Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 10/1/2002

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 10/1/2002

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Data la funzione

f (x) = 3x (2x − 151)

1. determinarne il dominio;

2. calcolare gli eventuali limiti di f all’infinito e in eventuali punti in cui f non `e definita;

3. determinare in quali intervalli f `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

5. disegnarne un grafico approssimativo.

1. R \ {151/2}

2. lim

x→±∞ f (x) = 0, lim

x→151/2 f (x) = +∞

3. f ⁰ (x) = −3 2x + 151

(2x − 151)

; f `e crescente in [−151/2, 151/2[ e decrescente in ] − ∞, 151/2[

e in ]151/2, +∞[;

4. f ⁰⁰ (x) = 24 x + 151

(2x − 151)

; f `e concava in ] − ∞, −151[ e convessa in [−151, 151/2[ e in ]151/2, +∞[

151/2 0

3/22201

x y

-151/2 -151

2. Sia f la funzione considerata nel’esercizio prece- dente. Calcolare l’area del sottografico di f com- presa tra l’asse delle ascisse e le rette di equazione x = 71 e x = 75.

604

9 − 3 log 3

2 Matematica, 10/1/2002

3. Data la successione

a n = n

(2n − 151)

n = 1, 2, 3, ...

1. dire se `e limitata;

2. calcolare estremo superiore e inferiore ri- conoscendo se sono, rispettivamente, massimo e minimo.

1. `e limitata

2. inf a n = 0 e non `e minimo,

max a n = max{a

, a

} = a

= 76

4. Dato il problema di Cauchy

½ y ⁰⁰ + 4y = f (t), t ∈ R y(0) = 0, y ⁰ (0) = 0

dove f : R → R `e un’assegnata funzione continua 1. indicare una soluzione del problema nel caso

in cui f (t) = 0 per ogni t ∈ R;

2. stabilire se la funzione y(t) = 0 per ogni t ∈ R

`e una soluzione nel caso f (t) = t;

3. stabilire se y(t) = − sen(2t)/2 + t/4 `e una soluzione nel caso f (t) = t.

1. y(t) = 0 per ogni t ∈ R 2. no

3. si

5. Risolvere la disequazione log

|x − 3| + log

1

|x − 2| ≥ 1 ] − ∞, 2[∪]2, 5 − 2 √

2] ∪ [5 + 2 √ 2, +∞[

6. Calcolare il limite

x→+∞ lim x £ π

2 − arctg(3x) ¤

1/3

7. Trovare i punti di intersezione tra la retta di equazione cartesiana y = x e l’ellisse di equazioni parametriche

½ x = 1 + 2 cos θ

y = 2 + sen θ, θ ∈ [0, 2π[.

(1, 1) e (13/5, 13/5).