a cos t + b sin t 2 2 • Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono): x→−∞lim |2x + 3| x + 2

Pisa, 19 Gennaio 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

3²⁰+ 3²⁰ = 3⁴⁰ 2 2

La funzione cosh x `e periodica 2 2

L’equazione e^x = x⁴ non ha soluzioni reali 2 2 Se a_n → 27 e b_n→ −∞, allora a_n+ b_n→ −∞ 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : y ∈ [0, 1], 0 ≤ x ≤ y} ha area 1/2 2 2 sin x · sin y = xy + o(x²+ y²) per (x, y) → (0, 0) 2 2

∀M ∈ R ∃ x ≥ M tale che sin x = 1/27 2 2

La serie di potenze P n²xⁿ ha raggio di convergenza 1 2 2 La sol. generale dell’eq. diff. u⁰⁰ = u `e u(t) = a cos t + b sin t 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

|2x + 3|

x + 2 = . . . lim

x→−2⁺

|2x + 3|

x + 2 = . . . lim

x→+∞

|2x + 3|

x + 2 = . . . . minx²+ y²+ 3 : (x, y) ∈ R² = . . . .

inf (

α ∈ R :

∞

X

n=0

n⁵+ 6

n^α+ 7 converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = x + 3 y + 2+√

5, A =(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

2x dx dy = . . . .

Pisa, 5 Febbraio 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

3²⁰· 3²⁰= 3⁴⁰ 2 2

La funzione e^{cos x} `e pari 2 2

√x + 2 < 2 − x per ogni x ≥ −2 2 2

Se a_n → 0 e b_n→ −∞, allora a_n/b_n → 0 2 2

(0, 0) `e un punto stazionario per la funzione f (x, y) = sin x + sin y 2 2

arctan(x − x⁴) = x − x⁴+ o(x⁴) per x → 0 2 2

∀M ∈ R ∃K ∈ R tale che x² ≥ M ∀x ≤ K 2 2

La serie P(n + 3)(n²+ 2)⁻¹ converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰⁰+ u⁰ = 7 `e autonoma 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

3x²+ sin x

x² + 2 sin x = . . . lim

x→0

3x² + sin x

x²+ 2 sin x = . . . lim

x→7π

3x²+ sin x

x²+ 2 sin x = . . . . max {x + 3y : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]} = . . . .

min|x²− 2| + 3 : x ∈ [0, 10] = . . . .

• Siano

f (x, y) = 2x²+ x arctan e^y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x ≥ 0 . Calcolare:

∂²f

∂x²(0, 0) = . . . .

Z

A

3 dx dy = . . . .

Pisa, 23 Febbraio 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

arccos(1/2) = π/3 2 2

La funzione x²⁰⁰⁵ `e strettamente monotona su tutto R 2 2

L’equazione |x| = cos(3x) non ha soluzioni reali 2 2

La successione 3⁻ⁿlog n tende a 0 2 2

Il gradiente di f (x, y) = cos x + cos y non si annulla mai 2 2 e^x− e^y = x − y + o(x²+ y²) per (x, y) → (0, 0) 2 2

∀M ∈ R ∃x ∈ R tale che sin x = M 2 2

La serieP(−1)ⁿarctan n converge 2 2

u(t) = e^−tsin t `e una sol. dell’equazione differenziale u⁰⁰+ 2u⁰+ 2u = 0 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

e^2x− 1

e^x− 1 = . . . lim

x→0

e^2x− 1

e^x− 1 = . . . lim

x→+∞

e^2x− 1

e^x− 1 = . . . . minx ∈ R : x² + 3x ≤ 0 = . . . .

Z +∞

0

e^−2xdx = . . . .

• Siano

f (x, y) = (x + 2)e^y+3+ log 7, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x² ≤ y ≤ 2x . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 1) = . . . .

Z

A

2 dx dy = . . . .

Pisa, 14 Giugno 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

tan(3π/4) = 1 2 2

La funzione e^{sin x} `e dispari 2 2

L’equazione cos x = cos(7x) ha un’unica soluzione reale 2 2

La successione 2ⁿ− n²⁰⁰⁵ tende a +∞ 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| + |y| ≤ 1} ha area 2 2 2

e^2x= 1 + 2x + 2x²+ o(x²) per x → 0 2 2

∀M ∈ R ∃ε > 0 tale che log x ≤ M ∀x ∈ (0, ε) 2 2

Se a_n ≥ 0 per ogni n ∈ N e √ⁿ

a_n→ 2005, allora P a_n diverge 2 2 u(t) = e^−2t `e la sol. del problema di Cauchy u⁰ = −2u, u(0) = −2 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim 2^x

x − 2 = . . . lim

x→0

2^x

x − 2 = . . . lim

x→+∞

2^x

x − 2 = . . . . minx²− 5 : x ∈ [1, 2] = . . . .

sup



α > 0 :

Z +∞

2

x^α+ 5

x⁵+ 6 dx converge



= . . . .

• Siano

f (x, y) = (x + 3)(3y + 2), A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

px²+ y²dx dy = . . . .

Pisa, 5 Luglio 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

log₃9²⁰⁰⁰ = 1000 2 2

La funzione cos³x `e dispari 2 2

La funzione e^−x2, da R in R, `e iniettiva 2 2 Se a_n > 0 per ogni n ∈ N e an+1/a_n→ 8, allora √ⁿ

a_n → 8 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : x² ≤ 3, y ≥ 20} `e limitato 2 2 sin(x²+ y²) = x² + y²+ o((x²+ y²)²) per (x, y) → (0, 0) 2 2

2ⁿ ≥ n³⁰⁰⁰ definitivamente 2 2

SeP a_n converge, allora sin a_n→ 0 2 2

L’equazione differenziale u⁰⁰+ tu⁰ = 7u + t² `e lineare 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0⁺

log x

x + 1 = . . . lim

x→1

log x

x + 1 = . . . lim

x→+∞

log x

x + 1 = . . . .

infx⁴− 2y⁴ : (x, y) ∈ R² = . . . . min {x ∈ R : e^x ≥ 2} = . . . .

• Siano

f (x, y) = 3 sin(xy) + sin 3, A =(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ 1 − x² . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

x dx dy = . . . .

Pisa, 26 Luglio 2005

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

sin(2π/3) = cos(π/6) 2 2

La funzione f (x) = sin x + cos²x `e periodica 2 2

Per ogni x ≥ 0 si ha che e^x > sin x 2 2

Se x0 = 2 e xn+1= xn− n, allora x2 = −1 2 2

x = 0 `e un punto di minimo locale per la funzione f (x) = arctan x³ 2 2

sin x − sinh x = o(x) per x → 0 2 2

∃M ∈ R tale che | arctan x| ≤ M ∀x ∈ R 2 2

La serie P n²2⁻ⁿ diverge a +∞ 2 2

L’insieme delle sol. dell’eq. diff. u⁰⁰+ 13u⁰ − 12u = t `e uno sp. vett. 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0⁺

x −p|x|

2x + 3√

x = . . . lim

x→1

x −p|x|

2x + 3√

x = . . . lim

x→+∞

x −p|x|

2x + 3√

x = . . . . maxn ∈ N : n² ≤ 50 = . . . .

sup (

α ∈ R :

∞

X

n=2

(α − 4)ⁿ converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = log(xy²+ 5), A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0 . Calcolare:

∂f

∂y(1, 1) = . . . .

Z

A

2y dx dy = . . . .