Schemi a blocchi, componenti di uno schema di controllo

Parole chiave: Schema a blocchi; poli di sistemi aggregati; stabilita’ esterna; componenti di uno schema di controllo; schema di controllo in anello aperto/chiuso

Schemi a blocchi

Abbiamo imparato a scrivere un sistema in forma esterna:

Y=F(s)U.

Possiamo dare una rappresentazione grafica di questa equazione:

u F y

Il vantaggio della rappresentazione grafica, e’ che permette di sche- matizzare in maniera semplice la connessione di sistemi in sche- mi anche piuttosto complessi. Chiameremo queste rappresentazioni schemi a blocchi.

Uno schema a blocchi e’ una rappresentazione schematica di un sistema, generalmente composto da piu’ sottosistemi interconnessi.

Ogni blocco rappresenta un sottosistema, e le frecce entranti e uscenti rappresentano i suoi ingressi e le sue uscite.

⌅ Definizione: Schemi fondamentali di connessione

• Cascata:

F1 F2

u y

• Parallelo:

F1

F2

u +

+ y

• Retroazione:

F1

F2

u + ^y

Questa struttura e’ estremamente comune, provate a pensare agli esempi di retroazione che conoscete, anche al di fuori dell’ingegneria. Ecco da parte mia alcuni esempi:

• vista e sistema propriocettivo (anelli multipli)

• omeostasi

• motore elettrico (retroazio- ne realizzata dalla forza controelettromotrice)

Possiamo intuire da questi esempi che la retroazione negativa ha, tipicamente, un effetto stabilizzante. Ecco invece esempi di retroazione positiva:

• contrazioni - rilascio di ossitocina durante il parto

• fissione nucleare

• diffusione di epidemie (nella fase iniziale, i.e., ignorando gli effetti di saturazione)

⌅ Definizione: Linea di andata e retroazione

In uno schema in retroazione come quello in figura il blocco F1

rappresenta la linea di andata, il blocco F2la linea di retroazione, e la funzione di trasferimento F₁F2e’ la funzione di trasferimento di anello.

F1

F2

u + ^y

La retroazione si dice negativa se la linea di retroazione entra nel sommatore con segno (come in figura), altrimenti e’ positiva.

Uno stesso sistema puo’ ammettere diversi schemi a blocchi equi- valenti, che possono essere trasformati l’uno nell’altro attraverso sem- plici operazioni. Nel ragionare sulle trasformazioni di uno schema a blocchi e’ sufficiente tenere a mente il fatto che uno schema e’ la rap- presentazione grafica di una funzione di F1, F2, . . ., sulla quale valgo-

no le consuete leggi di commutativita’ e distributivita’ di addizione e moltiplicazione. Vediamo, per esempio, quattro rappresentazioni diverse di uno stesso sistema aggregato.

Esempio 26. I seguenti schemi a blocchi sono equivalenti (verifica- re!).

u +

B

+ +

A

+ +

D C

d

u + y

+

1/B

D C

d

A

1/B

B

+ + y

CD

d

1/B

B

+ +

+

1/B

A

u

CD

d

1/B

B

y

CD

+

B 1/B

u

A

CD

+

B

+ u

+ +

+

L’equivalenza di schemi a blocchi si prova trasformandoli l’uno nel- l’altro, oppure osservando che le , e si funzioni di trasferimento da y^o a y e da d a y dei quattro sistemai aggregati sono identiche (verificare!).

Per trovare le funzioni di trasferimento, vediamo prima di tutto un metodo generale di calcolo della funzione di trasferimento di uno schema a blocchi.

⌅ Definizione: Calcolo di una generica funzione di trasferimento di aggregato

Per calcolare le funzioni di trasferimento, etichettiamo i segnali in uscita ad ogni nodo sommatore, e risolviamo le corrispondenti equazioni.

Prendiamo per esempio il primo schema nell’esempio. Chiamia- mo a il segnale in uscita dal primo sommatore, b quello in uscita dal secondo, g quello in uscita dal terzo. Abbiamo

a=u+CDg b=Au+Ba g=d+b.

Risolvendo otteniamo

g=d+Au+Ba=d+Au+Bu+BCDg quindi

y=g= ^d

1 BCD+ ^A+B 1 BCD.

Le funzione di trasferimento dell’aggregato, da u a y e da d a y sono quindi, rispettivamente,

A+B

1 BCD

e 1

1 BCD.

Si noti che, proprio perche’ gli schemi possono essere trasformati l’u- no nell’altro, le funzioni di trasferimento che otteniamo sono sempre le stesse.

Riprendendo gli ultimi risultati, calcoliamo le funzioni di trasferi- mento dei tre schemi fondamentali, che sara’ utile conoscere a me- moria:

F Funzioni di trasferimento degli schemi fondamentali

• Cascata: F=F1F2,

• Parallelo: F=F1+F2,

• Retroazione (negativa): F= _1+F^F1_1F2,

• Retroazione (positiva): F= _{1 F}^F1_1F2.

Per ricordare la F.d.T della retroazione negativa: linea di andata diviso 1 + F.d.T di anello.

Poli e stabilita’ di aggregati

Cominciamo con la seguente definizione, che caratterizza la stabilita’

di un singolo blocco

Un sistema esternamente stabile si dice anche BIBO, dall’inglese Bounded Input Bounded Output

⌅ Definizione: Stabilita’ esterna

Un sistema la cui funzione di trasferimento ha tutti i poli con parte reale negativa si dice esternamente stabile.

La stabilita’ esterna e’ quindi unicamente una proprieta’ della funzione di trasferimento. Come conseguenza,

F Un sistema con autovalori instabili puo’ essere esternamente stabile.

Abbiamo quindi chiaro in che modo la stabilita’ di un blocco di- penda dagli autovalori del corrispondente sistema dinamico. I poli di un sistema aggregato dipendono sia dai poli dei suoi sottosistemi, che dalla geometria di connessione dell’aggregato.

⌅ Definizione: Poli di sistemi in cascata e parallelo

Prendiamo due blocchi con funzione di trasferimento F1(s) :=

N₁(s)

D₁(s) e F2(s) := ^N_D²₂^(s)_(s). La funzione di trasferimento di un collegamento in cascata e’

F(s) = ^N1(s)N2(s) D1(s)D2(s)

mentre la funzione di trasferimento di un collegamento in parallelo e’

F(s) = ^N1(s)D2(s) +N2(s)D1(s) D1(s)D2(s) ^. In entrambi i casi i poli sono le radici di D1(s)e D2(s).

Quindi cascata e retroazione non permettono di modificare i poli dei sottosistemi che compongono l’aggregato

⌥ ^Teorema

I poli di un sistema ottenuto dalla composizione in cascata o pa- rallelo di due sottosistemi sono un sottoinsieme dei poli dei due sottosistemi.

⌅ Definizione: Poli di sistemi in retroazione

Chiamiamo G1(s) := _D^N1₁^(s)_(s) la funzione di trasferimento della li- nea di andata e G2(s) := ^N_D²₂^(s)_(s) quella della linea di retroazione.

Abbiamo

F(s) =

N₁(s) D1(s)

1+ ^N_D¹₁^(s)_(s)D^N2₂^(s)_(s) = ^N1(s)D2(s) D1(s)D2(s) +N1(s)N2(s)

I poli del sistema in anello chiuso sono le radici del polinomio D1(s)D2(s) +N1(s)N2(s), sono quindi diversi dai poli di G1o G2! Il polinomio D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s) e’ a volte chiamato polinomio caratteristico in anello chiuso.

La retroazione, caso unico tra gli schemi fondamentali di connessione, permette di generare un aggregato con poli diversi da quelli dei sottosistemi che lo compongono.

⌥ ^Teorema

I poli di un anello di retroazione sono (in genere) diversi dai poli della funzione di trasferimento d’anello.

Semplificazioni tra blocchi e autovalori nascosti

Abbiamo appena visto alcune considerazioni su come i poli di un sistema aggregato dipendono dalla struttura dello schema a bloc- chi. Adesso andremo ad approfondire le conseguenze di queste considerazioni sulla stabilita’ del sistema aggregato.

Vediamo ora come si possono generare autovalori nascosti

Il caso autovalori nascosti generati da un anello di retroazione merita un po’ di attenzione. Chiamiamo F1 = N1/D1la F.d.T della linea di andata, e F2 =N2/D2quella della linea di retroazione. Abbiamo la F.d.T in anello chiuso

N1D2

D1D2+N1N2. Quando parliamo di semplificazione polo zero tra F1e F2, possiamo aspet- tarci radici in comune tra N1e D2, o tra N2e D1. Chiamiamo r il binomio corrispondente a questa radice, e usia- mo la tilde per denotare un polinomio da cui abbiamo fattorizzato r. Nel pri- mo caso, la radice in comune diventa un autovalore nascosto del sistema in anello chiuso:

˜N1r ˜D2r

D1˜D2r+ ˜N1rN2 = ^˜N1˜D2r D1˜D2+ ˜N1N2. Nel secondo caso, la radice in comune e’ un polo che appare, invariato, nel sistema in anello chiuso:

N1D2

˜D1rD2+N1˜N2r= ^˜N1˜D2 r(D1˜D2+ ˜N1N2)^. Ovviamente, solo il primo caso genera un autovalore nascosto.

F Autovalori nascosti

Gli autovalori nascosti di un sistema aggregato sono il risultato del verificarsi di una di queste quattro condizioni

• esistono autovalori nascosti di un sottosistema,

• avviene una semplificazione polo-zero tra due sottosistemi in cascata,

• avviene una semplificazione polo-zero tra due sottosistemi in parallelo,

• avviene una semplificazione polo-zero tra due sottosistemi lungo un anello di retroazione,

⌥ Condizione di stabilita’ di un sistema

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilita’ asintotica di un sistema (aggregato) e’ che

• sia esternamente stabile

• tutti gli autovalori nascosti siano asintoticamente stabili

⌥ ^Corollario

La stabilita’ dei poli di un aggregato di sistemi non e’ condizione sufficiente per la stabilita’ asintotica dell’aggregato.

⌥ ^Corollario

La composizione in cascata o parallelo di due sistemi e’ stabile se e solo se i sistemi sono stabili.

In particolare nel caso del nostro schema standard di retroazione il teorema precedente implica che, per l’asintotica stabilita’ di un

sistema in retroazione, nel calcolo di L(s) = R(s)G(s) non devono avvenire semplificazioni tra poli e zeri instabili di R(s)e G(s). Esempio 27. Consideriamo i due schemi di controllo in figura:

R G

u + + ^y

d +

R G

u + + ^y

d +

Assumiamo

R(s) = (1 s) (1+2s) e

G(s) = ¹ (1 s)^.

Nel primo schema, abbiamo F(s) = _1+2s¹ , quindi esternamente sta- bile. Vediamo pero’ che la funzione di tra il disturbo d e l’uscita e’

F(s) = G(s) = _{(1 s)}¹ . Un disturbo arbitrariamente piccolo nel se- gnale generato da R causa un’errore tendente a infinito nell’uscita, a causa del polo s=1 nascosto.

Nel secondo schema, abbiamo F(s) = _2+2s¹ =, stabile. Ancora una volta pero’ la funzione di trasferimento tra d e l’uscita e’ _1+G(s)R(s)^G(s) =

1 (1 s)

1+₍₁₊¹_2s) = (1 s)(2+2s)^1+2s , instabile!

Il significato dell’effetto di semplificazioni come questa e’ meglio spiegato analizzando il modello di stato del sistema aggregato, in termini di scomposizione canonica, osservabilita’, e raggiungibilita’.

Struttura tipo dello schema di controllo in retroazione.

Un tipico sistema di controllo e’ composto dai seguenti elementi:

C A P

y^o y

da dp

• C e’ il controllore

• A e’ l’attuatore

• P e’ il processo

• y^o e’ il segnale di riferimento (l’uscita desiderata)

• y e’ l’uscita

• dae dpsono disturbi agenti su attuatore e processo

Se l’azione del controllore utilizza informazioni sull’uscita, ottenute attraverso un trasduttore T con disturbo dt, allora lo schema e’ in anello chiuso:

C A P

T

y^o y

da dp

dt

Esempio 28 (Esempi di disturbo).

• Drone per cinepresa: Il progetto degli attuatori viene riferito ad un carico nominale medio. In funzione delle condizioni di utilizzo (telecamera, lenti, ecc.), il carico differisce dal carico nominale di una costante, quindi agisce come un disturbo costante rispetto alla specifica di progetto.

• Cruise control: il veicolo e’ in grado di misurare la propria ve- locita’ attraverso un tachimetro, e deve mantenere una velocita’

costante impostata dall’utente. Sul veicolo agisce una forza lenta- mente variabile dovuta a curve e cambio di pendenza della stra- da, quindi un disturbo di forma incognita ma con spettro a bassa frequenza.

• Misura di posizionamento GPS: piccole variazioni atmosferiche provocano una variazione della posizione misurata dal GPS con distribuzione gaussiana, quindi un disturbo caratterizzabile come distribuzione di probabilita’.

• Gamba meccanica: la gamba di un robot viene munita di un si- stema di controllo in grado di stabilizzare il robot in posizione verticale. Per semplificare il progetto il controllo viene progettato per essere indipendente dai movimenti del busto e delle braccia, che spostano il centro di massa del robot e che vengono tratta- ti come disturbi di forma funzionale incognita ma di ampiezza limitata.

Schema tipico di sistema retroazionato con confronto diretto tra rife-

rimento e uscita ^{C As Ps}

Ts

A_dPs P_d

T_d Ts

y^o + + y

da

+ dp

+

˜d_t

+ +

Assumiamo che il controllore C esegua un confronto diretto tra il segnale di riferimento y^oe l’uscita y, cioe’ che la sua azione sia basata sulla differenza y y^o. Per semplificare lo schema, assumendo che tutti i blocchi siano lineari (o linearizzati) procediamo cosi’:

• Separiamo le funzioni di trasferimento P e A e T nella loro par- te relativa al segnale e al disturbo, chiamandole rispettivamente A_s, P_s, T_s e A_d, P_d, T_d. Sostituiamo quindi ciascuna funzione di trasferimento a due ingressi con due funzioni di trasferimento, le cui uscite vengono sommate. Riarrangiamo poi i blocchi fino ad

ottenere il primo schema a destra. ^{C As Ps}

Ts

y^o + y

d +

dt +

• Raccogliamo ora i disturbi agenti sul ramo di andata in un unico +

disturbo d :=daA_dP_s+dpP_d. Rinominiamo il disturbo sulla linea di retroazione dt= ˜dtT_d

Ts

Ts R As Ps

Ts

y^o + + y

d +

dt +

+

• ipotizziamo che il controllore C agisca sulla differenza tra il valore misurato T_sy dell’uscita e il corrispondente valore Tsy^o, pari al segnale che ci aspetteremmo di misurare se l’uscita fosse uguale al riferimento y^o. Sostituito il blocco C con un blocco Ts, a valle del quale c’e’ un sommatore, a valle del quale c’e’ un blocco (R sta per regolatore).

• Sostituiamo i due blocchi T_s a monte del sommatore con un uni- co blocco T_s a valle del sommatore. Per concludere, riordiniamo i blocchi sulla linea di andata, e raggruppiamo T_s, A_s, P_s in un unico blocco G. A questo punto, il blocco G rappresenta la parte fisica del sistema di controllo, consistente nell’unione del proces- so, dell’attuatore e del trasduttore, mentre il blocco R rappresenta la funzione matematica che implementa la legge di controllo. Ab- biamo ottenuto l’ultimo schema sulla destra, che sara’ il nostro schema di controllo tipo. Il disturbo d riunisce tutti i disturbi agenti su processo e attuatore, mentre il disturbo dtrappresenta i disturbi di misura.

R G

y^o + + y

d +

dt

+ +

⌅ Definizione: Struttura tipo dello schema di controllo in retroa- zione

R G

y^o + e u + ^y

d +

dt

+ +

Il segnale y^o e’ detto riferimento, e viene chiamato errore, u e’

il segnale di controllo. La funzione di trasferimento di anello e’

comunemente rappresentata con il simbolo L(s).

Vale la pena di identificare (e imparare a calcolare) le seguenti funzioni di trasferimento tra i segnali dello schema qui sopra:

y^o !e : _1+L(s)¹ Questa funzione e’ a volte chiamata funzione di sen-

sitivita’^{3 3}Notare che, chiamando M(s)la

funzione di trasferimento in anello chiuso, la funzione sensitivita’ e’

uguale a

dM(s) M(s) dL(s) L(s)

. Questo spiega l’uso del termine sensitivita’.

y^o !y : _1+L(s)^L(s) . Questa funzione e’ a volte chiamata funzione di sensitivita’ complementare.

y^o !u : _1+L(s)^R(s) Questa funzione e’ a volte chiamata funzione di sen- sitivita’ del controllo.

Esercizi

Esercizio 38

Il seguente schema rappresenta un sistema di controllo

R G

C

y^o + y^o

+ ^y

+

1. Si dia l’espressione della funzione di trasferimento da y^o a y 2. Si dica, motivando la risposta, se l’asintotica stabilita’ di C e’

condizione necessaria per la stabilita’ del sistema di controllo.

Esercizio 39

Consideriamo il processo rappresentato dal seguente schema:

A B

u y

con A= _{(s+2)(s 1)}^2s+1 , B= _{3s 1}^{s 1}.

1. E’ possibile stabilizzare il sistema utilizzando una legge di controllo in anello aperto?

2. E’ possibile stabilizzare il sistema utilizzando una legge di controllo in anello chiuso?

Esercizio 40

Prendiamo un modello di circuito moltiplicatore realizzato con un amplificatore operazionale:

+ _

R R

1 2

v_in

vout

1. Si tracci lo schema a blocchi del modello, assumendo che l’o- pamp sia un blocco con funzione di trasferimento µG(s), dove G(s)ha guadagno unitario.

2. Si studi la funzione di trasferimento del modello per µ!^{• e} per µ finito.

3. Si valuti l’ampiezza dell’uscita del circuito, per µ=100, R1= 1, R2 = 2 e assumendo G(s) = s¹

1000+1, in risposta a una si- nusoide di pulsazione w <<101000/3 e a una di pulsazione w>>101000/3.

Esercizio 41

Uno sistema e’ costituito dalla connessione in cascata delle due funzioni di trasferimento

G₁= ^s+3 (s 2)(s+5) e

G2= ^s+a

(s+1)^{, a}2R

Si dica per quali valori di a il sistema aggregato e’ esternamente stabile e per quali e’ asintoticamente stabile.

Esercizio 42 E’ dato il seguente aggregato di sistemi:

R G₁

C₂ C₁

G₂ u1 +

u2

+ +

y +

+ +

u3

+

1. Si scrivano le funzioni di trasferimento da u1, u2, u3verso y.

2. Si dica se il sistema puo’ essere asintoticamente stabile con C1

instabile

3. Si dica se il sistema puo’ essere asintoticamente stabile con G2

instabile 4. Date

R= ^s

s+1, G1= ^s

s+2, G2= ² s+2

si calcoli la funzione di trasferimento da u₁a y, specificando gli zeri e i poli

5. Si discuta la stabilita’ del sistema con ingresso u1, assumendo che nessuno dei sottosistemi abbia autovalori nascosti, e si dica se esistono autovalori nascosti del sistema aggregato.

6. Alla luce della risposta alla domanda precedente, si discuta la stabilita’ del sistema con ingresso u3