MODÈLE LINÉAIRE - TD 3Nom

MODÈLE LINÉAIRE - TD 3

Nom

ESERCIZIO 1

Considerare i dati riportiati qui a fianco:

Si ottiene la seguente retta di regressione:

Y = 134.48 + 0.491 x

j x

y

¶

y

e

1 45.85 158.26

2 42.90 155.97

3 42.85 153.31

4 42.24 153.99

5 40.16 155.90

1) Disegnare i punti e la retta di regressione.

2) Calcolare i valori approssimati e i residui e scriverli nella tabella

3) Calcolare x e 

4) Calcolare la stima della varianza  delle variabili aleatorie

Y

, , K Y come somma dei quadrati

dei residui

5) Calcolare la stima s della varianza di B

e la stima s della varianza di B

.

6) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti del modello  e 

.

7) Effettuare un test a livello di significatività del 95% per verificare se il coefficiente  è nullo

8) Intervalli di confidenza per ciascuno dei valori attesi delle variabili risposta Y

, , K Y

. Completare la tabella ricopiando le stime ¶ ¶

1

, ,

y K y dei valori attesi delle variabili risposta Y

, , K Y

, calcolando le stime delle varianze degli stimatori µ µ

1

, ,

Y K Y e infine gli intervalli di confidenza.

j ¶

y

 ^x

^{ x} 

^h

^{t s h}

intervallo di confidenza per IE Y  

1

2

3

4

5

9) Disegnare gli intervalli di confidenza nel grafico costruito nel punto 1).

10) Si ha una nuova osservazione per x, uguale a 43.0, e non si osserva la variabile risposta y.

Determinare un intervallo per la variabile risposta a livello del 95%.

ESERCIZIO 2 - LETTURA DI UN OUTPUT SAS

Si considerano i dati di 31 atleti che praticano spor di fondo e si vuol studiare il consumo di ossigeno (varaibile risposta) in dipendenza del tempo di percorrenza (variabile esplicativa) di un percorso fissato.

Con il programma

proc reg data=fitness;

model Oxygen= RunTime;

run;

l’output SAS è il seguente

The REG Procedure Model: MODEL1

Dependent Variable: Oxygen Number of Observations Read 31 Number of Observations Used 31 Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 632.90010 632.90010 84.01 <.0001 Error 29 218.48144 7.53384

Corrected Total 30 851.38154

Root MSE 2.74478 R-Square 0.7434 Dependent Mean 47.37581 Adj R-Sq 0.7345 Coeff Var 5.79364

Parameter Estimates Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 82.42177 3.85530 21.38 <.0001 RunTime 1 -3.31056 0.36119 -9.17 <.0001

Nella tabella Parameter Estimates sono riportate:

Parameter Estimate: stime puntuali dei coefficienti ^

e 

. , cioè i valori di b

e b

Standard Error: stime puntuali delle standard deviation degi stimatori B

e B

, cioè i valori di s

e s

T for H0: Parameter=0 valore della statistica test per il test di nullità di ciascun coefficiente ^

e



:



B0

t b

s e 

t b s

Prob > |T|: p-value delle realizzazioni campionarie t

e t

a) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti d el modello ^

e 

_.

b) Effettuare un test per verificare la nullità del coefficiente 

contro l’alternadiva che sia diverso da zero

Aggiungendo all’istruzione model le opzioni proc reg data=fitness;

model Oxygen= RunTime /p r clm cli ; run;

si ottiene anche il seguente output

Output Statistics Dependent Predicted Std Error

Obs Variable Value Mean Predict 95% CL Mean 95% CL Predict Residual 1 44.6090 44.7808 0.5685 43.6180 45.9435 39.0479 50.5136 -0.1718 2 45.3130 49.0845 0.5270 48.0065 50.1624 43.3682 54.8008 -3.7715 3 54.2970 53.7855 0.8556 52.0355 55.5354 47.9053 59.6656 0.5115 4 59.5710 55.3745 1.0023 53.3246 57.4245 49.3982 61.3508 4.1965 5 49.8740 51.8985 0.6975 50.4719 53.3250 46.1063 57.6906 -2.0245 6 44.8110 43.9200 0.6206 42.6507 45.1894 38.1646 49.6754 0.8910 7 45.6810 42.8606 0.6969 41.4353 44.2860 37.0688 48.6525 2.8204 8 49.0910 46.5022 0.5021 45.4753 47.5292 40.7954 52.2091 2.5888 9 39.4420 39.1197 1.0268 37.0196 41.2199 33.1260 45.1134 0.3223 10 60.0550 53.8517 0.8615 52.0897 55.6137 47.9679 59.7354 6.2033 11 50.5410 48.8858 0.5198 47.8228 49.9489 43.1724 54.5993 1.6552 12 37.3880 35.9747 1.3380 33.2381 38.7113 29.7295 42.2199 1.4133 13 44.7540 45.6084 0.5293 44.5258 46.6910 39.8912 51.3256 -0.8544 14 47.2730 47.3299 0.4930 46.3216 48.3382 41.6263 53.0334 -0.0569 15 51.8550 48.2237 0.5016 47.1979 49.2496 42.5171 53.9304 3.6313 16 49.1560 52.7923 0.7696 51.2183 54.3663 46.9621 58.6225 -3.6363 17 40.8360 46.1712 0.5102 45.1277 47.2147 40.4613 51.8811 -5.3352 18 46.6720 49.3162 0.5365 48.2189 50.4135 43.5963 55.0362 -2.6442 19 46.7740 48.4886 0.5077 47.4502 49.5270 42.7796 54.1975 -1.7146 20 50.3880 49.0514 0.5258 47.9760 50.1267 43.3356 54.7672 1.3366 21 39.4070 40.6095 0.8877 38.7939 42.4250 34.7095 46.5095 -1.2025 22 46.0800 45.4429 0.5362 44.3462 46.5395 39.7230 51.1627 0.6371 23 45.4410 50.5411 0.6019 49.3101 51.7722 44.7940 56.2882 -5.1001 24 54.6250 52.8916 0.7779 51.3006 54.4827 47.0568 58.7265 1.7334 25 45.1180 45.7408 0.5243 44.6686 46.8131 40.0256 51.4560 -0.6228 26 39.2030 39.7818 0.9641 37.8100 41.7536 33.8319 45.7318 -0.5788 27 45.7900 47.7603 0.4948 46.7484 48.7722 42.0561 53.4644 -1.9703 28 50.5450 49.5480 0.5470 48.4292 50.6667 43.8239 55.2721 0.9970 29 48.6730 51.3026 0.6531 49.9668 52.6383 45.5321 57.0730 -2.6296 30 47.9200 44.3504 0.5933 43.1370 45.5638 38.6070 50.0937 3.5696 31 47.4670 47.6609 0.4940 46.6507 48.6712 41.9570 53.3648 -0.1939

Nella tabella sono riportate:

Dependent Variable: i valori campionari y

, , K y

delle variabili risposta Perdicted Value: le approssimazioni lineari ¶ ¶

1

, ,

y K y delle variabili risposta; sono le stime dei valori attesi di Y

, , K Y

Std Error Mean Predict le stime delle deviazioni standard delle ¶ y , cioè

sh

95% CL Mean gli intevalli di confidenza per IE Y  

95% CL Predict gli intevalli in cui sta la risposta Y con probabilità del 95%

Residual i residui