Esercizi di Fisica II: Il Campo Elettrico
Esercizio 1: Campo elettrico di un dipolo!
Determinare il campo elettrico generato da un dipolo elettrico di piccole dimensioni a=1nm e momento di dipolo P=aQ=10-15Cm lungo la retta passante tra le due cariche e la retta ortogonale alle due cariche.!
Determinare la forza elettrostatica agente su una carica elettrica q=5pC e posta ad una distanza R=0.5mm lungo la direzione del dipolo ed ortogonale al dipolo.!
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Soluzione!
Le cariche Q e -Q generano rispettivamente nel punto (0,R,0) un campo elettrico:!
Q : Ex=0,Ey=kQ/(R-a/2)2
,Ez=0.!
-Q: Ex=0,Ey=-kQ/(R+a/2)2
,Ez=0.!
quindi il campo elettrico totale e’ diretto come l’asse y:!
Elong
x=0, Elong
y=kQ[1/(R-a/2)2
-1/(R+a/2)2
],Elong z=0.!
!
invece nel punto (R,0,0) generano un campo elettrico:!
Q : Ex=kQ/((a/2)2 +R2
)cos(θ), Ey=-kQ/((a/2)2 +R2
)sin(θ),Ez=0.!
!
-Q : Ex=-kQ/((a/2)2 +R2
)cos(θ), Ey=-kQ/((a/2)2 +R2
)sin(θ),Ez=0.!
!
quindi il campo elettrico totale lungo x e’ diretto in senso opposto all’asse y:!
Etrasv
x=0,Etrasv
y=-2kQ/((a/2)2 +R2
)sin(θ), Etrasv z=0.!
Esercizi di Fisica II: Il Campo Elettrico
Per il calcolo numerico del campo elettrico conviene utilizzare l’approssimazione di piccolo dipolo elettrico a/2<<R, quindi a/[2R]<<1 e R+/- a/2≈R).!
Longitudinale:!
Elong
y=kQ[1/(R-a/2)2
-1/(R+a/2)2
]=kQ[(R+a/2)2
-(R-a/2)2
]/[(R-a/2)2
(R+a/2)2 ]!
=kQ[(R2
+2(aR/2)+(a/2)2 -R2
+2(aR/2)-(a/2)2
]/[(R-a/2)2
(R+a/2)2 ]!
=kQ2aR/[(R-a/2)2
(R+a/2)2
]≈2kQa/R3
=2kP/R3!
=2⋅9⋅109 Nm2
C-2
⋅ 10-15
Cm/ (0.0005m)3
!
=2⋅9⋅109-15+12
/25 NC-1
!
=7.2⋅105
NC-1
!
.!Trasverso:!
essendo sin(θ)=(a/2)/sqrt[(a/2)2 +R2
]≈a/(2R) oppure sin(θ)≈tan(θ)=a/(2R)!
Etrasv
y=-2kQ/((a/2)2 +R2
)sin(θ)≈-2kQ/R2
a/(2R)=-kQa/R3
=-kP/R3
=-Elong
y/2=3.6⋅105
NC-1
!
. !La forza esercitata sulla carica q e’:!
nel punto (R,0,0): Flong
x=0, Flong
y=qElong
y,Flong z=0.!
!
Flong
y=2kPq/R3
=7.2⋅105
NC-1
⋅ 5⋅10-12
C=3.6⋅10-6 N!
nel punto (0,R,0) e’ la metà e di segno opposto Ftrasv
y=-1.8⋅10-6
!
N.!! !
! !
! !
! !
! !
!
Esercizi di Fisica II: Il Campo Elettrico
Esercizio 2: Due dipoli!
Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono uguali con momento di dipolo P=aQ=10-12Cm. Il secondo dipolo è disposto lungo la retta su cui giace il primo dipolo ad una distanza R=3μm ed orientato con angolo θ=60o. !
a) Determinare la forza con cui si attraggono. !
b) Determinare il momento della forza che il primo esercita sul secondo. !
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! !
Soluzione!
Il campo elettrico generato dal primo dipolo nel punto in cui e’ localizzato il secondo dipolo è dato da:!
Elong
x=0, Elong
y=2kP/R3
,Elong
z=0 e la forza agente sulle due cariche è data da !
Q: Flong
x=0, Flong
y=QElong
y,Flong
!
z=0!-Q: Flong
x=0, Flong
y=-QElong
y,Flong
z=0 e quindi la forza totale e’ nulla nella approssimazione di dipolo.!
Le due forze pero’ sebbene di direzione opposta esercitano un momento uguale in segno dato tale da formare una coppia torcente di valore:!
M=F⋅d = 2kQP/R3
asin(θ)=2kP2 /R3
sin(θ)!
=2⋅9⋅109 Nm2
C-2
⋅ (10-12
Cm)2
/ (3⋅10-6 m)3
⋅0.87!
= 2⋅9⋅109-24+18 /33
⋅0.87 Nm = 2⋅103
/3 ⋅ 0.87 Nm !
= 0.58⋅103 Nm.
