 bax EQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO

EQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO

b ax 

Ideata da: Prof. La Barbera Mauro

INTRODUZIONE

DEFINIZIONE DI EQUAZIONE ALGEBRICA

Un'equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni algebriche contenenti una o più variabili, dette incognite. 

In questa lezione studieremo le equazioni algebriche di primo grado ad una incognita, ossia uguaglianze del tipo:

L’ESPRESSIONE SI CHIAMA PRIMO MEMBRO, MENTRE SI DICE SECONDO MEMBRO

VARIABILE DI PRIMO GRADO (si dice di primo grado perché l’esponente della lettera è 1)

COEFFICIENTE DELLA VARIABILE TERMINE NOTO

In generale, un’equazione nasce dalla formulazione di un problema nel quale figura una quantità sconosciuta. L’equazione non fa altro che tradurla in termini algebrici e la sua risoluzione consente di trovare il valore di quella quantità, detta anche incognita.

b ax 

a x b

ax b

INTRODUZIONE

“Marco ha una quantità di euro nel portafoglio tale che moltiplicandola per tre e sottraendo nove dà come risultato quindici. Quanti soldi ha Marco?”

Chiamando

x

3x – 9 = 15

Regola del trasporto

In un'equazione si può trasportare un termine da un membro all'altro purché lo si cambi di segno. 

3x = 15 + 9

ESEMPIO

Svolgendo i calcoli si ottiene:

3x = 24

Quando si ottiene una sola quantità a sinistra ed una sola a destra si dice che l’equazione è scritta in forma canonica.

Proprietà invariantiva

Dividendo entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data. 

Pertanto, se si divide sia il primo membro sia il secondo membro per 3 si ottiene:

x = 8 (soluzione)

Quindi Marco ha 8 euro nel portafoglio.

ESEMPIO

Verifica

Per verificare la correttezza della soluzione si sostituisce il valore trovato a posto della variabile x dell’equazione, pertanto si ottiene:

3x – 9 = 15 3 × 8 – 9 = 15

Svolgendo i calcoli si ha:

24 – 9 = 15 15 = 15

Pertanto, avendo ottenuto lo stesso valore ambo i membri (identità)

x = 8

ESEMPIO

DETERMINARE L’INCOGNITA X DELLA SEGUENTE EQUAZIONE

7x + 4 = 22 – 2x

Si osserva che l’equazione non è scritta in forma canonica

7x + 4 = 22 – 2x

Applicando la regola del trasporto

7x + 2x = 22 – 4 9x = 18

Applicando la proprietà invariantiva (dividendo ambo i membri per 9)

x = 2

ESERCIZIO SVOLTO

VERIFICA DELLA CORRETTEZZA DELLA SOLUZIONE

7x + 4 = 22 – 2x

Per verificare la correttezza della soluzione si sostituisce il valore trovato a posto della variabile x dell’equazione, pertanto si ottiene:

7 × 2 + 4 = 22 – 2 × 2

Svolgendo i calcoli si ha:

14 + 4 = 22 – 4 18 = 18

Pertanto, avendo ottenuto lo stesso valore ambo i membri (identità)

x = 2

ESERCIZIO SVOLTO

Esercizi proposti

Risolvi le seguenti equazioni:

   

    

      

4

19 2

x 6 3 4

2 3 x 2 x 3 x 1

x

3 x 1 3

1 x 2 4

2 x

0 5 x 5 - x - 4 x

3 x 2 - x

8 , 1 2 , 3 x 5 , 2

0 2 , 1 x 2 , 0

2 3 - 1 2x

3x - 3 - x 1 - 5x 9

2x -

7 x 5 - 3x

19 6

x x 4

2 2 2 2



 

 

 

  













 

 





































a

x  b

Problemi proposti

Problema 1

Trovare un numero che sommato alla sua metà e alla sua terza parte dia 55.

Problema 2

Trovare tre numeri consecutivi sapendo che la loro somma è 39.

Problema 3

Di quanto deve diminuire il numero 1,5 per ottenere il suo reciproco?

Problema 4

Qual è il numero il cui quadruplo supera di 14 i suoi 5/3?

Problema 5

Trovare un numero tale che la somma della sua quarta parte con i suoi 5/2

sia 110.

APPROFONDIMENTO 1

Un problema di

geometria

Interpretazione geometrica della soluzione di un’equazione di primo grado

APPROFONDIMENTO 2