Esercizio 1.
a. Discutere al variare di α ∈ R la continuit`a della funzione
f (x) =
e−x2/2− cos x
xα x 6= 0
0 x = 0
in x = 0.
b. Calcolare il seguente limite d successione
n→+∞lim
3n− 2n
2n arctan 1 n!
Soluzioni
a. Utilizzando lo sviluppo di Mac-Laurin della funzioni esponenziale e coseno:
x→0lim
e−x2/2− cos x
xα = lim
x→0
1 −x22 +x84 − 1 +x22 −x244 + o(x5) xα
= lim
x→0
1
12x4−α→
0 se α < 4,
1
12 se α = 4,
∞ se α > 4 .
b. Osserviamo subito che per n → +∞ sono valide le seguenti relazioni di asintoticit´a 3n− 2n∼ 3n e arctan 1
n!
∼ 1 n!, dalle quali deduciamo
n→+∞lim
3n− 2n
2n arctan 1 n!
= lim
n→+∞
3 2
n
n! = 0.
Esercizio 2.
Studiare la funzione f (x) =
√
x2− 5x − 6
|x| .
Dominio di f : D(f ) = (−∞, −1] ∪ [6, +∞).
Segno di f : f (x) = 0 se, e solo se x = −1 e x = 6; f (x) > 0 ovunque altrove nel dominio.
Limiti agli estremi: limx→−∞f (x) = limx→+∞f (x) = 1.
Eventuali asintoti: la retta y = 1 ´e asintoto orizzontale destro e sinistro per f .
Derivata prima (formula e dominio):
f0(x) =
5x + 12 2√
x2− 5x − 6, x > 6,
− 5x + 12 2√
x2− 5x − 6, x < −1,
sul dominio D(f0) = (−∞, −1) ∪ (6, +∞).
Discutere la derivabilit`a di f : poich´e lim
x→−1−f0(x) = −∞ e lim
x→6+f (x) = +∞,
concludiamo che f non ´e derivabile nei punti x = −1 e x = 6 (punti di natura cuspidale).
Studio del segno di f (max/min):
f0(x)
> 0 ⇐⇒ x < −125 e x > 6 (compatibilmente con il dominio),
= 0 ⇐⇒ x = −125 ,
< 0 ⇐⇒ −125 < x < −1 (compatibilmente con il dominio),
⇒ il punto x = −125 ´e massimo (assoluto) per f ; inoltre x = −1 e x = 6 sono minimi assoluti per f .
Grafico di f :
a. Studiare, al variare di a > 0 la convergenza dell’integrale improprio Z +∞
0
ax ex+ e−xdx.
b. Calcolare l’integrale del punto a. per il valore a = 1.
Soluzioni
a. Notiamo subito che l’integrale proposto deve essere interpretato cone un integrale di Riemann generaliz- zato di seconda specie. Osserviamo infatti che la funzione integranda fa(x) = ex+eax−x `e continua e positiva su tutto [0, +∞). Valgono inoltre la relazione di asintoticit´a
f (x) ∼a e
n
, x → +∞.
Pertanto tale integrale converge se, e solo se a < e.
a. Calcoliamo quindi l’integrale di seconda specie Z +∞
0
1
ex+ e−xdx = lim
M →∞
Z 1+M 1
1 ex+ e−xdx.
Ponendo ex= t > 0, si ha x = ln t e quindi dt = t−1dt, da cui si ottiene
Z 1
ex+ e−xdx =
Z t−1 t + t−1dt =
Z 1
t2+ 1dt = arctan t + c = arctan(ex) + c.
Si ha infine Z +∞
0
1
ex+ e−xdx = lim
M →∞
Z 1+M 1
1 ex+ e−xdx
= lim
M →∞[arctan(ex)]M +11 = lim
M →∞arctan(eM +1) − arctan 1M +1 1
= π 2 −π
4 = π 4.
Esercizio 4.
Sia r la retta rappresentata dalle equazioni
(x + y + z = 1 x − y − z = 0
e sia Π il piano parallelo a r che passa per i punti A ≡ (0, 0, 0) e B ≡ (1, 1, 1).
a. Determinare un’equazione del piano Π;
b. determinare i punti giacenti sulla retta r e distanti 1 dal punto A.
Soluzioni
a. In forma parametrica la retta r `e definita da:
x = 12 y = 12 − t z = t Il piano Π ha equazione:
ax + by + cz + d = 0 Imponendo il passaggio per A e B si ottiene:
ax + by + (−a − b)z = 0
Imponendo poi la condizione di perpendicolarit`a tra i parametri direttori di r e i coefficienti di Π si ottiene:
0a + (−1)b + 1(−a − b) = 0 ⇒ a = −2b Quindi:
−2bx + by + bz = 0 ⇒ 2x − y − z = 0
b. Intersecando la sfera x2+ y2+ z2 = 1 con le equazioni parametriche della retta si ottiene:
1 4 + 1
2− t
2
+ t2− 1 = 0 da cui
t = 1 ±√ 5 4 e quindi i punti sono
P1 = 1
2,1 +√ 5
4 ,1 −√ 5 4
!
, P2 = 1
2,1 −√ 5
4 ,1 +√ 5 4
! .
a. Siano V e W spazi vettoriali e sia L : V → W una applicazione lineare. Dimostrare che KerL ´e un sottospazio di V .
b. Siano V = C1([0, 1]) e W = C0([0, 1]) e g(x) = 2x. Assegnata l’applicazione lineare Lf (x) = f0(x), ∀ f ∈ V,
descrivere L−1{g} = {f ∈ V : Lf = g}.
Soluzioni
b. Utilizziamo la caratterizzazione generale
L−1{g} = {f ∈ V : f = f1+ f2, ove Lf1 = 0 (soluz. omog.) e Lf2= g (soluz. part.)}
possiamo calcolare
Lf1 = 0 ⇐⇒ f1 ∈ KerL ⇐⇒ f10(x) ≡ 0 su [0, 1] ⇐⇒ f1(x) ≡ cost su [0, 1]
e , utlizzando il teorema primo fondamentale del calcolo integrale Lf2 = g ⇐⇒ f20(x) = 2x, x ∈ [0, 1] ⇐⇒ f2(x) =
Z x 0
2tdt = x2, x ∈ [0, 1].
Abbiamo quindi che
L−1{g} =f (x) = x2+ c, c ∈ R .
Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Teoria Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 6-7-2017
Cognome: Nome: Matricola:
Esercizio 1.
a. Discutere al variare di α ∈ R la continuit`a della funzione
f (x) =
e−x2/2− cos x
xα x 6= 0
0 x = 0
in x = 0.
b. Calcolare il seguente limite d successione
n→+∞lim
3n− 2n
2n arctan 1 n!
Studiare la funzione f (x) =
√
x2− 5x − 6
|x| .
(Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio)
Dominio di f :
Segno di f :
Limiti agli estremi:
Eventuali asintoti:
Derivata prima (formula e dominio):
Discutere la derivabilit`a di f :
Studio del segno di f (max/min):
Grafico di f :
Esercizio 3.
a. Studiare, al variare di a > 0 la convergenza dell’integrale improprio Z +∞
0
ax ex+ e−xdx.
b. Calcolare l’integrale del punto a. per il valore a = 1.
Sia r la retta rappresentata dalle equazioni
(x + y + z = 1 x − y − z = 0
e sia Π il piano parallelo a r che passa per i punti A ≡ (0, 0, 0) e B ≡ (1, 1, 1).
a. Determinare un’equazione del piano Π;
b. determinare i punti giacenti sulla retta r e distanti 1 dal punto A.
Teoria.
a. Siano V e W spazi vettoriali e sia L : V → W una applicazione lineare. Dimostrare che KerL ´e un sottospazio di V .
b. Siano V = C1([0, 1]) e W = C0([0, 1]) e g(x) = 2x. Assegnata l’applicazione lineare Lf (x) = f0(x), ∀ f ∈ V,
descrivere L−1{g} = {f ∈ V : Lf = g}.
