Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e’ il doppio?

Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[in blu la domanda-soluzione e in nero la mia risposta]

[…] le mando come ho risolto alcuni esercizi e i dubbi […]

Z→Z f(x)= 2x

Dominio A codominio B

¾

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e’ il doppio?

LO E’ Sì il doppio !

Anche se ha dimenticato il segno MENO! ma nel disegno ha fatto corretto.

¾

E’ una funzione iniettiva perche’ ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A.

Iniettiva lo è , ma non ha dato la giustificazione completa.

Una funzione è iniettiva se ad ogni elemento di B corrisponde l’insieme vuoto o un solo elemento di A.

In ogni caso deve dimostrarlo per TUTTI i numeri di Z così:

f(x)=f(y)⇒ x=y per ogni x, y ∈Z

f(x) = 2x, f(y) =2y ⇒ 2x=2y ⇒x=y OK!

¾

Non e’ surgettiva perche’ non vengono raggiunti tutti gli elementi di B.

1.A)PRIME DOMANDE SULLE FUNZIONI

[in blu la domanda-soluzione e in nero la mia risposta]

[…] per studiare Q → Q f(x)=2x Dominio A codominio B

¾

ho difficolta’ nel rappresentare i razionali. Devo considerare anche le frazioni oltre agli interi e naturali, pero’ quali?

TUTTI ! Un intero è una particolare frazione con 1 al denominatore.

¾ Q→Q f(x)=x²

Agli elementi del codominio corrispondono piu’ di un elemento del dominio quindi non e’

iniettiva.

Deve determinare un caso numerico che provi ciò che afferma ! Ad esempio può dire: l’elemento 1 del codominio proviene dai due diversi elementi 1 e -1 del dominio.

¾

Nell’esempio lei dice che “non esiste x ε Q t.c. x²=-1”. Devo considerare gli elementi del codominio verificando se corrisponde un quadrato nel dominio?

Io ho preso l’elemento -1 del codominio e ho detto che non c’è nessun elemento x del dominio che elevato al quadrato dia -1.

1.B)PRIME DOMANDE SULLE FUNZIONI

[..] Il primo esercizio era questo:

Sia f: R x R ---> R definita da f(z,w) = z³ + w² a) Dire se f è iniettiva

b) Dire se f è surgettiva

- Per la risposta a) la funzione non è iniettiva perchè ad esempio f(1,0) = f(0,1) = 1.

- Per la b) ho pensato a questa cosa:

per ogni x appartenente ad R vale questa uguaglianza: f(³

x

x

Volevo chiederle se è corretta la mia idea e se questo tipo di risposta è valida come risposta nella prova d'esame.

[…]volevo sapere si mi può spiegare brevemente come fare il sistema per vedere se una funzione è iniettiva e/o surgettiva.

E' iniettiva se: f(x)=f(y) => x=y.

Per esempio la funzione f : N x N in Z data da f((x,y)) = 2x-y.

La soluzione dice che non è iniettiva perchè: f((1,2)) = 0 = f((2,4)).

Ma (1,2) e (2,4) come sono stati trovati?

2.DOMANDA SULLE FUNZIONI :IL PRIMO ESERCIZIO DELLA PROVA SCRITTA DEL 14.06.07

Risposta validissima !

3.DOMANDA SULLE FUNZIONI : COME SI FA A VEDERE SE UNA FUNZIONE E’INIETTIVA/SURGETTIVA ?

Se prendo a caso due coppie distinte in NxN ad esempio (0,1), (1,1), risulta f((0,1))= 2(0)-1 = -1 e f((1,1))= 2(1)-1 =1 . Così ho trovato due elementi distinti nel dominio che hanno immagine distinta nel codominio.

Ma sarà così tutte le volte che considero due coppie distinte nel dominio ?

E qua basta saper trovare le 2 coppie 'buone' , ad esempio (1,2), (2,4) coppie diverse, che hanno la stessa immagine =0.

Oppure ( 1,3) , (2,5) ( molto meno spontaneo ! ) , ma va bene perchè f(( 1,3))=2(1)-3=-1 e f(( 2,5))=2(2)-5 = 4-5=-1 .

La definizione di f , detta a parole, è: alla coppia di numeri naturali (x,y) faccio corrispondere il numero intero 2x-y , ossia il doppio della prima componente meno la seconda componente.

RRIISSPPOOSSTTAA RRIISSPPOOSSTTAA

[…] riguardo al primo esercizio appartenente alla prova scritta del 11-01-2007, alla domanda trovare, se esistono, tre coppie distinte aventi immagine (1,2), per la funzione f: ZxZ→ZxZ definita da

f(z,w)=(z+w, 2z+2w) io ho svolto così:

dato che ho definita f(z,w)=(z+w,2z+2w) e ho la coppia (1,2) ciò vuol dire che z+w=1 e 2z+2w=2 quindi devo trovare valori che sostituiti a z e w mi diano 1 in z+w e 2 in 2z+2w. Io ho trovato le seguenti coppie (1,0)(0,1)(-5,6).

[…] L'altra domanda è dire se la funzione è surgettiva: come faccio a provare se una funzione è surgettiva?

4.DOMANDA SULLE FUNZIONI :DUBBIO SULLA PRIMA DOMANDA DELLA PROVA SCRITTA DELL’11.01.07

La funzione data è f: ZxZ →ZxZ definita da f(z,w)=(z+w,2z+2w).

La funzione è surgettiva se Im(f) coincide con l’insieme ZxZ di arrivo, ossia se l’insieme dei trasformati del dominio mediante f coincide con tutto il codominio ZxZ.

f trasforma l’elemento (z,w) del dominio ZxZ nell’elemento (z+w,2z+2w) del codominio ZxZ

Gli elementi (z+w,2z+2w) al variare di z, w in Z danno tutto ZxZ ?

Allora ad esempio l’elemento (1,3) del codominio non può essere raggiunto mediante f essendo il 3 dispari ! Quindi f NON è surgettiva.

Un altro modo poteva essere quello di notare che gli elementi (z+w,2z+2w) hanno la seconda componente doppia della prima , e quindi non possono ′ricoprire′ tutto il codominio, ad esempio l’elemento (1,3) non viene raggiunto poiché 3 non è doppio di 1.

questo numero è pari RRIISSPPOOSSTTAA

RRIISSPPOOSSTTAA

[…] Ho un dubbio riguardante l'argomento delle funzioni (iniettività e surgettività).

In pratica, riesco a capire quando una funzione è surgettiva;non capisco,però, come giustificare la surgetti- vità di questa funzione:

Sia f : Q^2 -> Q la funzione definita da f ((x, y)) = x + y se x >= 0

2x se x < 0

Noto che per x<0 sono compresi sia i pari che i dispari,le frazioni e i numeri interi;stessa cosa per x>=0.

Mi domando:come faccio (nell'esame di domani) a giustificarlo nella maniera corretta??(per farle capire me- glio,come faccio a dire che se esiste ad esempio una coppia di numeri con immagine 6 ne esiste un'altra con immagine uguale a un altro numero intero qualsiasi?)

Non so se sono stata chiara...

La funzione è : f: QxQ→Q definita così f((x,y)) =

⎩ ⎨

⎧

<

≥ +

0 x se 2x

0 x se y x

Il dominio è suddiviso in due :

le coppie (x,y) con la prima componente x ≥0 e le coppie (x,y) con la prima componente x <0.

In genere in questo tipo di esercizi in cui la funzione è definita ′a pezzi′ occorre sdoppiare la prova della surgettività. Allora sdoppiamo l’insieme di arrivo in elementi ≥0 ed elementi <0 ( questo è un modo, si potrebbe farlo in modi diversi ! )

Se a∈Q ed è a≥0 ⇒ esiste (a,0)∈QxQ t.c. f((a,0)) = a+0=a ( ho usato la definizione di f nel primo caso, cioè quello in cui la prima componente è ≥0 )

Se a∈Q ed è a<0 ⇒ esiste (

2

a

2

a

2

a

nel secondo caso, cioè quello in cui la prima componente è <0 , perché è

2

a

Così qualunque sia l’elemento a nell’insieme di arrivo, trovo sempre un elemento del dominio che

″va a finire, mediante f ″ in a .

5.DOMANDA SULLE FUNZIONI : COME GIUSTIFICARE LA SURGETTIVITÀ DI QUESTA FUNZIONE …

Si è spiegata benissimo! Lei ha capito esattamente dove sta il problema. L’esercizio non è dei più elementari, una soluzione è ad esempio questa, cerco di commentargliela.

RRIISSPPOOSSTTAA

[…]Come prima cosa vorrei chiederle di spiegarmi il metodo della riduzione che viene spesso usato negli esempi delle sue dispense ... non è che non lo riesco a capire ma vorrei comprendere meglio le "dinamiche"

del meccanismo....

E poi volevo farle vedere la risoluzione di un esercizio per vedere se è corretto o meno....

Sia f:ZxZ->ZxZ definita da f(z,w)=(z+w,2z+3w) a) dire se f è iniettiva

b) dire se f è surgettiva inizio da b)

1. z+w=a

2. 2z+3w=b da cui si ha che z=3a-b utilizzando la riduzione […]

prendo 1 fava con 2 piccioni ☺ e provo a spiegarle qua la riduzione per arrivare al risultato, seguendo i calcoli da lei indicati:

decido di eliminare (ad esempio) w :

moltiplico 1. per -3 e ottengo 1bis : -3z-3w=- 3 a , sommo membro a membro 1bis e 2. 2z+3w=b e ottengo 1*: –z=-3 a +b

che posso sostituire nel sistema al posto di 2. o di 1. come preferisco !

Così il sistema di partenza si trasforma nel sistema equivalente ( con le stesse soluzioni) 1* : –z=-3 a +b => z=3a-b che è il suo risultato scritto sopra !

2: 2z+3w=b

In pratica con la riduzione sostituisco una delle equazioni del sistema con un’altra equazione, ottenuta facendo la somma di un’equazione del sistema con il multiplo di un’altra equazione del sistema. ( O altre

…varianti simili, ma quella indicata è la più conveniente, altrimenti piuttosto di ‘manipolare’ ancora, conviene la sostituzione ).

Questo garantisce che il ‘nuovo’ sistema ha le stesse soluzioni del precedente.

E il resto continua correttamente come ha scritto lei !

risolvendo il sistema inserendo la soluzione appena trovata si ha che 2(3a-b)+3w=b da cui si ricava che w=b-2a,

quindi si ha che per ogni (a.b) appartenente a ZxZ esiste unico la coppia (z,w) appartenente a ZxZ tc f(z,w)=(a,b):

l’esistenza di almeno una soluzione ci garantisce la surgettività di f ed essendo unica ci garantisce inoltre l’iniettività di f.

6.DOMANDA :TECNICA DI RIDUZIONE – FUNZIONI INIETTIVE ,SURGETTIVE

RRIISSPPOOSSTTAA

[in blu la domanda-soluzione e in nero la mia risposta]

¾ […] nell’appello scorso c’era da dire se la funzione f: ZxZ → ZxZ definita da f(z,w) = (z+w, 3z+6w) è surgettiva.

Ho fatto così :

Applico il metodo di confronto

z+ w = a w=a-z w = a-z w = a-z w = a-z 3z+6w = b 6w= b-3z w = b-3z /6 a-z = b-3z / 6

Una volta trovata la soluzione come riconosco la funzione?

In questo caso NON può proseguire senza osservare se l’operazione di dividere per 6 è lecita o no:

siamo in Z e non in R ! Ma comunque anche se prosegue, trova z= (6a-b)/3 che è elemento di Z solo se 6a-b è multiplo di 6.

Quindi se ad esempio a=0, b=1 troviamo z=-1/3 che non appartiene a Z ! Questo significa che la controimmagine di (0,1) tramite f è l’insieme vuoto !

Se vuole può fare la verifica che (0,1)∉Imf . Se fosse vero il contrario, si avrebbe : 1) 0=z+w => z=-w

2) 1=3(z+2w) , sostituendo la 1) => 1=3(-w+2w) => 1= 3w => w=1/3 che non sta in Z : OK !

C’è da notare che più facilmente si poteva rispondere così :

f(z,w)= (z+w,3(z+2w)) e allora la seconda componente è multipla di 3 indipendentemente dai valori attribuiti a z e w .

Quindi f non è surgettiva, ad esempio (1,2) ∉Imf non essendo 2 un multiplo di 3.

¾ La seconda domanda chiedeva se f: ZxZ → ZxZ definita da f(z,w) = (z+w, 3z+6w) è iniettiva .

[…] f e’ iniettiva se la controimmagine e’ vuota o ha 1 elemento… […]

No, così non arriva alla meta, perché torna ad imbattersi nel problema precedente, dividendo trovo un elemento di Z … se …

Meglio applicare la definizione di funzione iniettiva !

Cosa vuol dire f(z,w) ? Secondo la definizione data dal testo dell’esercizio f(z,w) = (z+w, 3z+6w).

Cosa vuol dire f(x,y) ? Secondo la definizione data dal testo dell’esercizio f(x,y) = (x+y, 3x+6y) , (cambiando ‘i nomi’ ).

Ora f(x, y) = f(z, w) => (x+y, 3x+6y) = (z+w, 3z+6w) => uguagliamo le componenti, le prime danno 1) x+y=z+w , le seconde danno 2) 3x+6y= 3z+6w .

Mettiamo a sistema 1) e 2) e con la riduzione o sostituzione o confronto …fa i passaggi e deve 7.STUDIO DELLA FUNZIONE: f: ZxZ → ZxZ definita da f(z,w) = (z+w, 3z+6w)

[…] Avrei una domanda sulle funzioni riguardante surgettivita' e iniettivita' :

nel caso in cui dominio e codominio sono (R,Z,N,Q) il tutto ricade nel casi trattati dall'Analisi.

Nel caso in cui il dominio ed il codominio della funzione e' pari in dimensione

cioe' ZxZ -> ZxZ , RxR -> RxR si risolve con un sistema secondo la definizione di iniettivita' e surgettivita'.

I problemi esistono ,almeno per me , quando la dimensione del dominio e del codominio

non sono uguali esempio (ZxZ -> Z) o (Q -> QxQ) […] vorrei sapere se oltre al semplice caso del controesempio mi puo' fornire una rigorosa dimostrazione matematica nei due sensi per risolvere il problema della surgettivita' e della iniettivita' e se puo' dare una breve spiegazione del significato di esse in spazi multidimensionali sempre a livello matematico […]

Ecco la mia risposta.

a. Occorre precisare che il concetto di funzione ( privo di ogni altro attributo) è uguale in ogni ambito ed è quello che abbiamo dato nel corso.

b. L'analisi reale I studia funzioni da R in R o comunque da intervalli reali ad R.

Quelle che lei chiama a 'dominio e codominio semplice' sono oggetto, per quanto riguarda le loro proprietà più elementari ( iniettività e surgettività ) del corso di Matematica Discreta.

c. Veniamo alla parte più interessante della sua domanda, lei individua una certa 'classificazione' di funzioni e vorrebbe avere a disposizione un metodo matematico che possa essere applicato a ciascun caso.

Come giustamente osserva, escludendo il caso delle funzioni dell’analisi reale I, c'è poi il caso delle funzioni da ZxZ in sè stesso, RxR in sè stesso etc..

Il caso RxR →RxR può essere studiato (vantaggiosamente ) con lo studio di un sistema, specie se questo è lineare ( di I grado) , applicando le regole elementari di riduzione o sostituzione che sono note dalla scuola media.

Non altrettanto si può dire del caso ZxZ→ZxZ, come mostra la domanda 1. !

Infine quello che lei individua come uno dei suoi problemi : casi del tipo Z -> ZxZ, RxR->R , R->RxR etc., in cui si debba mostrare la surgettività o iniettività.

8. TANTE DOMANDE SULLE FUNZIONI : ALLA RICERCA DI UNA CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI …

Vediamo ad esempio questa funzione:

f : Z x Z → Z la funzione così definita f (m,n) = m+n. Vogliamo provare la surgettività.

f è surgettiva se per ogni x∈Z esiste (m,n)∈ZxZ t.c. m+n = x.

Può sembrare una forzatura proseguire l’analogia con il caso di funzioni da ZxZ in sè stesso, ma c’è !

Si tratta di studiare L’ EQUAZIONE m+n = x nelle due incognite m ed n e con termine noto x.

Ha almeno una soluzione? Cioè c’è almeno una coppia (m, n) che la risolve in funzione di x ? Sì , ad esempio la coppia (x,0). Questo ci prova che la controimmagine di ⎨x⎬ è non vuota, qualunque sia x∈Z e quindi f è surgettiva.

Già che ci siamo … proseguiamo sulla stessa linea : f è iniettiva ? Essendo la controimmagine di

⎨x⎬ non vuota, qualunque sia x∈Z, f sarà iniettiva se questa controimmagine è costituita da un solo elemento . Ma così non è : L’ EQUAZIONE m+n = x nelle due incognite m ed n e con termine noto x, non ha un’unica soluzione, la coppia (x,0) è distinta dalla coppia (0,x) (se x ≠0) ed

entrambe le coppie risolvono l’equazione. Quindi la controimmagine di x (se x ≠0) è costituita almeno da 2 elementi e allora f non è iniettiva.

Le ho mostrato questo ‘metodo’ per uno dei casi che lei evidenzia, perché in termini astratti si può ricondurre, in analogia con il caso ZxZ->ZxZ etc., allo studio di un’equazione. Ma non è affatto vantaggioso disporre di questo ‘metodo’ per lo studio dell’iniettività !

La risposta naturale, spontanea, che viene in mente ai più è dettata dall’osservazione ( in questo caso la risposta è negativa) : f non è iniettiva (1,0) ≠(0,1) , ma f(1,0)=f(0,1)=1.

Questo per spiegarle che NON c’è un unico metodo matematico vantaggioso per lo studio di surgettività – iniettività.

Si tratta di procedere caso per caso, osservando inizialmente qualche esempio numerico particolare, e poi usando le definizioni di iniettività, surgettività.

d. Infine la sua domanda :

‘se puo' dare una breve spiegazione del significato di iniettività-surgettività in spazi multi- dimensionali sempre a livello matematico.’

Questo non è possibile poiché il termine di funzione e i suoi attributi sono strettamente legati all’ambiente e al contesto in cui compaiono.

Nel corso vediamo tra l’altro esempi di funzioni che fanno parte del mondo della teoria dei numeri, essendo connesse alle equazioni diofantee.

E per farsi un’idea nel mondo informatico, guardi la funzione di Hash !