Ensemble microcanonico
Esercizi
1) Si consideri un gas con N >> 1 particelle non
interagenti, distinguibili contenute in una scatola cubica di dimensioni laterali L. Sia l’energia di singola particella con c, velocità della luce (limite relativistico). Calcolare, a) L’entropia funzione dell’energia;
b) la temperature e la relazione energia-temperatura;
c) l’equazione di stato del sistema;
d) il rapporto -
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2) Un polimero è una grande molecola che ha l’aspetto di una lunga catena, alla quale possono essere legate ramificazioni. La molecola è formata da tante unità-base dette monomeri. Un polimero
naturale è la cellulosa, costituita da tante unità di zucchero. Altri polimeri sono le gomme e le materie plastiche, la lana, l’amido.
Un modello statistico di un polimero unidimensionale è una catena di N >>1 segmenti ognuno di lunghezza a che possono muoversi verso destra o sinistra ma sempre rimanendo paralleli all’asse x. Se sono le coordinate dei punti estremi dei segmenti allora, .
Consideriamo due cariche elettriche –q e +q poste agli estremi della molecola e questa posta in un campo elettrico E. L’energia totale della molecola è quella elettrostatica , E (. Calcolare,
a) la dipendenza dalla temperatura della lunghezza totale L della molecola;
b) descrivere il comportamento di L quando la temperatura aumenta.
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Consideriamo un insieme di N atomi in posizioni fisse in un campo magnetico .Ogni atomo porta un momento magnetico di spin ½ e sono abbastanza lontani l’uno dall’altro da poter trascurare reciproca interazione, così la sola energia in gioca è la classica energia di Zeeman data da,
Dove sono, rispettivamente il numero di atomi con spin su (direzione del campo) e con spin giu ed inoltre è, .
1) Derivare una formula per il numero dei microstati del sistema di N atomi ed energia totale E, , in termini solo di N ed E.
Derivare una espressione per l’entropia , (usare l’approssimazione di Stirling); mostrare che l’entropia è estensiva.
Trovare una espressione per la dipendenza dell’entropia dall’energia nei seguenti limiti, a) vicino al valore minimo dell’energia . Chi è ? Quanto vale l’entropia ad ? Spiegare il risultato.
b) Vicino al valore dove l’entropia è massima. Chi è ? Quanto vale l’entropia ad ? Dare una spiegazione intuitiva del risultato.
Usando i risultati precedenti, trovare una espressione per la temperatura T del sistema con energia totale E.
Usando i risultati precedenti, trovare la dipendenza dalla temperatura di , in particolare, a) nel limite
b) nel limite .
Trovare una espressione generale per il calore specifico del sistema ( campo B costante) in funzione della temperatura, in particolare nei regimi di alta e bassa temperatura.
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