Calcolo delle Probabilità: esercitazione 12
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Argomento: Teorema Centrale del Limite (pag 537 e seguenti) e distribuzioni bivariate continue. La v.c. normale bivariata
Esercizio 1
1) Si trovi il valore della costante k per cui
f(x,y) = k + e−x−y (x,y>0)
rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
2) Si determinino le funzioni di ripartizione delle v.c. marginali.
3) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
4) Si stabilisca se X e Y sono indipendenti, motivando la risposta.
5) Si stabilisca se X e Y sono identicamente distribuite, motivando la risposta.
Siano X1,…,Xn v.a. indipendenti e distribuite come X e si consideri la v.c. somma S = ∑Xi. 6) Si determini la distribuzione di S.
7) Si stabilisca se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema Centrale del Limite e si determini un’approssimazione Normale per S nel caso in cui n = 150.
Esercizio 2
1. Si trovi il valore della costante k per cui
( )
k y y e, x f
−x
= (x>0, 0<y<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
2. Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
3. Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e identicamente distribuite, motivando la risposta.
Siano X1,…,Xn v.c. indipendenti e distribuite come X e si consideri la v.c. somma
∑
=
= n
1 i
i
n X
S .
4. Si determini la distribuzione di Sn.
5. Dopo aver verificato che le ipotesi del Teorema Centrale del Limite sono soddisfatte, si determini un’approssimazione Normale per Sn nel caso in cui n = 400 e, sulla base di questa, si calcoli P(350<Sn<450).
6. Si stabilisca il limite a cui converge in probabilità Sn/n motivando la risposta fornita.
Esercizio 3
Sia (X,Y) una variabile casuale normale bivariata di parametri µX, µY, σX, σY e ρ. Si determini:
1. le distribuzioni marginali di X e Y;
2. la fdd condizionata φ(x|y) e φ(y|x);
3. la media e la varianza della v.a. media aritmetica Z=(X+Y)/2 nel caso di ρ=0;
4. la media e la varianza della v.a. W=(X+Y)/2 nel caso di ρ≠0.
5. Qual è la distribuzione della variabile Z?
