0)=−1

( ) ( ) ( )

Y t 1

2 1

t 1 t ) 2 t ( ''

G = +

+

= + da cui E(X²)=G ''_Y(0)=2

Var(X) = 2−1 = 1