Secondo la distribuzione adottata, la durata probabile di una certa pioggia è legata alla variabile ridotta y della distribuzione secondo la:

CAPITOLO II

2.1 ELABORAZIONE DEI DATI IDROLOGICI

I dati misurati, relativi a ciascuna durata di pioggia, sono stati inizialmente regolati secondo la distribuzione di Gumbel, stimando i parametri sia con il metodo dei momenti che della massima verosimiglianza, scegliendo poi il primo perché più cautelativo.

Secondo la distribuzione adottata, la durata probabile di una certa pioggia è legata alla variabile ridotta y della distribuzione secondo la:

Φ ( x ) = e ^{− e}

essendo:

t r

x 1

1 )

( = −

Φ

ed avendo indicato con t r il tempo di ritorno, si ha:

[ ]

 





 



  

 



 −

−

−

= Φ

−

−

=

t r

x

y 1

1 ln ln )) ( ln(

ln

il valore dell’altezza di pioggia avente tempo di ritorno t r è legato alla y secondo la:

h t _r = N + ⋅ y α ) 1

(

dove N (valore dominante o norma della distribuzione) ed 1/ α sono i parametri della

distribuzione, determinati elaborando i dati del campione disponibile (serie storiche

dei valori massimi annuali di pioggia).

Con il metodo dei momenti si ha che:

N = M − 0 . 45 ⋅ σ

σ

α ^{= 0 . 7797 ⋅} 1

Mentre con quello della massima verosimiglianza si ha:

1 )

1 ln(

∑ ^{− ⋅}

⋅

⋅

−

= _i e ^h

N n ^α

α

^{= −} ( _∑ ^{⋅ − ⋅} ) ( _∑ i ^{− ⋅} )

h h

i i

i

i

e

e h

M ^{α α}

α ^/

1 con i = 1,2,…,n

Con:

M = media dei dati di pioggia

σ = scarto quadratico medio = ⁽ ∑ ^{i (M - h i ) 2} / ( ⁿ − ¹ )) n = numero di dati

h i = altezza di pioggia i-esima

Calcolati i valori delle altezze di pioggia per le diverse durate e i differenti tempi di ritorno, è possibile determinare l’equazione della curva di possibilità pluviometrica, avendo fissato il tempo di ritorno [ h ( T _r ) = a ⋅ t ⁿ ], determinando le costanti a e n . Per la determinazione di tali costanti è opportuno linearizzare l’equazione h = a ⋅ t ⁿ passando alla rappresentazione logaritmica

) log(

) log(

)

log( h = a + n ⋅ t

nel piano logaritmico ( log(h , ) log(t ) questa è l’equazione di una retta. )

Interpolando i valori delle altezze calcolate in precedenza, si ottiene l’equazione di

una retta e la determinazione di a e n è immediata.

Stazione di Mutigliano:

Durata pioggia M σ momenti max verosimigl.

(ore) (mm) (mm) N (mm) 1/ α N (mm) 1/ α

1 32.92 15.47 25.96 12.06 25.94 11.35

3 52.07 25 40.82 19.49 41.6 16.24

6 64.23 29.8 50.82 23.23 50.72 21.37

12 77.91 38.04 60.79 29.66 62.07 24.14

24 93.79 45.54 73.26 35.51 74.04 31.1

metodo dei momenti: h(Tr) (mm) [Tr in anni]

t (ore) Tr = 10 Tr = 30 Tr = 50 Tr = 100 Tr = 200

1 53.1 66.8 73.0 81.4 89.8

3 84.7 106.8 116.9 130.5 144.0

6 103.1 129.4 141.5 157.7 173.8

12 127.5 161.2 176.5 197.2 217.9

24 153.2 193.5 211.8 236.6 261.3

max verosimiglianza: h(Tr) (mm) [Tr in anni]

t (ore) Tr = 10 Tr = 30 Tr = 50 Tr = 100 Tr = 200

1 51.5 64.4 70.2 78.2 86.0

3 78.1 96.6 105.0 116.3 127.6

6 98.8 123.0 134.1 149.0 163.9

12 116.4 143.8 156.3 173.1 189.9

24 144.0 179.3 195.4 217.1 238.7

Curva di Possibilità Pluviometrica log(h) = n log(t) + log(a)

y = 0,333x + 1,974 R

= 0,989 y = 0,333x + 1,932 R

= 0,989 y = 0,332x + 1,884 R

= 0,989 y = 0,332x + 1,845 R

= 0,989 y = 0,330x + 1,746 R

= 0,989

1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

log t

lo g h

Tr 200 anni

Tr 100 anni

Tr 50 anni

Tr 30 anni

Tr 10 anni

Curva di Possibilità Pluviometrica - Mutigliano h = a t

0 50 100 150 200 250 300

0 5 10 15 20 25

t (ore)

h ( m m )

Tr = 10 anni Tr = 30 anni Tr = 50 anni Tr = 100 anni Tr = 200 anni

Stazione di Gombitelli:

Durata pioggia M σ momenti max verosimigl.

(ore) (mm) (mm) N (mm) 1/ α N (mm) 1/ α

1 37.69 17.85 29.66 13.92 30.24 11.44

3 54.27 22.95 43.94 17.9 44.53 14.97

6 65.26 24.02 54.45 18.73 54.81 16.42

12 76.93 27.67 64.48 21.58 64.46 19.83

24 92.64 30.47 78.92 23.76 78.83 22.28

Tr log(h) = n log(t) + log(a) n a Curve segnalatrici di possibilità pluviometrica 10 log(h) = 0,33 log(t) + 1,75 0.3 56 h = 56 t

30 log(h) = 0,33 log(t) + 1,85 0.3 71 h = 71 t

50 log(h) = 0,33 log(t) + 1,88 0.3 77 h = 77 t

100 log(h) = 0,33 log(t) + 1,93 0.3 86 h = 86 t

200 log(h) = 0,33 log(t) + 1,97 0.3 94 h = 94 t

metodo dei momenti: h(Tr) (mm) [Tr in anni]

t (ore) Tr = 10 Tr = 30 Tr = 50 Tr = 100 Tr = 200

1 61.0 76.8 84.0 93.7 103.4

3 84.2 104.5 113.8 126.3 138.7

6 96.6 117.8 127.5 140.6 153.6

12 113.0 137.5 148.7 163.8 178.8

24 132.4 159.3 171.6 188.2 204.7

max verosimiglianza: h(Tr) (mm) [Tr in anni]

t (ore) Tr = 10 Tr = 30 Tr = 50 Tr = 100 Tr = 200

1 56.0 69.0 74.9 82.9 90.8

3 78.2 95.2 102.9 113.4 123.8

6 91.8 110.4 118.9 130.3 141.8

12 109.1 131.6 141.8 155.7 169.5

24 129.0 154.2 165.8 181.3 196.8

Curva di Possibilità Pluviometrica log(h) = n log(t) + log(a)

y = 0,211x + 2,025 R

= 0,992 y = 0,216x + 1,982 R

= 0,992 y = 0,221x + 1,934 R

= 0,993 y = 0,226x + 1,895 R

= 0,993 y = 0,240x + 1,796 R

= 0,994

1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0 0.2 0.4 0.6 log t 0.8 1.0 1.2 1.4

lo g h

Tr 200 anni Tr 100 anni Tr 50 anni Tr 30 anni Tr 10 anni

Tr log(h) = n log(t) + log(a) n a Curve segnalatrici di possibilità pluviometrica 10 log(h) = 0,24 log(t) + 1,796 0.24 63 h = 63 t

30 log(h) = 0,226 log(t) + 1,895 0.23 79 h = 79 t

50 log(h) = 0,221 log(t) + 1,934 0.22 86 h = 86 t

100 log(h) = 0,216 log(t) + 1,982 0.22 96 h = 96 t

200 log(h) = 0,211 log(t) + 2,025 0.21 106 h = 106 t

Curva di Possibilità Pluviometrica - Gombitelli h = a t ⁿ

0 50 100 150 200 250

0 5 10 t (ore) 15 20 25

h ( m m )

Tr = 10 anni Tr = 30 anni Tr = 50 anni Tr = 100 anni Tr = 200 anni

E’ stata poi ricavata una sola curva per ogni tempo di ritorno per rappresentare l’intero bacino facendo una media ponderata considerando come pesi le aree di competenza delle varie stazioni.

Di seguito è riportato il calcolo della C.P.P. totale per Tr = 200 anni

C.P.P. Area (km

) % Area C.P.P. media Mutigliano h = 94 t

26.127 44.585

Gombitelli h = 106 t

32.473 55.415 h

= 0,44585 (94 t

) + 0,55415 (106 t

) Area tot 58.6

Linearizzando l’equazione come fatto in precedenza, si ottiene la nuova curva di

possibilità pluviometrica per tutto il bacino:

Curva di Possibilità Pluviometrica totale

0 50 100 150 200 250

0 5 10 15 20 25

t (ore)

h ( m m )

h = 100 t

Per verificare la bontà dei risultati trovati, si confrontano le C.P.P. calcolate, con le equazioni delle C.P.P fornite dall’Autorità di Bacino del fiume Serchio:

l’equazione fornita dall’Autorità di Bacino è in forma trinomia del tipo:

m r n T t a h = ⋅ ⋅

i valori di a , n , m per le varie stazioni sono:

Gombitelli: a = 32.494 Mutigliano: a = 29.154

n = 0.3183 n = 0.345

m= 0.209 m= 0.209

Per un tempo di ritorno di 200 anni si ottiene

Gombitelli: h ₂₀₀ = 98 t ⋅ ^{0 . 318} Mutigliano: h ₂₀₀ = 88 t ⋅ ^{0 . 345}

Con lo stesso procedimento fatto in precedenza si calcola la C.P.P totale che ha la

seguente espressione:

329 . 0

200 93 t

h = ⋅

Confrontando le due curve si può notare che non ci sono sostanziali differenze tra i valori, e che la curva calcolata è più cautelativa di quella adottata dall’Autorità di Bacino per tempi di pioggia inferiori alle 3 ore.

Curve di Possibilità Pluviometrica totale Torrente Freddana

0 25 50 75 100 125 150 175 200

0 1 2 3 4 5 6

t (ore)

h (m m )

CPP calcolata CPP AdB Serchio

Le C.P.P. relative agli altri tempi di ritorno sono riportate di seguito:

C.P.P Tr = 10 anni MUTIGLIANO

0 20 40 60 80 100 120 140

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 30 anni MUTIGLIANO

0 40 80 120 160

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 50 anni MUTIGLIANO

0 30 60 90 120 150 180

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 200 anni MUTIGLIANO

0 40 80 120 160 200 240

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 30 anni GOMBITELLI

0 40 80 120 160

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 100 anni MUTIGLIANO

0 40 80 120 160 200

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 10 anni GOMBITELLI

0 30 60 90 120

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 50 anni GOMBITELLI

0 30 60 90 120 150 180

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 100 anni GOMBITELLI

0 40 80 120 160 200

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 10 anni media Bacino Totale

0 30 60 90 120

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 50 anni media Bacino Totale

0 30 60 90 120 150 180

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 200 anni GOMBITELLI

0 40 80 120 160 200 240

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 30 anni media Bacino Totale

0 40 80 120 160

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 100 anni media Bacino Totale

0 40 80 120 160 200

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

C.P.P Tr = 200 anni media Bacino Totale

0 40 80 120 160 200 240

0 3 6 9 12

t (ore)

h ( m m ) calcolata

AdB

Per ragguagliare le curve segnalatrici di possibilità pluviometrica del bacino all’area è stato adottato il metodo del coefficiente di ragguaglio, prendendo in esame due differenti formule per la determinazione del coefficiente stesso:

Per il primo criterio si è utilizzato la formula

12 . 0 23

.

0 ln( 1 )

0109 . 0

1 − ⋅ ⋅ + ⋅ ⁻

= S S t

r dove:

S = Superficie del bacino in km ² t = durata della pioggia in ore

L’andamento del coefficiente di ragguaglio, calcolato con la precedente espressione,

per durate da 0.25 a 24 ore e per superfici fino a 60 km² (la superficie totale del

bacino del torrente Freddana è pari a 58.6 km²), è riportato nella figura seguente:

Figura 8 – Andamento coefficiente di ragguaglio r

Coefficiente r di Ragguaglio all'Area

0.85 0.90 0.95 1.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Superficie (km

)

C o e ff . r

t=0,25 ore t=0,5 ore t=1 ora t=3 ore t=6 ore t=12 ore t=24 ore

Per il secondo criterio si è utilizzato la formula di Wallingford (1981) che fornisce il cosiddetto Areal Reduction Factor (ARF):

2

1 F 1 t ^F ARF = − ⋅ ⁻

dove:

ARF = Areal Reduction Factor (coefficiente di ragguaglio)

354 . 0

1 0 . 039 A

F = ⋅

( ^A )

F ₂ = 0 . 40 − 0 . 0208 ⋅ ln 4 . 6 − ln per A < 20 km²

2 2 0 . 40 0 . 003832 ( 4 . 6 ln A )

F = − ⋅ − per 20 km² < A < 100 km²

t = durata della pioggia in ore A = area in km²

L’andamento del coefficiente di ragguaglio ARF, per analoghe durate e per stesse

superfici è riportato nella figura seguente.

Figura 9 – Andamento Areal Reduction Factor (Wallingford).

Confrontando i valori dei due coefficienti per una superficie pari all’estensione del bacino del Freddana (58.6 km ² ) si evince che per durate di pioggia inferiori a 4 ore è più cautelativo il coefficiente di ragguaglio r.

Poiché come si vedrà in seguito la durata di pioggia critica per il bacino è inferiore alle 4 ore si è scelto di adoperare il coefficiente r perché più cautelativo.

Coefficienti di Ragguaglio

0.70 0.80 0.90 1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t(ore)

coeff r ARF

Areal Reduction Factor - Wallingford -

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Superficie (k m ² )

A R F

t=0,25 ore

t=0,5 ore

t=1 ora

t=3 ore

t=6 ore

t=12 ore

t=24 ore

2.2 PLUVIOGRAMMA DI PROGETTO

Le equazioni in precedenza determinate forniscono la relazione che esiste tra la quantità e la durata di pioggia caduta, il tempo di ritorno e l’area del bacino; ma nessun’indicazione circa la distribuzione temporale delle precipitazioni (ietogramma) che, soprattutto per i piccoli bacini, rappresenta un elemento importante nel processo di trasformazione afflussi-deflussi.

In questo studio si sono considerati due tipi di ietogramma di progetto:

• arbitrario (pioggia ad intensità costante)

• derivato dalla curva di probabilità pluviometrica (Chicago).

Il primo è quello usato da più tempo ed ipotizza semplicemente che la pioggia sia distribuita in maniera uniforme nel tempo.

Per ovviare al fatto che non si può definire a priori l’andamento temporale delle precipitazioni, si fa ricorso ai cosiddetti ietogrammi sintetici, tali da non rappresentare il reale svolgimento dell’evento pluviometrico, ma in grado di introdurre nelle procedure di trasformazione afflussi-deflussi una variabile temporale della pioggia che dà luogo a risultati cautelativi.

Tra gli ietogrammi di progetto del tipo derivato è stato scelto quello Chicago, il quale ha come caratteristica principale di dare per ogni durata, anche parziale, un’intensità media della precipitazione congruente con quella definita dalla curva di possibilità pluviometrica d’assegnato periodo di ritorno. Questo pluviogramma, qualunque sia la sua durata, contiene al suo interno tutte le piogge massime di durata inferiore. La suddetta proprietà lo rende idoneo a rappresentare le condizioni di pioggia critica indipendentemente dalla durata complessiva della precipitazione adottata.

Nel caso particolare la posizione del picco di pioggia è posta a metà della durata; e lo ietogramma è stato determinato in forma discreta con un passo temporale pari a 15 minuti.

Gli Ietogrammi di progetto usati nello studio sono riportati di seguito:

IETOGRAMMI DI PROGETTO AD INTENSITA’ COSTANTE

Tr = 10 anni

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1 2 3 4 5

t ( ore )

h ( m m )

t = 1 ora t = 2 ore t = 3 ore t = 4 ore t = 5 ore

Tr = 30 anni

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0 1 2 3 4 5

t ( ore )

h ( m m )

t = 1 ora

t = 2 ore

t = 3 ore

t = 4 ore

t = 5 ore

Tr = 50 anni

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0 1 2 3 4 5

t ( ore )

h ( m m )

t = 1 ora t = 2 ore t = 3 ore t = 4 ore t = 5 ore

Tr = 100 anni

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

0 1 2 3 4 5

t ( ore )

h ( m m )

t = 1 ora

t = 2 ore

t = 3 ore

t = 4 ore

t = 5 ore

Tr = 200 anni

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

0 1 2 3 4 5

t ( ore )

h ( m m )

t = 1 ora t = 2 ore t = 3 ore t = 4 ore t = 5 ore

IETOGRAMMI DI PROGETTO TIPO CHICAGO

T

= 10 anni t

= 1 ora

0 10 20 30 40

0.25 0.50 0.75 1.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 10 anni t

= 2 ore

0 10 20 30 40

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 10 anni t

= 3 ore

0 10 20 30 40

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 10 anni t

= 5 ore

0 10 20 30 40

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 30 anni t

= 2 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 10 anni t

= 4 ore

0 10 20 30 40

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 30 anni t

= 1 ora

0 10 20 30 40 50

0.25 0.50 0.75 1.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 30 anni t

= 3 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 30 anni t

= 4 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 50 anni t

= 1 ora

0 10 20 30 40 50

0.25 0.50 0.75 1.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 50 anni t

= 3 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 30 anni t

= 5 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 50 anni t

= 2 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 50 anni t

= 4 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 50 anni t

= 5 ore

0 10 20 30 40 50

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 100 anni t

= 2 ore

0 10 20 30 40 50 60

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 100 anni t

= 4 ore

0 10 20 30 40 50 60

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 100 anni t

= 1 ora

0 10 20 30 40 50 60

0.25 0.50 0.75 1.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 100 anni t

= 3 ore

0 10 20 30 40 50 60

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 100 anni t

= 5 ore

0 10 20 30 40 50 60

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 200 anni t

= 1 ora

0 10 20 30 40 50 60 70

0.25 0.50 0.75 1.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 200 anni t

= 3 ore

0 10 20 30 40 50 60 70

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 200 anni t

= 5 ore

0 10 20 30 40 50 60 70

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4.75

t (ore)

h ( m m )

T

= 200 anni t

= 2 ore

0 10 20 30 40 50 60 70

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

t (ore)

h ( m m )

T

= 200 anni t

= 4 ore

0 10 20 30 40 50 60 70

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

t (ore)

h ( m m )

2.3 DETERMINAZIONE DELLA PIOGGIA NETTA

Per la determinazione della pioggia netta si è fatto ricorso al metodo Curve Number (CN) del Soil Conservation Service, che calcola la quantità di pioggia persa per infiltrazione ad un dato momento (unica delle perdite di bacino rilevante in un processo di trasformazione afflussi-deflussi finalizzato allo studio della formazione dell’onda di piena), come funzione della pioggia cumulata caduta fino a quell’istante, del tipo di suolo, del suo uso e del suo grado d’imbibizione iniziale. L’ipotesi di base è espressa dalla seguente equazione:

a e a

I P

P S

F

= −

in cui P è la pioggia cumulata netta all’istante t, P è l’altezza di pioggia ragguagliata _e cumulata all’istante t, I la perdita iniziale che si manifesta prima dell’inizio dei _a deflussi superficiali, S la massima capacità di ritenzione (misura della capacità del bacino imbrifero di assorbire e trattenere la pioggia caduta) e F la precipitazione _a persa per infiltrazione.

Dall’equazione di continuità:

P = P _e + I _a + F _a

si ha:

( )

S I P

I P P

a a

e − +

= −

2

Fino a quando la pioggia cumulata caduta non supera la perdita iniziale, P è nulla; _e

superato tale valore ha invece inizio il ruscellamento superficiale.

Dall’analisi di numerosi bacini sperimentali ricadenti nel territorio degli USA, il Soil Conservation Service ha sviluppato una relazione empirica che lega I e S: _a

I _a = 0 . 2 ⋅ S

Tuttavia si ritiene di dover adottare, per i corsi d’acqua italiani, un valore più cautelativo e si assume pertanto:

I _a = 0 . 1 ⋅ S

Quindi la pioggia cumulata netta all’istante t risulta:

S P

S P _e P

⋅ +

⋅

= −

9 . 0

) 1 . 0

(

L’incremento di pioggia netta relativo ad un intervallo di tempo è calcolato come differenza tra i valori della stessa pioggia netta alla fine ed all’inizio del periodo.

La capacità di ritenzione potenziale e le caratteristiche del bacino sono correlate tramite il parametro CN:

CN S = ⋅ 1000 − 10 ⋅ CN

4 . 25

Da tutto ciò si può rilevare come tutte le caratteristiche del bacino siano sintetizzate dall’unico parametro CN.

La classe AMC (Antecedent Moisture Condition), ovvero la condizione media d’umidità del terreno quando si suppone agire la pioggia di progetto, è definita in dipendenza del valore della precipitazione totale verificatasi nei cinque giorni precedenti l’evento e dello stato della vegetazione (stagione di riposo o di crescita), secondo un’apposita tabella.

Nello studio in oggetto si è fatto riferimento alla condizione AMC II (condizione

standard).

Dalla sovrapposizione delle carte di permeabilità ed uso del suolo, precedentemente viste, e dall’ utilizzo delle tabelle reperibili in letteratura è stata possibile l’individuazione dei valori del parametro CN per le varie parti del bacino.

Tabella 1: Parametri CN relativi alla classe di umidità II per le quattro classi litologiche

e per i vari tipi di uso del suolo.

Freddana monte Fosso Pratalino Fosso Casaline Fosso Vinciola CN S (Km

) CN S (Km

) CN S (Km

) CN S (Km

)

35 1.72 73 0.97 73 0.3 70 3.59

61 0.79 70 0.59 61 0.05 91 0.08

71 0.06 91 0.34 81 0.05 62 0.26

72 0.13 62 0.21 35 0.3 73 0.77

78 0.26 61 0.04 70 0.8 78 0.28

81 0.54 95 0.13 CN 61 0.19

73 0.83 94 0.04 1.5 63.7 71 0.28

88 0.47 92 0.07 94 0.06

91 0.03 35 3.81 92 0.07

70 12.77 CN 89 0.02

CN 6.2 50.7 35 2.9

17.6 67.3 CN

8.5 58.8

Rio Cerreto Fosso Gambogi Fosso Ribongi Rio Arsina CN S (Km

) CN S (Km

) CN S (Km

) CN S (Km

)

78 0.83 78 0.7 81 0.2 70 1

88 0.19 73 0.1 61 0.15 78 0.876

61 0.04 61 0.03 88 0.19 81 0.545

73 0.42 88 0.03 91 0.07 73 0.152

70 2.02 91 0.01 73 0.26 72 0.56

CN 81 0.1 78 0.84 35 0.17

3.5 73.1 70 0.43 70 0.89 88 0.62

CN CN 91 0.17

1.4 75.3 2.6 75.1 92 0.186

94 0.091

71 0.13

CN

4.5 76.6

interb. San Martino interb. Carbonaia interb. Mutigliano int. Freddana valle CN S (Km

) CN S (Km

) CN S (Km

) CN S (Km

)

73 1.13 78 0.13 81 0.42 73 0.01

89 0.1 35 0.02 61 0.18 88 0.25

95 0.12 72 0.08 78 0.96 78 0.07

94 0.076 88 0.1 73 0.03 71 0.06

81 0.127 91 0.016 88 0.13 94 0.1

92 0.425 92 0.05 70 1.48 92 0.3

91 0.02 95 0.02 CN 70 0.09

72 0.058 73 0.054 3.2 74.1 61 0.02

35 1.264 61 0.13 35 0.06

61 0.28 81 0.24 72 0.39

CN 70 2.26 89 0.1

3.6 63.0 CN 81 1.45

3.1 71.9 CN

2.9 80.5

Tabella 2 – Calcolo dei valori CN del bacino del Freddana.

2.4 MODELLAZIONE AFFLUSSI – DEFLUSSI

Per lo studio della trasformazione afflussi-deflussi del bacino si è impiegato il codice di calcolo HEC-HMS (Hydrologic Modelling System) versione 3.2 sviluppato dall’Hydrologic Engineering Center dell’US Army Corps of Engineers, costruendo un modello matematico semidistribuito della rete idrografica.

La rete idrografica è stata così rappresentata come una serie di elementi

“sottobacino” connessi ai “rami” mediante i “nodi”. Ciascun sottobacino è stato definito mediante l’assegnazione della superficie e dei parametri propri del metodo CN (valore del CN, perdita iniziale I , percentuale della superficie impermeabile), _a mentre per i rami sono stati forniti come dati d’input la lunghezza, la pendenza, la sezione e il coefficiente di Manning, rappresentativi dell’asta che schematizzano.

Durante l’esecuzione del programma, è stato calcolato, per ciascun sottobacino, l’ammontare della pioggia netta, applicando numericamente le equazioni proprie del metodo CN in precedenza descritte.

Si è schematizzato in questo modo il bacino come un operatore lineare e stazionario il cui comportamento resta determinato dalla definizione dell’idrogramma unitario (dei deflussi superficiali) ovvero dell’idrogramma generato da una pioggia netta d’altezza unitaria, caduta uniformemente sul bacino con intensità costante durante un intervallo di tempo assunto come unitario.

Così facendo si è adottato un modello empirico (le equazioni ed i parametri hanno un significato fisico limitato) e parametrico.

Il codice di calcolo è in grado di risolvere, in forma discreta, l’equazione di convoluzione per un sistema lineare :

₁

1

+

−

≤

= ⋅

= ⁿ ∑ ^{N n m}

m m

n P U

Q

in cui :

Qn = ordinata dell’idrogramma di piena all’istante n Dt

Pm = pioggia caduta nell’intervallo m Dt, m+1Dt

m = numero d’intervalli in cui è suddiviso lo ietogramma;

Un-m+1 = ordinata dell’idrogramma unitario all’istante (n-m+1) Dt

Implicitamente in questo modo si assume che la pioggia netta sia distribuita uniformemente nello spazio ed abbia intensità costante durante un intervallo di tempo d’ampiezza ∆t.

L’idrogramma utilizzato è l’idrogramma unitario adimensionale del Soil Conservation Service (S.C.S. U.H.), ricavato per deconvoluzione dall’analisi di un gran numero di piccoli bacini agricoli nel territorio degli Stati Uniti d’America; esso è riportato nella figura seguente:

Tale idrogramma, che è di tipo parametrico (in pratica esprimibile mediante un sistema d’equazioni parametriche), esprime la portata Ut come frazione della portata al colmo (Up) per ogni istante t, dato come frazione dell’istante di colmo Tp.

Il picco dell’idrogramma unitario ed il corrispondente istante, sono legati dalla relazione:

p

p t

C A

U = ⋅

nella quale C è un fattore numerico di conversione ed A la superficie del bacino.

L’istante di picco è legato alla durata dell’unità di pioggia netta dalla:

_p t t _p T = ∆ +

2

nella quale Dt è la durata dell’intervallo di tempo assunto come unitario, mentre t lag è il Lag time, l’unico parametro del modello, pari allo sfasamento temporale tra il baricentro dello ietogramma ed il picco dell’idrogramma unitario.

T p 1.66 T p

q p

t

t

c

lag t

t = 0 . 6 ⋅

Dove t c è il tempo di concentrazione del bacino dato da:

5 . 0

7 . 0 8

.

0 1000 9

571 .

0 y

L CN t _c

 

 



 −

⋅

⋅

=

con:

CN = Curve Number del bacino L = lunghezza dell’asta in km

y = pendenza media del bacino (%) determinata con il metodo di Alvard–Horton

Gli idrogrammi di piena relativi alle sezioni di confluenza sono stati propagati lungo l’asta principale applicando il modello cinematico. Per far ciò, la prima ipotesi adottata è che il moto possa considerarsi gradualmente vario nel tempo e gradualmente variato nello spazio, per cui la portata ed il livello idrico risultano funzioni continue del tempo e della coordinata curvilinea x misurata lungo il corso d’acqua.

Il modello cinematico è basato sulla seguente equazione di continuità, valida per una corrente monodimensionale in un tronco solitario:

= 0

∂ + ∂

∂

∂ x Q t A

nella quale s’indica con A l’area liquida, con t il tempo e con Q la generica portata.

Nell’ipotesi che, relativamente a due generiche sezioni di controllo, sia trascurabile la variazione dell’altezza liquida sul fondo rispetto alla variazione della quota di fondo sullo stesso tratto, la pendenza della linea dell’energia, quella del pelo libero e quella di fondo vengono a coincidere.

Esprimendo l’equazione del moto di Manning nella forma seguente:

Q = α ⋅ A ^m

con a e m parametri dipendenti dalla geometria della sezione e dalla scabrezza dell’alveo.

Combinando le due precedenti relazioni, si perviene in definitiva all’equazione del moto propria del modello cinematico:

^{( 1 )} = 0

∂

⋅ ∂

⋅

⋅

∂ +

∂ ₋

x A A

t m

A α m

Tale equazione, nell’unica incognita A, è risolta con procedimento alle differenze

finite ricercando i valori che quest’ultima grandezza assume nei diversi istanti in una

prefissata posizione; l’equazione di Manning consente di ricavare i corrispondenti valori di portata ovvero l’idrogramma ricercato.

I dati necessari per poter applicare questo metodo sono la lunghezza dei rami e le loro caratteristiche geometriche (sezioni rappresentative, pendenza delle linee di fondo, coefficienti di Manning).

2.5 RISULTATO FINALE DELLO STUDIO IDROLOGICO

Avendo calcolato tutte le grandezze ed i parametri occorrenti, è stato possibile applicare numericamente, tramite simulazione su codice di calcolo HEC-HMS, la modellazione afflussi-deflussi secondo i metodi illustrati nei paragrafi precedenti.

Il risultato finale è costituito dall’insieme degli idrogrammi di piena nei nodi della rete idrografica.

In particolare sono stati considerati eventi di progetto aventi tempo di ritorno duecentennale e durate variabili da 1 a 5 ore.

Nelle pagine successive sono riportati nell’ordine:

- lo schema della rete idrografica con la denominazione dei sottobacini, dei nodi e dei rami

- tabella riassuntiva delle caratteristiche del bacino del torrente Freddana e dei vari

sottobacini

- confronto tra gli idrogrammi di piena nella confluenza tra il torrente Freddana ed il fiume Serchio, dovuti a ietogrammi a intensità costante e tipo CHICAGO per varie durate della pioggia di progetto e diversi tempi di ritorno.

Figura 11 – Schema della rete idrografica

Interbacino San Martino

Sottobacino Fosso Casaline

Sottobacino Rio Arsina Sottobacino

Fosso Gambogi

Interbacino Mutigliano

Sottobacino Fosso Ribongi

Interbacino Freddana valle A

B

C

D

E

F

Foce Tratto A-B

Tratto B-C

Tratto C-D

Tratto D-E

Tratto E-F

Tratto F-Foce Sottobacino

Freddana monte

Interbacino Carbonaia Sottobacino

Fosso Pratalino Sottobacino

Rio Cerreto Sottobacino

Fosso Vinciola

Tabella riassuntiva delle caratteristiche del bacino del Freddana e dei vari sottobacini

S (km

) CN L (km) i

(%) t

(ore) SCS t

Sottobacino Freddana a monte 17.6 67.3 6.9 39.92 1.461 0.877

Sottobacino Fosso Pratalino 6.2 50.7 3.5 40.02 1.295 0.777

Interbacino San Martino 3.6 63.0 1.8 33.44 0.609 0.366

Sottobacino Fosso Casaline 1.5 63.7 1.7 40.40 0.520 0.312

Sottobacino Fosso Vinciola 8.5 58.8 4.3 46.01 1.160 0.696

Interbacino Carbonaia 3.1 71.9 2.0 45.80 0.448 0.269

Sottobacino Rio Cerreto 3.5 73.1 2.2 38.19 0.512 0.307

Interbacino Mutigliano 3.2 74.1 1.4 33.85 0.368 0.221

Sottobacino Solco del Gambogi 1.4 75.3 1.7 30.78 0.436 0.261

Sottobacino Fosso Ribongi 2.6 75.1 3.0 23.77 0.785 0.471

Interbacino Freddana valle 2.9 80.5 1.1 7.21 0.543 0.326

Sottobacino Rio Arsina 4.5 76.6 2.4 15.58 0.777 0.466

Bacino Freddana totale 58.6 66.8 17 28.64 3.594 2.156

Confronto tra idrogrammi di piena, alla foce del torrente Freddana, derivati da ietogrammi ad intensità costante e ietogrammi CHICAGO

T _r = 10 anni t _p = 1 ora

0 20 40 60 80 100 120 140

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 10 anni t _p = 2 ore

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T r = 10 anni t p = 3 ore

0 40 80 120 160 200

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 10 anni t _p = 4 ore

0 40 80 120 160 200

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 10 anni t _p = 5 ore

0 50 100 150 200 250

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T r = 30 anni t p = 1 ora

0 50 100 150 200 250

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 30 anni t _p = 3 ore

0 50 100 150 200 250 300

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 30 anni t _p = 4 ore

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 30 anni t _p = 5 ore

0 50 100 150 200 250 300 350

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 50 anni t _p = 1 ora

0 50 100 150 200 250

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 50 anni t _p = 2 ore

0 50 100 150 200 250 300 350

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 50 anni t _p = 3 ore

0 50 100 150 200 250 300 350

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 50 anni t _p = 4 ore

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 50 anni t _p = 5 ore

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 100 anni t _p = 1 ora

0 50 100 150 200 250 300 350

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 100 anni t _p = 2 ore

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 100 anni t _p = 3 ore

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T r = 100 anni t p = 4 ore

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 100 anni t _p = 5 ore

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 200 anni t _p = 1 ora

0 100 200 300 400

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 200 anni t _p = 2 ore

0 100 200 300 400 500

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 200 anni t _p = 3 ore

0 100 200 300 400 500 600

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.

T _r = 200 anni t _p = 4 ore

0 100 200 300 400 500 600

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO Int. Cost.

T _r = 200 anni t _p = 5 ore

0 100 200 300 400 500 600

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

t (ore) Q ( m 3 /s )

CHICAGO

Int. Cost.