4.Curveequivalentiepropriet`ageometrichediunacurvaTorniamoaconsiderarelecurve'(t)=(cost,sint),t2[0,2⇡],e (⌧)=(cos(2⌧),sin(2⌧)),⌧2[0,⇡].Talicurverisultanoregolari,sempliciechiuseedhannocomemedesimosostegnolacirconferenzaCdicentrol’origineeraggio1delpiano.O

4. CURVE EQUIVALENTI E PROPRIET `A GEOMETRICHE DI UNA CURVA 23

4. Curve equivalenti e propriet` a geometriche di una curva Torniamo a considerare le curve '(t) = (cos t, sin t), t 2 [0, 2⇡], e (⌧) = (cos(2⌧ ), sin(2⌧ )), ⌧ 2 [0, ⇡]. Tali curve risultano regolari, semplici e chiuse ed hanno come medesimo sostegno la circonferenza C di centro l’origine e raggio 1 del piano. Osserviamo per` o che k'

(t) k = 1 per ogni t 2 [0, 2⇡] mentre k

(⌧ ) k = 2 per ogni ⌧ 2 [0, ⇡]. Le due curve si di↵erenziano solo per la velocit`a con cui percorrono il sostegno. Osserviamo inoltre che risulta (⌧ ) = '(2⌧ ) per ogni

⌧ 2 [0, ⇡] e dunque che la curva parametrizzata (⌧) si pu`o ottenere dalla cur- va '(t) mediante il cambiamento di parametro h : [0, ⇡] ! [0, 2⇡] definito da h(⌧ ) = 2⌧ per ogni ⌧ 2 [0, ⇡]. Diremo in questo caso che le due curve sono equivalenti secondo la seguente definizione.

Due curve parametrizzate ' : I ✓! R

e : J ✓ R ! R

sono dette equivalenti, o pi` u precisamente C

-equivalenti, e scriveremo ' ⇠ , se esiste un’applicazione h : J ! I di classe C

in J con h

(⌧ ) 6= 0 per ogni ⌧ 2 J e h(J) = I e per la quale risulti

(⌧ ) = '(h(⌧ )), 8 ⌧ 2 J.

Osserviamo che la condizione h

(⌧ ) 6= 0 per ogni ⌧ 2 J `e sufficiente affinch`e la funzione h(⌧ ) risulti invertibile in J, ne risulta quindi che h(⌧ ) `e una bijezione tra i due intervalli I e J. Dal Teorema sulla derivabilit` a della funzione inversa, avremo inoltre che h

: I ! J risulta anch’essa di classe C

con

(h

)

(t) = 1 h

(h

(t)) .

Si ha allora che h (cosi come la sua inversa h

) risulta essere un di↵eomeorfismo tra gli insiemi I e J, tale di↵eomorfismo verr` a chiamato cambiamento di parametro ammissibile.

Osserviamo che la relazione ⇠ appena definita risulta relazione di equivalenza in quanto verifica le propriet` a

- Propriet` a riflessiva: ' ⇠ ' per ogni curva parametrizzata ';

- Propriet` a simmetrica: se ' ⇠ allora ⇠ ';

- Propriet` a transitiva: se ' ⇠ e ⇠ allora ' ⇠ .

Data una curva parametrizzata ', la classe di equivalenza ['] = {curve | ' ⇠ }

verr` a detto curva geometrica (o semplicemente curva ove non ci sia ambiguit` a)

relativa alla curva parametrizzata '. Se 2 ['] diremo che la curva `e una

parametrizzazione della curva geometrica ['].

Viene infine detta propriet`a geometrica di una curva una propriet` a verificata da tutte le curve tra loro equivalenti e che dunque non dipende dalla parametrizza- zione scelta.

Risulta quindi una propriet` a geometrica l’essere regolare: se ' `e una curva rego- lare allora ogni ⇠ ' `e curva regolare. Difatti, se ' : I ! R

`e curva regolare in I e : J ! R

`e curva equivalente a ' allora esiste un cambiamento di parametro h : J ! I tale che (⌧) = (' o h)(⌧) = '(h(⌧)). Ne segue che anche risulta di classe C

in I con

0

(⌧ ) = h

(⌧ )'

(h(⌧ )), 8⌧ 2 J

e dunque, essendo ' regolare e h

(⌧ ) 6= 0, risulta

(⌧ ) 6= 0 per ogni ⌧ 2 J. Si osservi in particolare che i vettori

(⌧ ) e '

(h(⌧ )) risultano paralleli, dunque non dipende dalla parametrizzazione scelta della curva geometrica la direzione del vettore tangente (e dunque la retta tangente) mentre dipendono invece dalla parametrizzazione scelta la norma ed il verso del vettore tangente.

Risulta inoltre che se ' `e una curva semplice allora ogni ⇠ ' `e curva semplice, essendo un cambiamento di parametro ammissibile una funzione iniettiva.

Osserviamo infine che due curve equivalenti hanno il medesimo sostegno. Per tale ragione, se `e i sostegno della curva parametrizzata ' useremo indicare la sua classe di equivalenza ['] con . Si osservi per` o che esistono curve aventi lo stesso sostegno che per` o non risultano equivalenti.

Ad esempio le curve '(t) = (cos t, sin t), t 2 [0, 2⇡], e (⌧) = (cos(2⌧), sin(2⌧)),

⌧ 2 [0, 2⇡] hanno il medesimo sostegno ma non sono equivalenti, essendo ' semplice mentre non lo `e .

Si pu` o invece provare che curve semplici e regolari (o regolari a tratti) aventi il medesimo sostegno sono equivalenti.

Vediamo ora qualche esempio in cui dato il sostegno di una curva semplice e regolare (a tratti), si determina una parametrizzazione della corrispondente curva geometrica.

• Determinare una parametrizzazione della curva piana, semplice e regolare a tratti avente per sostegno il triangolo di vertici i punti O(0, 0), A(2, 0) e C(0, 1).

Una parametrizzazione pu` o essere la seguente

'(t) =

><

>>

:

(2t, 0) se t 2 [0, 1],

(4 2t, t 1) se t 2 [1, 2],

(0, 3 t) se t 2 [2, 3].

4. CURVE EQUIVALENTI E PROPRIET `A GEOMETRICHE DI UNA CURVA 25

• Determinare una parametrizzazione della curva in R

, semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del piano x + 2y + z = 2 con il cilindro circolare x

+ y

= 4.

Il sostegno della nostra curva `e dato dall’intersezione :

(

x + 2y + z = 2 x

+ y

= 4

e usando le coordinare polari per parametrizzare la circonferenza x

+ y

= 4, poniamo x = 2 cos t e y = 2 sin t con t 2 [0, 2⇡]. Otteniamo quindi la parametrizzazione '(t) di equazioni parametriche

' :

><

>>

:

x = 2 cos t y = 2 sin t

z = 2 x 2y = 2(1 cos t 2 sin t)

t 2 [0, 2⇡]

• Determinare una parametrizzazione della curva in R

, semplice e regolare a tratti avente per sostegno l’intersezione della sfera x

+ y

+ z

= 4 con il piano x = y nella regione z 0. Determinare il vettore tangente nel punto P (1, 1, p

2).

Il sostegno della nostra curva `e dato dall’intersezione :

(

x = y

x

+ y

+ z

= 4 ,

(

x = y

2x

+ z

= 4 ,

(

x = y

x²

2

+

= 1

e usando le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse

+

= 1, poniamo x = p

2 cos t e z = 2 sin t 0 con t 2 [0, ⇡]. Otteniamo quindi la parametrizzazione '(t) = ( p

2 cos t, p

2 cos t, 2 sin t) con t 2 [0, ⇡]. Risulta quin- di P (1, 1, p

2) = '(

) e poich`e '

(t) = ( p

2 sin t, p

2 sin t, 2 cos t), il vettore tangente nel punto dato `e '

(

) = ( 1, 1, p

2).

Per concludere, osserviamo che se ' e sono curve equivalenti, queste potrebbero determinare orientamenti opposti del sostegno. Precisamente, se ' ⇠ con = ' o h, essendo h cambiamento di parametro ammissibile, avremo che se h

> 0 le due curve determineranno lo stesso orientamento del sostegno (e dunque stesso verso del vettore tangente) mentre se h

< 0 le due curve determineranno un orientamento opposto (e dunque i due vettori tangenti avranno verso opposto).

Data una curva : I ! R

denoteremo nel seguito con la curva definita da

(t) = ( t) per ogni t 2 I. Osserviamo che e risultano equivalenti ma

determinano orientamenti opposti del loro comune sostegno, per tale motivo la

curva verr` a detta curva opposta della curva .

Come vedremo nel prossimo paragrafo, per le curve regolari `e possibile scegliere in modo canonico una parametrizzazione, chiamata parametrizzazione mediante ascissa curvilinea, che rappresenter` a particolarmente bene le propriet` a geome- triche della curva. Questa parametrizzazione canonica consiste essenzialmente nell’usare come parametro la lunghezza della curva.

5. Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea

Data una curva parametrizzata ' : [a, b] ✓ R ! R

vogliamo definirne la lunghez- za mediante un procedimento di esaustione andando ad approssimare la lunghez- za del suo sostegno mediante la lunghezza di poligonali con vertici sul sostegno.

Fissata una partizione dell’intervallo [a, b], P = {a = t

< t

< ... < t

= b }, consideriamo i punti associati '(t

), i = 0, 1, ..., k, sul sostegno = '([a, b]).

ϕ(t ) ϕ(t )i

i+1

Per ogni i = 1, 2, ..., k consideriamo il segmento congiungente '(t

) con '(t

) la cui lunghezza sar` a data da d('(t

), '(t

)) = k'(t

) '(t

) k. La lunghezza della poligonale di vertici i punti '(t

), associata alla fissata partizione P, sar`a allora data da

L(', P) =

k'(t

) '(t

) k.

Osserviamo che tale valore fornir` a un’approssimazione per difetto della lunghezza

del sostegno ed evidentemente se P e Q sono due partizioni con P ⇢ Q allora

L(', P)  L(', Q), altrimenti detto, l’approssimazione sar`a tanto migliore quanto

5. LUNGHEZZA DI UNA CURVA E ASCISSA CURVILINEA 27

pi` u la partizione risulta fine. Si dice allora lunghezza della curva ' : [a, b] ! R

il valore

L(') = sup{L(', P) | P partizione di [a, b]}

Osservato che L(') 0 e che eventualmente L(') = +1, diremo che la curva '

`e rettificabile se L(') risulta finito.

Un esempio notevole di curva non rettificabile `e dato dalla curva '(t) =

(

(t, t sin

) se t 2 (0, 1]

(0, 0) se t = 0

Difatti, considerata la partizione P

= {0} [ {

| k = 2, ..., N}, N 2 N, per k dispari avremo che '(

) = (

, ±

) e '(

) = (

, 0) e dunque

k'(

) '(

) k =

(

)

+

mentre, se k `e pari, k'(

) '(

) k

. Ne segue allora che

L(', P

) =

N 1X

k=2

k'(

) '(

) k

N 1X

k=2 2 k+1

e dunque che L(', P

) ! +1 per N ! +1, da cui L(') = +1.

Vale il seguente risultato, che si pu` o provare utilizzando il Teorema di Lagrange Teorema 1.1.

Se ' : [a, b] ✓ R ! R

`e curva parametrizzata di classe C

in [a, b] allora la curva

`e rettificabile e

L(') =

a

k'

(t) k dt.

Osserviamo inoltre che la lunghezza `e una propriet` a geometrica delle curve, infatti dalla definizione data, se ' ⇠ allora L(') = L( ).

Vediamo alcuni esempi.

• La lunghezza della curva '(t) = (r cos t, r sin t) con t 2 [0, 4⇡] risulta pari a L(') =

Z 4⇡

0

»

r

cos

t + r

sin

t d = 4⇡r

Osserviamo che la curva ha per sostegno la circonferenza di centro l’origine e

raggio r ma tale sostegno viene percorso due volte: la lunghezza della curva tiene

conto del numero di volte in cui viene percorso il sostegno.

• Calcoliamo la lunghezza della cicloide '(t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t 2 [0, 2⇡].

Risulta k'

(t) k =

r

(1 cos t)

+ r

sin

t = r p

2 2 cos t e dunque L(') = p

2r

0

p 1 cos t dt = 2r

0

sin

dt = 4r[cos

]

= 8r

• Calcoliamo la lunghezza dell’astroide '(t) = (cos

t, sin

t), t 2 [0, 2⇡]. Risulta L(') =

Z 2⇡

0

k'

(t) k dt =

0

»

(3 cos

t sin t)

+ (3 sin

t cos t)

dt

= 3

0

| sin t cos t| dt = 12

2

0

sin t cos t dt = 6[sin

t]

⇡

02

= 6

• Calcoliamo la lunghezza della curva di equazione cartesiana y = x

, x 2 [0, 1].

Risulta

L(') =

0

p

1 + 4x

dx =

0

»

1 + y

dy

=

[y

1 + y

+ log(y +

1 + y

)]

=

(2 p

5 + log(2 + p 5))

Date due curve parametrizzate ' : [a, b] ! R

e : [b, c] ! R

con '(b) = (b), la curva

(t) =

(

'(t) se t 2 [a, b]

(t) se t 2 (b, c]

ha per sostegno l’unione dei sostegni di ' e , per tale motivo `e detta curva unione e la denoteremo con ' [ . Dalla definizione di lunghezza di una curva `e immediato verificare che L(' [ ) = L(') + L( ).

In particolare, dal Teorema di rettificabilit` a ne segue che se ' `e curva di classe C

a tratti in un intervallo [a, b] allora esister` a una partizione dell’intervallo [a, b]

in un numero finito di intervalli {[t

, t

], k = 1, ..., m } tale che ' risulta di classe C

in ogni intervallo [t

, t

]. Posto allora '

= ' |

potremo scrivere ' = '

['

[...['

e dal Teorema di rettificabilt` a otteniamo che ' `e rettificabile con

L(') =

L('

) =

Z _tk

t_{k 1}

k'

(t) k dt.

Vediamo ora, come premesso, la definizione del parametro ascissa curvilinea.

5. LUNGHEZZA DI UNA CURVA E ASCISSA CURVILINEA 29

Considerata una curva ' : I ✓ R ! R

regolare, fissato t

2 I consideriamo la funzione integrale

(t) =

t0

k'

(⌧ ) k d⌧, t 2 I.

Osserviamo che dal Teorema di rettificabilit` a, (t) `e pari alla lunghezza del so- stegno della curva compreso tra i punti '(t

) e '(t).

Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo che : I ! R risulta di classe C

con

(t) = k'

(t) k per ogni t 2 I. Inoltre, essendo ' regolare, si ha che

0

(t) > 0 per ogni t 2 I. Posto allora J = (I), avremo che : I ! J risulta un di↵eomorfismo tra i due intervalli I e J (e dunque un cambiamento di parametro ammissibile) cosi’ come la sua inversa

: J ! I.

La curva

(s) = '(

(s)), s 2 J,

risulta quindi equivalente alla curva ' data: 2 ['] e diremo che `e una pa- rametrizzazione mediante ascissa curvilinea della curva geometrica regolare ['], il parametro s = (t) verr` a detto parametro ascissa curvilinea.

Si osservi che fissato ¯ t

6= t

, ¯ s = ¯(t) =

k'

(⌧ ) k d⌧ determina un’altra ascissa curvilinea che di↵erisce dalla prima per una costante essendo ¯ s = s +

¯t0

k'

(⌧ ) k d⌧.

Osserviamo che dal Teorema di derivazione delle funzioni composte e di deriva- bilit` a della funzione inversa, per ogni s 2 J risulta

0

(s) = (

)

(s)'

(

(s)) = 1

0

(

(s)) '

(

(s)) = '

(

(s)) k'

(

(s)) k e dunque che k

(s) k = 1 per ogni s 2 J: il vettore tangente alla curva coincide con il versore tangente. Dal punto di vista cinematico la curva percorre il suo sostegno con velocit` a costante, il moto `e uniforme. Viceversa, se k'

(t) k = 1 per ogni t 2 I allora per ogni t

2 I si ha

s = (t) =

t0

d⌧ = t t

e dunque che il parametro t `e un’ascissa curvilinea.

Vediamo qualche esempio

• Circonferenza: considerata la parametrizzazione '(t) = (r cos t, r sin t), t 2

[0, 2⇡], risulta '

(t) = ( r sin t, r cos t) e dunque k'

(t) k = r. Fissato t

= 0

otteniamo allora s = (t) =

r d⌧ = rt e dunque

(s) =

, s 2 [0, 2⇡r]. Una parametrizzazione della circonferenza mediante ascissa curvilinea sar` a allora

(s) = '(

(s)) = (r cos s

r , r sin s

r ), s 2 [0, 2⇡r].

• Elica cilindrica: considerata l’elica '(t) = (a cos t, a sin t, bt), t 2 R e fissato t

= 0 risulta '

(t) = ( a sin t, a cos t, b) e dunque k'

(t) k = p

a

+ b

. Preso t

= 0 si ottiene s = (t) =

p

a

+ b

d⌧ = p

a

+ b

t da cui

(s) =

, s 2 R. Una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea sar`a allora

(s) = '(

(s)) = (a cos s

p a

+ b

, a sin s

p a

+ b

, bs

p a

+ b

), s 2 R.

• La catenaria `e la curva piana '(t) = (t, cosh t), t 2 R, che ha per sostegno il grafico del coseno iperbolico. Risulta '

(t) = (1, sinh t) e dunque, scegliendo t

= 0 abbiamo

(t) =

0

»

1 + sinh

t dt =

0

cosh t dt = sinh t, t 2 R da cui

1

(s) = settsinh s = log(s +

1 + s

), s 2 R.

Essendo cosh(log(s + p

1 + s

)) = p

1 + s

, una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea della catenaria `e data da

(s) = '(

(s)) = (log(s +

1 + s

),

1 + s

), s 2 R.

• Ellisse: consideriamo la curva '(t) = (a cos t, b sin t), t 2 [0, 2⇡] avente per so- stegno l’ellisse

+

= 1. Risulta in questo caso k'

(t) k =

a

cos

t + b

sin

t e dunque

(t) =

0

»

a

cos

⌧ + b

sin

⌧ d⌧

d` a luogo ad un integrale ellittico che non `e possibile esprimere mediante funzioni elementari (la funzione inversa di (t) `e una funzione ellittica).

6. Elementi di geometria di↵erenziale delle curve in R

Considerata una curva : I ✓ R ! R

regolare e parametrizzata mediante

ascissa curvilinea, abbiamo visto che k

(s) k = 1 per ogni s 2 I e dunque che

il versore tangente T(s) coincide con

(s) per ogni s 2 I. Supponiamo ora che

la curva risulti risulti di classe C

in I e consideriamo il vettore

(s) = T

(s).

6. ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE IN R³ 31

Osserviamo ora che T

(s) risulta ortogonale a T(s). Infatti, in generale se u, v : I ✓ R ! R

sono derivabili in I allora

(u(t) · v(t))

= u

(t) · v(t) + u(t) · v

(t), 8t 2 I⇤

da cui ( ku(t)k

)

= (u(t) · u(t))

= 2u(t) · u

(t) per ogni t 2 I. In particolare, se ku(t)k = k 2 R per ogni t 2 I otteniamo che u(t) · u

(t) = 0 per ogni t 2 I e dunque che u

(t) risulta ortogonale a u(t).

Essendo kT(s)k = 1 per ogni s 2 I, avremo allora che T

(s) risulta ortogonale a T(s) per ogni s 2 I. Se T

(s) =

(s) 6= 0 per ogni s 2 I, in tal caso la curva verr`a detta biregolare, si definisce versore normale alla curva nel punto (s) il versore

N(s) = T

(s)

kT

(s) k =

(s) k

(s) k

Essendo T(s) e N(s) ortogonali, questi individueranno un piano passante per (s), tale piano viene detto piano osculatore alla curva in (s).

Lo scalare kT

(s) k = k

(s) k 0, che misura la variazione del versore tangente T(s), verr` a detto curvatura della curva nel punto (s) e verr` a denotato con k(s).

Dunque per definizione risulta

T

(s) = k(s)N(s).

Osserviamo che se k(s) = 0 per ogni s 2 I allora, fissato comunque t

2 I risulta T(s) = T(s

) per ogni s 2 I e dunque

(s) =

(s

) per ogni s 2 I. Integrando componente per componente, si ottiene allora che (s) = (s

) +

(s

)(t t

), il sostegno della curva giace sulla retta tangente alla curva in (s

).

Potremo quindi dire che la curvatura k(s) “misura quanto rapidamente la curva si allontana” dalla retta tangente nel punto (s), ovvero quanto la curva si “piega”.

Supponendo la curva biregolare, avremo k(s) 6= 0 per ogni s 2 I, il suo reciproco r(s) =

`e detto raggio di curvatura della curva in (s). La circonferenza passante per (s) di raggio r(s) e centro sul semiasse normale positivo verr` a detta circonferenza osculatrice della curva nel punto (s). Avremo allora che il centro c(s) della circonferenza osculatrice, detto centro di curvatura, sar` a determinato da

c(s) = (s) + r(s)N(s).

*infatti, se u(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) e v(t) = (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) allora (u(t)· v(t))⁰= (

Xn i=1

xi(t)yi(t))⁰= Xn

i=1

x⁰_i(t)yi(t) + Xn i=1

xi(t)y⁰_i(t) = u⁰(t)· v(t) + u(t) · v⁰(t)

Si osservi che la circonferenza osculatrice in (s) giace sul piano osculatore alla curva e che la curva semplice avente per sostegno la circonferenza osculatrice percorsa con il medesimo orientamento determinato da , nel punto (s) avr` a il medesimo versore tangente e normale e la medesima curvatura della curva in tale punto.

Vediamo qualche esempio in cui determiniamo la curvatura e la circonferenza osculatrice di alcune curve piane. A tale scopo si osservi che se : I ✓ R ! R

`e una curva piana, pensando a R

identificato con il piano z = 0 di R

, potremo pensare alla curva piana come ad una particolare curva nello spazio R

: se (s) = (x(s), y(s)) 2 R

, s 2 I, la curva potr`a essere identificata con la curva (s) = (x(s), y(s), 0) 2 R

. Avremo allora che il versore normale (nel piano R

) sar` a dato da

N(s) = T

(s)

kT

(s) k =

(s)

k

(s) k = ( x

(s)

»

x

(s)

+ y

(s)

, y

(s)

»

x

(s)

+ y

(s)

)

e la curvatura sar` a pari a k(s) = k

(s) k =

x

(s)

+ y

(s)

.

• Consideriamo la circonferenza di centro l’origine e raggio r > 0 del piano z = 0.

La curva risulta di classe C

biregolare e una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea `e data da (s) = (r cos

, r sin

), s 2 [0, 2⇡r].

Avremo allora che T(s) =

(s) = ( sin

, cos

) e

(s) =

( cos

, sin

), da cui N(s) = ( cos

, sin

) e k(s) = k

(s) k =

. La curvatura `e dunque costante, il raggio di curvatura sar` a pari ad r ed la circonferenza osculatrice coincide con il sostegno della circonferenza.

• Consideriamo la catenaria y = cosh x, x 2 R e determiniamo versore tangente, normale, curvatura e l’equazione della circonferenza osculatrice nel punto P (0, 1).

La curva risulta di classe C

e una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea

`e data da (s) = (log(s + p

1 + s

, p

1 + s

), s 2 R. Poich`e

(s) 6= 0, la curva risulta biregolare. Si ha P (0, 1) = (0), dunque T(0) =

(0) = (1, 0) e

N(0) =

(0)

k

(0) k = (0, 1)

Risulta k(0) = k

(0) k = 1 e quindi il raggio di curvatura `e r(0) =

= 1.

L’equazione della circonferenza osculatrice nel punto P (0, 1) `e dunque

x

+ (y 2)

= 1.

6. ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE IN R³ 33

La circonferenza osculatrice della catenaria in P (0, 1)

• Determiniamo l’equazione della circonferenza osculatrice dell’ellisse

+ y

= 1 percorsa in senso antiorario nel punto A(2, 0). Considerata la parametrizzazione '(t) = (2 cos t, sin t) con t 2 [0, 2⇡], avremo che la curva risulta di classe C

con

'

(t) = ( 2 sin t, cos t) e '

(t) = ( 2 cos t, sin t) 6= 0 Essendo k'

(t) k =

4 sin

t + cos

t, un’ascissa curvilinea `e data da

s(t) =

0

»

4 sin

⌧ + cos

⌧ d⌧ =

0

»

3 sin

⌧ + 1 d⌧.

Dato che non `e possibile calcolare esplicitamente s(t), considerata t(s) =

(s), ricordiamo che (s) = '(t(s)) `e una parametrizzazione mediante ascissa curvili- nea e che

t

(s) = 1

»

3 sin

t(s) + 1 . Avremo allora che

T(s) =

(s) = '

(t(s))t

(s) = 1

»

3 sin

t(s) + 1 ( 2 sin t(s), cos t(s)) e

T

(s) =

(s) = '

(t(s))(t

(s))

+ '

(t(s))t

(s)

= 1

»

3 sin

t(s) + 1 (2 cos t(s)(3 sin

t(s) 1), sin t(s)(3 cos

t(s) + 1)) e

k(s) = kT

(s) k =

»

4 cos

t(s)(3 sin

t(s) 1)

+ sin

t(s)(3 cos

t(s) + 1)

3 sin

t(s) + 1

Osservato che, essendo t(0) = 0, risulta A(2, 0) = '(0) = '(t(0)) = (0), avremo allora T(0) = (0, 1) e k(0) = 2 e dunque

N(0) = T

(0)

kT

(0) k = ( 1, 0)

Ne segue che il raggio di curvatura sar` a r(0) =

e la circonferenza osculatrice nel punto A(2, 0) avr` a equazione (x

)

+ y

=

.

La circonferenza osculatrice dell’ellisse

Torniamo a considerare una curva : I ✓ R ! R

di classe C

biregolare para- metrizzata mediante ascissa curvilinea. Abbiamo definito i due versori ortogonali T(s) e N(s) in un generico punto (s). Il versore B(s) = T(s) ^ N(s), ortogonale a T(s) e N(s), `e detto versore binormale. Osserviamo che per ogni s 2 I il siste- ma {T(s); N(s); B(s)} costituisce quindi una base ortonormale di R

, chiamata triedro di Frenet, avente la stessa orientazione della base {i, j, k}.

Dalla definizione data, il versore binormale risulta ortogonale al piano osculatore:

se (s

) = (x

, y

, z

), il piano osculatore alla curva in (s

) avr` a allora equazione B(s

) · (x x

, y y

, z z

) = 0.

Si noti in particolare che se B(s) = B(s

) per ogni s 2 I, s

2 I, allora il sostegno della curva giace nel piano ortogonale a B(s

) e passante per (s

) (il piano osculatore in (s

)). Difatti, poich`e per ogni s 2 I, B(s) = B(s

) e B(s) `e ortogonale a T(s), risulta

( (s) · B(s

))

=

(s) · B(s

) = T(s) · B(s) = 0, per ogni s 2 I,

e dunque che (s) · B(s

) = (s

) · B(s

) per ogni s 2 I. Ne segue quindi che

(s) = (x(s), y(s), z(s)) appartiene al piano osculatore per (s

) = (x

, y

, z

)

6. ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE IN R³ 35

essendo

B(s

) ·(x(s) x

, y(s) y

, z(s) z

) = B(s

) ·( (s) (s

)) = 0, per ogni s 2 I.

Supponendo la curva di classe C

, valutiamo la variazione del versore binormale.

Osserviamo a tale scopo che, essendo kB(s)k = 1 per ogni s 2 I, per quanto sopra provato, risulta B

(s) · B(s) = 0 e dunque che B

(s) `e ortogonale a B(s).

Inoltre, si pu` o provare che se u, v : I ✓ R ! R

sono derivabili in I allora il prodotto vettoriale u(t) ^ v(t) risulta derivabile in I e vale

(u(t) ^ v(t))

= u

(t) ^ v(t) + u(t) ^ v

(t), 8t 2 I.

Dalla definizione data, essendo T

(s) parallelo a N(s), otteniamo B

(s) = T

(s) ^ N(s) + T(s) ^ N

(s) = T(s) ^ N

(s)

e dunque in particolare che B

(s) risulta ortogonale a T(s). Ne segue che B

(s) risulta parallelo a N(s) e quindi che, per ogni s 2 I, esiste ⌧(s) 2 R tale che

B

(s) = ⌧ (s)N(s).

La quantit` a ⌧ (s) `e detta torsione della curva nel punto (s).*

Osserviamo che per definizione, essendo kN(s)k = 1 per ogni s 2 I, si ha

⌧ (s) = B

(s) · N(s)

e dunque |⌧(s)| = kB

(s) k. Se ⌧(s) = 0 per ogni s 2 I allora, fissato comunque t

2 I, B(s) = B(s

) per ogni s 2 I e quindi, per quanto sopra provato, il sostegno della curva giace sul piano osculatore in (s

), la curva risulta quindi piana. Viceversa, se la curva `e piana, il versore binormale risulta invariante e la torsione nulla in ogni punto della curva. Potremo quindi dire che la torsione

⌧ (s) “misura quanto rapidamente la curva si allontana” dal piano osculatore nel punto (s), ovvero quanto la curva si “torce”.

Si pu` o inoltre provare che se ⌧ (s

) > 0 allora la curva (s) al crescere di s attra- versa il piano osculatore in (s

) nella direzione determinata da B(s

), viceversa, se ⌧ (s

) < 0, (s) attraversa il piano osculatore in (s

) nella direzione opposta a quella determinata da B(s

).

*nota: alcuni autori usano definire la torsione con il segno opposto

Come esempio notevole consideriamo l’elica cilindrica '(t) =

2

(cos t, sin t, t) con t 2 [0, 2⇡]. Abbiamo che k'

(t) k = 1 e dunque che t = s `e un’ascissa curvilinea.

Determiniamone il triedro di Frenet, curvatura e torsione. Si ha che T(t) =

(t) =

2

( sin t, cos t, 1) e T

(t) =

(t) =

2

( cos t, sin t, 0) e dunque

N(t) = T

(t)

kT

(t) k = ( cos t, sin t, 0) e B(t) = T(t) ^ N(t) =

(sin t, cos t, 1) La curvatura sar` a allora pari a k(t) = kT

(1) k =

mentre, essendo B

(t) =

p1

2

(cos t, sin t, 0) e ricordando che B

(t) = ⌧ (t)N(t) avremo che ⌧ (t) =

. L’e- lica cilindrica ha dunque curvatura e torsione costante. Poich`e ⌧ (t) > 0 avremo che in ogni punto la curva attraversa il piano osculatore nella direzione determi- nata dal versore binormale.

Dalle definizioni date abbiamo che valgono le seguenti equazioni di Frenet

><

>>

:

T

(s) = k(s)N(s)

N

(s) = k(s)T(s) + ⌧ (s)B(s) B

(s) = ⌧ (s)N(s)

da cui, usando la teoria delle equazioni di↵erenziali, si pu` o provare che curvatura e torsione caratterizzano completamente le propriet` a geometriche di una curva in R

, vale difatti il seguente risultato

Teorema 1.2.

Date due funzioni k : I ! [0, +1) e ⌧ : I ! R continue esiste un’unica curva : I ! R

biregolare di classe C

, parametrizzata mediante ascissa curvilinea, con curvatura pari a k e torsione pari a ⌧ , a meno di movimenti rigidi (traslazioni e rotazioni) in R

.

Nel caso in cui la curva ' : I ! R

biregolare di classe C

non risulti parame- trizzata mediante ascissa curvilinea, considerando che (s) = '(

(s)) essendo : I ! J la funzione ascissa curvilinea, si pu`o provare che versore tangente e binormale nel generico punto '(t) sono dati da

T(t) = '

(t)

k'

(t) k e B(t) = '

(t) ^ '

(t)

k'

(t) ^ '

(t) k

6. ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE IN R³ 37

mentre il versore normale sar` a dato da

N(t) = B(t) ^ T(t) = ('

(t) ^ '

(t)) ^ '

(t) k'

(t) ^ '

(t) kk'

(t) k .

Per il calcolo della curvatura e della torsione valgono invece le seguenti formule k(t) = k'

(t) ^ '

(t) k

k'

(t) k

e ⌧ (t) = '

(t) ^ '

(t) · '

(t) k'

(t) ^ '

(t) k

. Vediamo alcuni esempi

• Consideriamo la curva '(t) = (cos t, sin t, cos t 1), t 2 [ ⇡, ⇡], determiniamone versore binormale e torsione in ogni punto '(t). Abbiamo

'

(t) = ( sin t, cos t, sin t), '

(t) = ( cos t, sin t, cos t) '

(t) = (sin t, cos t, sin t), da cui k'

(t) k = p

1 + t

(dunque la curva non `e parametrizzata mediante ascissa curvilinea). Risulta inoltre '

(t) ^ '

(t) = ( 1, 0, 1) e k'

(t) ^ '

(t) k = p

2. Ne segue che il versore binormale `e invariante lungo la curva

B(t) = '

(t) ^ '

(t)

k'

(t) ^ '

(t) k = ( 1 p 2 , 0, 1

p 2 )

e ⌧ (t) = 0. La curva risulta quindi piana, giace sul piano osculatore passante per '(0) = (1, 0, 0) e ortogonale al versore binormale

B(0) · (x 1, y, z) = 0 () 1

p 2 (x 1) + 1 p 2 z = 0 e dunque il piano x z = 1.

• Data la curva di equazione parametrica '(t) = (t, t, e

), t 2 [ 1, 1], determi- niamone versore tangente, normale e binormale ed equazione del piano osculatore nel punto P (0, 0, 1). La curva risulta biregolare essendo di classe C

con

'

(t) = (1, 1, e

) 6= 0 e '

(t) = (0, 0, e

) 6= 0, 8t 2 [ 1, 1].

Osservato che P (0, 0, 1) = '(0), otteniamo '

(0) = (1, 1, 1) e '

(0) = (0, 0, 1).

Ne segue che nel punto P il versore tangente `e T(0) = '

(0)

k'

(0) k = ( 1 p 3 , 1

p 3 , 1

p 3 )

mentre il versore binormale `e

B(0) = '

(0) ^ '

(0)

k'

(t0) ^ '

(0) k = ( 1 p 2 , 1

p 2 , 0) ed il versore normale `e

N(0) = B(0) ^ T(0) = ( 1 p 6 , 1

p 6 , 2 p 6 ) L’equazione del piano osculatore in P (0, 0, 1) `e infine x = y essendo

0 = (x, y, z 1) · (

,

2

, 0) =

.

• Per esercizio, verificare che per l’elica cilindrica '(t) = (a cos t, a sin t, b), t 2 R risulta

k(t) = a

a

+ b

e ⌧ (t) = b a

+ b

La curvatura e la torsione di un’elica cilindrica risultano dunque costanti. Se b > 0, come nel precedente esempio, avremo ⌧ > 0 e l’elica cilindrica verr` a detta destrorsa mentre se b < 0 avremo ⌧ < 0 e l’elica cilindrica verr` a detta sinistrorsa.

Concludiamo osservando brevemente che per definire il versore normale e quindi la curvatura di una curva in R

abbiamo dovuto supporla biregolare, in realt` a ci` o non `e necessario nel caso in cui la curva risulti piana.

Sia difatti : I ! R

una curva piana di classe C

regolare e parametrizzata mediante ascissa curvilinea, allora il versore ˜ N(s) = ( y

(s), x

(s)), ottenuto ruotando il versore tangente T(s) =

(s) = (x

(s), y

(s)) di

in senso antiorario, risulta ortogonale a T(s) (osserviamo che con tale scelta la base ortonormale {T(s), ˜ N(s) } ha la stessa orientazione della base canonica {i, j}) . Poich`e T

(s) risulta ortogonale a T(s), e dunque parallelo al vettore ˜ N(s), si ha che per ogni s 2 I esiste ˜k(s) tale che

T

(s) = ˜ k(s) ˜ N(s).

Il versore ˜ N(s) `e detto versore normale orientato e la quantit` a ˜ k(s) = ˜ N(s) · T

(s) curvatura orientata nel punto (s).

A di↵erenza della curvatura k(s) prima definita, la curvatura orientata potr` a

avere segno negativo e precisamente avremo che ˜ k(s) > 0 se ˜ N(s) ha lo stesso

verso di T

(s) =

(s), mentre ˜ k(s) < 0 se ˜ N(s) ha verso opposto rispetto a

quello di T

(s) =

(s).

6. ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE IN R³ 39

O

T

T

N

N^~

~ ~k>0

k<0

~

Infine si pu` o osservare che se

(s) 6= 0 allora k(s) = |˜k(s)| e che ˜ N(s) = N(s) se k(s) > 0 mentre ˜ ˜ N(s) = N(s) se ˜ k(s) < 0.

La curvatura orientata determina completamente una curva piana, vale difatti il seguente risultato analogo al Teorema 1.2

Teorema 1.3.

Data una funzione ˜ k : I ! R continua, esiste un’unica curva : I ! R

di classe C

, regolare e parametrizzata mediante ascissa curvilinea con curvatura orientata pari a ˜ k, a meno di movimenti rigidi (traslazioni e rotazioni) in R

.

Infine, se la curva ' : I ⇢ R ! R

di classe C

regolare non `e parametrizzata mediante ascissa curvilinea allora versore tangente e normale saranno dati da

T(t) = '

(t)

k'

(t) k = ( x

(t)

k'

(t) k , y

(t)

k'

(t) k ) e N(t) = ( ˜ y

(t)

k'

(t) k , x

(t) k'

(t) k ) mentre la curvatura orientata potr` a calcolarsi mediante la formula

˜ k(t) = N(t) ˜ · '

(t)

k'

(t) k

= x

(t)y

(t) x

(t)y

(t) k'

(t) k

.

Ad esempio, determiniamo versore normale e curvatura dalla curva y = x

, x 2 [ 1, 1] nell’origine O(0, 0). Considerata la parametrizzazione '(t) = (t, t

), t 2 [ 1, 1], abbiamo

'

(t) = (1, 2t) e '

(t) = (0, 2) Poich`e O(0, 0) = '(0), avremo

T(0) = '

(0)

k'

(0) k = (1, 0) e N(t) = (0, 1) ˜

mentre

k(t) = ˜ N(0) ˜ · '

(0)

k'

(0) k

= (0, 1) · (0, 2) = 2

Osservato che k(0) = |˜k(0)| = 2, avremo che il raggio di curvatura nell’origine `e r(0) =

e che, essendo N (0) = ˜ N (0), l’equazione della circonferenza osculatrice

`e x

+ (y

)

=

.

7. ESERCIZI 41

7. Esercizi

1. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro 2x

+ y

= 6x con il piano x + z = 3 nella regione x

.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare aven- te per sostegno l’intersezione del cilindro 4x

+ y

= 2y con il piano z = x + 1 nella regione y 1.

3. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione della sfera x

+ y

+ z

= 4y con il piano y = z + 2 nella regione x 1 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P (2, 2, 0) verifichi T · j > 0.

4. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare aven- te per sostegno l’intersezione della sfera x

+ y

+ z

= 2x con il piano x+z = 1 nella regione y 0 e percorsa in modo tale che risulti il vettore tangente T nel punto P (1, 1, 0) risulti parallelo al vettore v = ( 1, 0, 1).

5. Data la curva '(t) = (t

, t

, t

) con t 2 [0, 1], stabilire se `e regolare, semplice e chiusa. Calcolarne la lunghezza.

6. Calcolare la lunghezza della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera dell’insieme D = {(x, y) 2 R

| x

+ y

 5, 0  y  2 p

x }.

7. Data la curva di equazioni parametriche '(t) = (e

, p

2t, e

), t 2 [ 1, 1], stabilire se la curva `e regolare, chiusa, semplice e determinarne la lunghezza. Determinarne versore tangente, normale e binormale nel punto '(0).

8. Data la curva '(t) = (1 t, t t

1, t) con t 2 [0, 2], provare che la curva `e piana (torsione nulla) e determinare l’equazione del piano su cui giace.

9. Data la curva '(t) = (2 cos t, sin t, 2 sin t 2 cos t 1) con t 2 [0, 2⇡], provare che la curva `e semplice, chiusa e piana. Determinare l’equazione del piano su cui giace.

10. Data la curva '(t) = (sin t, cos t, t

), t 2 [ ⇡, ⇡], stabilire se `e regolare, biregolare, semplice e chiusa. Determinarne versore tangente, normale e binormale e piano osculatore nel punto '(0).

11. Data la curva di equazione parametrica '(t) = (t, 2t, e

), t 2 [ 1, 1],

determinarne versore tangente, normale e binormale ed equazione del

piano osculatore nel punto P (0, 0, 1).

12. Data la curva di equazione cartesiana y = cos x, x 2 [ ⇡, ⇡], determi- narne versore tangente e normale orientato nel punto P (0, 1). Determi- narne la curvatura orientata e l’equazione della circonferenza osculatrice nel punto P (0, 1).

13. Data la curva di equazione cartesiana y = x

(1 x

), x 2 [ 1, 1], nei punti O(0, 0) e P (

,

), determinarne versore tangente e normale orien- tato. Determinarne curvatura orientata ed equazione della circonferenza osculatrice.

14. Data la curva '(t) = (t

t, t

1), t 2 [ 1, 1], stabilire se regolare e chiusa. Determinarne versori tangente e normale orientato in '(0).

15. Data la curva '(t) = (1

, t

), t 2 [ 2, 2], stabilire se regolare e chiusa. Determinarne versori tangente, normale orientato e curvatura orientata in '(0).

16. Data la curva '(t) = (t, cosh

t), t 2 [ 1, 1], determinare versore tan- gente e normale orientato nel punto '(0). Determinare la curvatura orientata e l’equazione della circonferenza osculatrice nel punto '(0).

Calcolarne la lunghezza.