Scritto di Analisi Matematica 2
Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 26–06–2017
Risposte: Qui di seguito la risoluzione del TESTO 1 a grandi linee.
(1) Come al solito bisogna prima risolvere l’equazione differenziale omogenea y00+ 5y0+ 6y = 0 trovando la generica soluzione del tipo y(x) = Ae−3x+ Be−2x. Quindi si passa a risolvere la parte non omogenea col metodo della verosimiglianza. L’equazione y00+ 5y0+ 6y = 12x si risolve provando col polinomio p(x) = αx + β, mentre y00+ 5y0+ 6y = 10 sin x con f (x) = C sin x + D cos x. Poi si somma tutto ottenendo
y = Ae−3x+ Be−2x+ 2x −5
3+ sin x − cos x . Quindi, sostituendo i valori iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 1, si trova
y = 2x −5 3−16
3 e−3x+ 9e−2x+ sin x − cos x .
(2) La curva ϕ ricorda una spirale che collega il punto (1, 0) con (3, 0), risulta regolare, semplice, non chiusa. La funzione ρ(t) = 1 + t/π descrive la distanza dall’origine al variare dell’angolo t spazzato.
La curva γ invece `e sostanzialmente un copia incolla di ϕ nel piano complesso.
Calcolo dell’integrale: la curva γ unita al segmento S che collega 3 ∈ C con 1 ∈ C forma un percorso chiuso. Una volta individuati i poli interni al percorso la risoluzione `e veloce, infatti l’integrale sul segmento S `e in realt`a un integrale reale.
Z
γ
1
z2+ 3dz − Z
S
1
z2+ 3dz = 2πi Res
1
z2+ 3, −i√ 3
dove Z
S
1
z2+ 3dz = Z 1
3
1
x2+ 3dx = − Z 3
1
1
x2+ 3dx =
1
√
3arctan( x
√ 3)
3 1
= π
6√ 3 Analogamente nel testo 2 si ha
Z
γ
z
z2+ 1dz − Z
S
z
z2+ 1dz = 2πi
Res
z
z2+ 1, i
+ Res
z
z2+ 1, −i
dove Z
S
z
z2+ 1dz = Z 1
3
x
x2+ 1dx = − Z 3
1
x
x2+ 1dx = − 1
2ln(x2+ 1)
3
1
= −1 2ln 5 Nei testi 3 e 4 la spirale gira nel verso opposto, cambia qualcosina nei segni e nei residui.
(3) La funzione f (x, y) = xy − ax − by ha un punto di sella in (b, a), Calcolando le equazioni delle rette y = mx+q che contengono i lati del triangolo e calcolando f (x, mx+q) dopo un breve studio si arriva facilmente a trovare i massimi e minimi richiesti (computazione omessa), chiamiamoli m il minimo, M il massimo. La composizione corretta `e h(x, y) = g ◦ f (x, y) = g(f (x, y)) = g(xy − ax − by) (con h(x, y) = e−(xy−ax−by)nel caso esplicito richiesto). Se g `e decrescente avremo minimo g(M ) e massimo g(m) ovvero, per g(x) = e−x, minimo e−M e massimo e−m. Se invece g `e grescente (testo 3 e 4) la risposta cambia leggermente: il minimo `e g(m) mentre il massimo g(M ), nel caso esplicito g(x) = exsi trova minimo em e massimo eM.
(4) Per ragioni di simmetria il baricentro risulta (1/2, 0).
