IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO L’accelerazione.
Una automobile di grossa cilindrata, come la Ferrari 575M Maranello, è apprezzata per la sua
‘ripresa’, cioè per la sua capacità di variare la velocità in un breve intervallo di tempo.
FERRARI 575M Maranello Velocità Massima 325 Km/h
Accelerazione Massima 0-100Km/h in 4,2 s L’accelerazione è la grandezza fisica che dà informazioni sulla variazione di velocità nel tempo.
Definiamo accelerazione il rapporto fra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo in cui tale variazione avviene.
ottenerla ad
impiegato tempo
di ervallo
velocità di
iazione one
accelerazi
−
−
−
−
−
−
= − int
var Passiamo alle formule.
Chiamiamo v0 la velocità iniziale; v la velocità finale; t0 l’istante iniziale; t l’istante finale.
Avremo: ∆v= v− v0 = variazione di velocità;
t0
t t = −
∆ = intervallo di tempo
0 0
t t
v v t a v
−
= −
∆
= ∆ = accelerazione La sua unità di misura nel S.I. è il m/s2 (metro al secondo quadrato)
sec2
sec 1 sec sec
sec m
t v m
t v t
v m
a= = =
Anche per l’accelerazione abbiamo l’accelerazione media quando consideriamo la variazione di velocità totale avvenuta in un certo intervallo di tempo; e l’accelerazione istantanea quando l’intervallo di tempo è molto piccolo.
Inoltre l’accelerazione è una grandezza vettoriale, poiché la velocità e le sue variazioni sono grandezze vettoriali.
v0= velocità iniziale; v= velocità finale; ∆v= v− v0 = variazione di velocità;
t a v
∆
= ∆
= vettore accelerazione
La figura mostra la variazione di velocità ∆v, che ha gli stessi direzione e verso dell’accelerazione a:
Calcoliamo l’accelerazione della Ferrari 575M Maranello v0= 0 Km/h; v = 100 km/h ; ∆t= 4,2 sec; .
v=100Km/h=100 x 0,278 m/sec = 27,8 m/sec
2 0
0
62sec , 2 6
, 4
0 8 ,
27 m
t t
v v t
a v = − =
−
= −
∆
= ∆
Il moto rettilineo uniformemente accelerato.
Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato quando la traiettoria è una retta (rettilineo) e l’accelerazione è costante (uniformemente accelerato).
0 0
t t
v v t a v
−
= −
∆
= ∆ =costante
Poiché l’accelerazione è una grandezza vettoriale, che sia costante implica che abbia direzione, verso ed intensità costanti. Il moto è rettilineo, quindi ad una dimensione, e come riferimento si considera un solo asse cartesiano. Le grandezze coinvolte sono mostrate nelle figure sottostanti.
s0= spostamento iniziale; s= spostamento finale ; ∆s= s− s0= variazione di spazio.
Ricordiamo che la velocità t v s
∆
= ∆
ha direzione e verso di ∆s
v0= velocità iniziale; v= velocità finale; ∆v= v− v0 = variazione di velocità;
accelerazione
Ricordiamo che l’accelerazione (indicata nelle figure dalla freccia rosa)
t a v
∆
= ∆
ha la direzione
ed il verso di ∆v. Se la velocità iniziale v0 è minore della velocità finale v, il moto è accelerato, e l’accelerazione ha gli stessi direzione e verso del moto.
accelerazione
Se la velocità iniziale v0 è maggiore della velocità finale v, il moto è decelerato ( o ritardato), e l’accelerazione ha la stessa direzione del moto, ma verso opposto.
Poiché abbiamo un moto unidimensionale, possiamo tralasciare la notazione vettoriale, e considerare positive tutte le grandezze con il verso del moto, e negative tutte le grandezze che hanno verso opposto.
ESEMPIO: MOTO ACCELERATO
v0= 0 Km/h; v = 100 km/h ; ∆t= 8 sec; vogliamo conoscere l’accelerazione.
v=100Km/h=100 x 0,278 m/sec = 27,8 m/sec
t v v t a v
∆
= −
∆
= ∆ 0 = 2 2
5sec , sec 3 8
0 8 ,
27 − m = m
ESEMPIO: MOTO RITARDATO
v0= 50 Km/h; v = 0 km/h ; ∆t= 6 sec; vogliamo conoscere l’accelerazione.
v=50Km/h=50 x 0,278 m/sec = 13,9 m/sec
t v v t a v
∆
= −
∆
= ∆ 0 = 2 2
3sec , sec 2
6 9 , 13
0− m = − m
NOTARE IL SEGNO MENO DELL’ACCELERAZIONE
La relazione tra velocità e tempo.
Poniamoci nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale (s0=0), tempo iniziale (t0=0), e velocità iniziale (v0=0) sono nulli.
L’accelerazione diventa:
=
= t
a v costante . e la sua rappresentazione grafica è mostrata in figura.
Dalla formula precedente possiamo trovare la velocità:
v = a x t con a = costante.
Se rappresentiamo questa relazione su un grafico avremo una retta che passa per l’origine degli assi.
In questo moto si verificano le seguenti condizioni:
1) al crescere di t (variabile indipendente), cresce v (variabile dipendente);
2) il rapporto v/t (che è l’accelerazione) è costante;
3) il grafico di v in funzione di t è una retta che passa per l’origine degli assi.
Si conclude quindi che la velocità v ed il tempo t sono direttamente proporzionali nel moto rettilineo uniformemente accelerato.
Moti che hanno diversa accelerazione, avranno grafici con differente pendenza.
La figura mostra il grafico velocità-tempo per due moti con accelerazione diversa, e dai dati riportati si possono calcolare le due accelerazioni:
1 2
18sec , 1 6
3 18 , 6 54 ,
18 m
a =
−
= − 2 2
27sec , 1 9
3 27 , 9 81 ,
27 m
a =
−
= −
La relazione fra spazio e tempo.
La deduzione della relazione fra spazio e tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato si fa rigorosamente mediante il calcolo infinitesimale. Cerchiamo quindi di dare una giustificazione elementare ed intuitiva.
Rimaniamo nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale (s0=0), tempo iniziale (t0=0), e velocità iniziale (v0=0) sono nulli. Il grafico velocità-tempo è il seguente:
Come già sappiamo dallo studio del moto rettilineo uniforme, l’area tratteggiata in figura fornisce lo spazio percorso nel tempo t (a partire dall’istante iniziale). Questa figura è un triangolo, quindi la sua area è:
AREA = BASE x ALTEZZA / 2
s = t x v /2 = t x a x t /2= 2 2 1at
2
2 1at
s= è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato quando s0 = 0; t0 = 0; v0 = 0.
La rappresentazione grafica di tale legge è riportata in figura:
Questa curva particolare si chiama parabola, e si parla di proporzionalità quadratica fra spazio e tempo.
Nel moto uniformemente accelerato lo spazio percorso è direttamente proporzionale ai quadrati dei tempi impiegati a percorrerlo, con costante di proporzionalità uguale alla metà della misura dell’accelerazione.
Due grandezze X e Y sono in relazione di proporzionalità quadratica se vi è una diretta proporzionalità tra una grandezza (Y) ed il quadrato dell’altra (X):
Y = K x X2 dove K = costante
Quando due grandezze X e Y hanno una relazione di proporzionalità quadratica, si ha che:
1) il grafico che le rappresenta è una parabola;
2) Y ed X2 sono direttamente proporzionali, per cui il loro rapporto è costante (Y/X2
=costante);
3) Soddisfano una relazione del tipo Y = K x X2.
Moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v0.
Consideriamo che il corpo abbia una velocità iniziale v0 , ma un tempo iniziale nullo t0=0.
L’accelerazione è:
t v v t
a v = − 0
∆
= ∆ = costante; la velocità diventa: v = v0 + at ; l’equazione del
moto: s at2 v0t 2
1 +
= .
Rappresentazioni grafiche per il moto con:
v
o = 2 m/sec a = 1 m/sec2
Moto rettilineo uniformemente ritardato.
Nel moto ritardato si osserva ad esempio un automobile che frena, da 100Km/h a 0 Km/h. Nel moto ritardato quindi la velocità iniziale è sempre presente. In questo caso occorre premettere un segno meno all’accelerazione, e le formule diventano:
- t
v v t
a v = − 0
∆
= ∆ = -costante; v = v0 – at; 0 2
2 1at t v s= −
Rappresentazioni grafiche per il moto con:
v
o = 4 m/sec a = 1 m/sec2Moto rettilineo uniformemente accelerato: formule generali.
Diamo le formule del moto nel caso si abbia spostamento iniziale s0 ; velocità iniziale v0; e tempo iniziale t0.
0 0
t t
v v t a v
−
= −
∆
= ∆ =costante; v = v0 + a(t-t0); 2 0 0
2
1at v t s
s= + +
Moto rettilineo uniformemente ritardato: formule generali.
Diamo le formule del moto nel caso si abbia spostamento iniziale s0 ; velocità iniziale v0; e tempo iniziale t0.
-
0 0
t t
v v t a v
−
= −
∆
= ∆ = -costante; v = v0 – a(t-t0); 0 0 2
2 1at t v s
s= + −
Bibbliografia del testo e delle figure:
Mario Michetti, Fisica, Ist. Tecn. Industriali (vol. 1), Libreria Editrice Canova, Treviso 1963 Sergio Fabbri, Mara Masini, Fisica, percorsi attivi (vol.1), SEI, Torino 2005
Sito web ufficiale della Ferrari
A cura di: Prof. Taccone Anna, ITIS ‘G. Vallauri’ di Reggio Calabria, a.s. 2005/06
