RELAZIONE DI LABORATORIO DI FISICA I Esperienza 3B: 07/12/2021 GRUPPO 11: Di Piazza Sabrina, Inghilleri Salvatore, Meola Giuseppe

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Universit`a degli studi di Palermo Corso di laurea in Scienze Fisiche

A.A. 2021/2022

Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un

oscillatore armonico semplice

RELAZIONE DI LABORATORIO DI FISICA I Esperienza 3B: 07/12/2021

GRUPPO 11: Di Piazza Sabrina, Inghilleri Salvatore, Meola Giuseppe

Valutazione: BAA - errori negli istogrammi - errori di approssimazione - errori vari

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Indice

1 Introduzione e scopo dell’esperienza 3

2 Strumentazione utilizzata 3

3 Requisiti teorici 4

4 Prima parte: procedimento 5

5 Seconda parte: procedimento 12

6 Terza parte: procedimento 15

7 Considerazioni finali 19

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1 Introduzione e scopo dell’esperienza

La seconda esperienza di laboratorio si articola in tre parti. La prima ha come obiettivo la misurazione del periodo di oscillazione di un sistema massa- molla utilizzando una stessa massa; successivamente `e previsto un primo cal- colo della costante elastica della molla. La seconda e la terza parte riguardano la determinazione della costante elastica della molla col metodo statico e quello dinamico.

2 Strumentazione utilizzata

• Oscillatore armonico semplice, ossia un sistema massa-molla costituito da:

una molla elicoidale agganciata ad un supporto metallico e varie masse campione.

• Masse campione di peso diverso.

• Dispositivi elettronici per l’utilizzo dell’app Phyphox.

• Cronometro digitale centesimale con un errore di lettura di 0,01 s ed errore di precisione trascurabile.

• Bilancia di classe II con un errore di lettura pari a 0,1 g ed errore di precisione dello 0,2% sul valore misurato.

• Riga di classe II con doppia scala graduata. Abbiamo dunque deciso di usa- re la scala graduata che indica anche i mezzi millimetri, la quale introduce un errore di lettura pari a mezza divisione (0,25mm) e un errore di precisione δ_xprec. = (a +₁₀₀₀^b · L) = (0.3 +₁₀₀₀^0.2 · L) mm. L’errore complessivo introdotto dallo strumento `e dunque δ_x= δxlett.+ δxprec.

• I software Microsoft Excel, SciDAVis, Microsoft Word e L^ATEX.

Se si cambia massa, cambia anche il periodo!

Smartphone

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3 Requisiti teorici

E necessario possedere le conoscenze di base qui elencate:`

• Corretta rappresentazione di una misura x = (x_best± δx)

• Conoscenza del concetto di deviazione standard.

• Regole della propagazione degli errori nelle misure.

• Conoscenza delle formule per ricavare l’errore di precisione e di lettura.

• Regole per l’approssimazione delle misure e degli errori.

• Conoscenza del metodo delle rette di minima e massima pendenza/intercetta per la determinazione grafica.

• Competenze di analisi grafica (rappresentazioni di grafici in scala log-log, creazione istogrammi).

• Conoscenza del moto armonico semplice e delle sue leggi. In particolare, la legge che descrive il moto del sistema massa-molla, assimilabile ad un moto armonico semplice se si trascurano le forze di attrito, `e la seguente:

d²x dt² = −k

mx

La pulsazione ω pu`o essere definita nei seguenti modi:

ω =2π

T =

rk m

indirette

analisi

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4 Prima parte: procedimento

Scelta una massa di 200g (il cui errore `e trascurabile), si `e misurato il tempo corrispondente a 10 oscillazioni del sistema massa-molla; ogni operatore ha ripetuto l’operazione 20 volte per ridurre al minimo gli errori casuali. Sono dunque qui riportati i valori misurati.

Per ottenere il valore di un periodo `e necessario dividere i valori ottenuti per 10.

Allo stesso modo, l’errore strumentale δ_T₁₀ el cronometro (0,01 s) va diviso per 10, ma l’errore relativo risulta essere lo stesso. Sono dunque qui riportati i valori dei singoli periodi ottenuti.

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Con i valori ottenuti sono stati dunque realizzati tre istogrammi normalizzati relativi ai singoli set di dati raccolti da ciascun operatore. Tutti e tre gli istogrammi sono stati rappresentati con la stessa scala in modo da poter essere facilmente confrontabili. Si è quindi deciso di creare per ogni istogramma 5 intervalli di ampiezza ∆i = 0, 005s (si noti che tale valore è maggiore del doppio dell’errore strumentale, che vale 0,001 s). Per ogni istogramma si è riportata la frequenza relativa e assoluta e la densità di frequenza. Inoltre, si sono determinati il valore centrale dell’istogramma (che è stato ricercato affinché la somma delle aree dei canali, prima e dopo di esso, fosse pari a 0.5) e la semi-ampiezza a mezza altezza, corrispondente alla metà dell’ampiezza dell’istogramma a metà della sua altezza massima.

e con le stesse dimensioni Vedi

commenti negli istogrammi

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Inoltre, si `e calcolato analiticamente il valore medio dei dati ottenuti e la deviazione standard con le formule riportate:

x_med = 1 N

N

∑

i=1

x_i

σ_x= s

1 N− 1

N i=1

∑

(x_i− x_med)²

Etichetta e u.m Etichetta e u.m

u.m. u.m.

u.m. u.m. u.m. u.m.

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Il valore centrale di ogni istogramma risulta essere consistente con il rispettivo valore medio calcolato, cos`ı come la semi-ampiezza a mezza altezza di ogni grafico risulta essere consistente con la deviazione standard dei valori corrispondenti.

Successivamente tutti i dati sono stati raccolti e rappresentati in un unico istogramma normalizzato, dal quale `e stato possibile ricavare il valore centrale e la semi-ampiezza a mezza altezza, confrontati con la media aritmetica e la deviazione standard dei valori ottenuti.

Questa scala non è leggibile!!!

56.6

28.3

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A questo punto, si `e deciso di stilare una tabella dove fosse possibile con- frontare il valore medio, la semi-ampiezza a mezza altezza, il valore centrale e la deviazione standard di tutti gli istogrammi realizzati.

Per determinare il periodo di oscillazione del sistema massa-molla, si `e preso in considerazione il valore best del set totale, ovvero T_best = 0, 59495s, il cui errore associato vale:

δ_T = δstatistico+ δstrumentale= σ_x

√N+ δstrumentale

Dove δstrumentale= 0, 001s. Dunque, δ_T = 0, 0060

√60 + 0, 001 = 0, 0018s Da cui:

T_best = (0, 595 ± 0, 002)s

Possiamo quindi determinare un primo valore della costante elastica k della molla, che si definisce come:

k= mω²

Ovvero, per la definizione che abbiamo dato prima:

k= m4π² T²

Non sono uguali???

Errore di approssimazione T = 0.5950 +/- 0.0018

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ε_k= ε_T² = 2εT

δ_k

k = 2δT

T δ_k= 2δTk

T

Dunque, k₁= (22, 3026 ± 0, 1499) N/m Approssimato, k₁= (22, 30 ± 0, 15) N/m

5 Seconda parte: procedimento

La seconda parte dell’esperienza `e volta a determinare la costante elastica della molla con il metodo statico, assumendo che il sistema segua la legge di Hooke:

F = −kx.

Per la misura della forza esercitata si possono considerare le masse campione con errore trascurabile, cos`ı come l’errore di g `e trascurabile. Invece l’errore nella misura della lunghezza della molla `e dato dalla somma dell’errore di precisione e dall’errore di lettura della riga usata.

In particolare, considerando la posizione verticale della molla, il suo allungamen- to x è dato da l − l₀ dove l₀ è la lunghezza della molla stessa a cui si aggiunge l’allungamento della molla causato dalla forza di gravità, per cui è la posizione della molla a riposo verticalmente. Quindi l’equazione diventa F = −k(l − l0). Il valore di l₀si determinerà successivamente dal grafico della forza in funzione di l.

Posizionando il sistema massa-molla a parete, sono state prese, in condizioni di equilibrio, le misure della lunghezza della molla l, per ciascuna delle 5 masse campione, rispettivamente di 50g, 100 g, 130 g, 180 g e 230 g, ad essa fissate.

Le elongazioni sono state misurate allineando di fianco la riga graduata e assicu- randosi che la posizione dell’operatore fosse tale da minimizzare il pi`u possibile l’errore di parallasse. Gli errori sono stati calcolati come δ_xlett.+ δxprec.. I dati

e = 0.7%

F rappresenta la forza elastica della molla.

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Avendo a disposizione la misura di l e la forza peso applicata sulla molla a causa dei pesi, si è fatto dunque uso del metodo grafico per determinare il valore di k. I valori delle misure sono stati riportati in un grafico lineare mettendo in evidenza la diretta proporzionalità tra la forza e la lunghezza della molla. Ciascun punto sperimentale è stato rappresentato con le relative barre d’errore. Dalla legge di Hooke, la forza F è direttamente proporzionale alla deformazione x della molla rispetto alla lunghezza a riposo l₀. Ci si deve aspettare che i punti sperimentali rappresentati si dispongano lungo una retta la cui equazione è: F = kl = k(x + l₀) in cui k, il valore best ricercato, rappresenti il coefficiente angolare della retta. Il grafico risulterà, quindi, traslato in orizzontale di l₀rispetto ad un grafico che ha sull’asse delle ascisse i valori delle deformazioni della molla (non note). Bisogna quindi tenere conto che le rette del grafico, il cui coefficiente angolare è appunto k, non passeranno dall’origine degli assi.

Per determinare la retta che meglio si adatta ai dati sperimentali `e stato utilizzato il metodo delle rette di minima e massima pendenza, rispettivamente colorate in blu e rosso.

F = kx sempre!!!

Questa barre d'errore sembrano 10 volte più grandi di quelle riportate nella tabella di sopra di 0.0006m

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Abbiamo deciso di non prendere in considerazione il primo valore ottenuto (massa=0,05 kg ed l=0,0990 m) poich´e risulta essere incompatibile con le altre misure ottenute.

Dunque, abbiamo trovato il valore del coefficiente angolare della retta di minima e di massima pendenza, da cui poi ricavare k_best e l’errore ad esso associato.

Per trovare la pendenza si scelgono due punti appartenenti alla retta considerata, di coordinate rispettivamente (x₁; y₁) e (x₂; y₂) ), e si calcola il rapporto seguente:

∆y

∆x= (y₂− y₁) (x₂− x₁)

Per la retta di minima pendenza abbiamo scelto i punti di coordinate (0,063;0) e (0,181;2,308), mentre per la retta di massima pendenza abbiamo scelto i punti di coordinate (0,072;0) e (0,183;2,431)

I valori dei coefficienti angolari delle due rette sono:

k_max= (0,183−0,072)^(2,431−0) = 21, 9009 N/m k_min= (0,1810,063)^(2,3080) = 19, 5593 N/m da cui calcoliamo

k_best = ^k^max^+k₂ ^min = 21,9009+19,5593

2 = 20, 7301 N/m δ_k=^k^max^−k₂ ^min = 21,9009−19,5593

2 = 1, 171 N/m Perci`o il valore di k ottenuto `e

k₂= (20, 7301 ± 1, 171) N/m Approssimato

k₂= (20, 73 ± 1, 17) N/m = 20.7 +/- 1.2 Err. di appross.

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6 Terza parte: procedimento

La terza parte dell’esperienza è volta a determinare la costante elastica della molla con il metodo dinamico. Abbiamo quindi costruito un oscillatore utilizzando uno smartphone di 210 g come massa a cui si sono state aggiunte successivamente altre 4 masse campione. Con l’app Phyphox si è misurato quindi il periodo di oscillazione al variare della massa. Phyphox consente di registrare l’accelerazione dello smartphone dal grafico del quale si misura il tempo di 10 oscillazioni, sce- gliendo 3 coppie differenti di punti, e ripetendo l’operazione per 3 volte. L’errore di lettura introdotto dallo smartphone è trascurabile, mentre quello di precisione

è di 0,02 s. È qui riportata una tabella contenente i valori delle masse utilizzate e i rispettivi periodi ottenuti. Si noti che inizialmente si è calcolato il periodo di 10 oscillazioni, successivamente tali risultati sono stati divisi per 10 per ottenere il valore di un singolo periodo, il cui errore associato vale ₁₀¹ dell’errore strumentale a cui si somma la semi dispersione. Il periodo centrale è stato quindi calcolato sommando il valore massimo e quello minimo e dividendo tutto per 2.

Come avete calcolato questi errori?

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La pulsazione ω pu`o essere definita nei seguenti modi:

ω =2π

T =

rk m

e la sua indeterminazione si ricava attraverso la propagazione degli errori nei quozienti:

ε_ω = εT

Risulter`a perci`o che

δ_ω = ε_Tω = δT

T 2π

T = δ_T2π T²

Dunque, per ogni periodo abbiamo calcolato ω e la sua indeterminazione e li abbiamo riportati in tabella, aggiungendo anche la massa a cui corrispondono i diversi periodi.

La formula ω = qk

m pu`o essere scritta anche come ω =√ km⁻¹²

Trattandosi di una legge di potenza `e stato conveniente utilizzare un grafico a scala log-log, da cui si ottiene perci`o una funzione lineare:

log ω = log

√ k−1

2log m

Abbiamo quindi realizzato un primo grafico della pulsazione in funzione della massa per assicurarci, con il metodo della retta di minima e massima pendenza (nel grafico rispettivamente in blu e rosso), che il coefficiente angolare n da noi trovato sia consistente con −¹

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Per trovare la pendenza si scelgono due punti appartenenti alla retta considerata, di coordinate rispettivamente (x₁; y₁) e (x₂; y₂), e si calcola il rapporto seguente:

n= ∆y

∆x = log y₂− log y₁

log x₂− log x₁ = log^y_y²

1

log^x_x²

1

Per la retta di minima pendenza abbiamo scelto i punti di coordinate (0,2 ; 10,298) e (0,4 ; 7,644), mentre per la retta di massima pendenza abbiamo scelto i punti di coordinate (0,204 ; 10,5) e (0,378 ; 7,5)

I valori dei coefficienti angolari delle due rette, calcolati con la formula sopra riportata, sono:

n_max= log^y_y²

1

log^x_x²

1

= −0, 5455

n_min= log^y_y²

1

log^x_x²

1

= −0, 4299 da cui calcoliamo

n_best =n_max+ n_min

2 = −0, 5455 − 0, 4299

2 = −0, 4877

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Perci`o il valore di n ottenuto `e:

n_best± δn= −0, 4877 ± 0, 058 Approssimato

n_best± δn= −0, 488 ± 0, 058

Si nota che il valore best del coefficiente angolare da noi trovato risulta consistente con il valore atteso −¹₂. Per determinare la costante elastica della molla utilizziamo il metodo della retta di massima e minima intercetta. Abbiamo quindi tracciato due rette parallele con coefficiente angolare −¹₂ trovato e che intersecas- sero tutte le misure con gli errori. Ponendo il log₁₀m= 1 e utilizzando il cursore del mouse, si trovano le ordinate dei punti di intercetta per la retta di minima e massima intercetta, ovvero√

k_mine√

k_max, da cui ricavare k_mine k_max.

Si determinano dunque questi valori:

k_min= (4, 628)²= 21, 418 N/m k_max= (4, 840)²= 23, 427 N/m Dai quali:

k_best =^k^max^+k₂ ^min = 23,427+21,418

2 = 22, 423 N/m δ_k= ^k^max^−k₂ ^min = 23,427−21,418

2 = 1, 005 N/m

= - 0.49 +/- 0.06 Err. di appross.

4.75 4.95

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Dunque:

k₃= (22, 42 ± 1, 01) N/m

7 Considerazioni finali

Dopo aver stimato la costante elastica con tre diversi metodi si `e stilata una tabella con i risultati ottenuti. Confrontando gli errori relativi percentuali, riferiti ai valori best ricavati con i vari metodi, quello associato al primo k_best risulta il pi`u piccolo.

Si `e constatato che il primo metodo restituisce la misura pi`u precisa.

Le misure k₁e k₃ sono consistenti fra loro perché le differenze dei valori best risultano inferiori alle somme delle rispettive incertezze e per lo stesso motivo k₂e k₃ sono consistenti fra loro, ovvero la discrepanza non è significativa. Invece la discrepanza tra k₁e k₂ è significativa poiché le differenze dei valori best risultano superiori alle somme delle rispettive incertezze.

= (22.4 +/- 1.0) N/m Err. di appross.

e = 4%

err. di appross.

Per fare questo commento, si devono riportare i valori degli errori relativi.