simmetrico di A rispetto a O: se confronti le coordinate di A

SIMMETRIA CENTRALE

Simmetria che ha come centro l'origine del riferimento cartesiano

In un riferimento cartesiano ortogonale di origine O traccia il punto A = (2, 3). Traccia poi il punto A

simmetrico di A rispetto a O: se confronti le coordinate di A

con le coordinate di A ti accorgi che è solo cambiato il segno. Fai qualche altra prova, cercando i simmetrici rispetto all'origine dei punti B = (−4, 1), C = (−2, −6) e D = (1, −4).

In tutti i casi puoi vericare che le coordinate del punto simmetrico sono opposte a quelle del punto dato.

Se P = (x, y) è un generico punto del piano e P

= (x

, y

) è il suo simmetrico rispetto all'origine del riferimento, possiamo aermate che x

= −x e y

= −y .

Per esprimere che le due uguaglianze devono valere contemporaneamente, scriviamo così:

( x

= −x y

= −y

Quelle che abbiamo scritto sopra sono le equazioni della simmetria avente per centro il punto O = (0, 0), origine del riferimento cartesiano.

Esercizi svolti:

1. Trova i vertici del triangolo A

B

C

simmetrico del triangolo ABC rispetto all'origine, dove A = (0, 2), B = (−1 − 3) e C = (5, 1).

Applicando quanto abbiamo visto sopra, i vertici cercati sono A

= (0, −2) , B

= (1, 3) e C

= (−5, −1) 2. La retta r ha equazione y = 2x − 3; qual è l'equazione della retta r

simmetrica di r rispetto all'origine?

Anche in questo caso ci vengono in aiuto le equazioni della simmetria di centro O. Se x

= −x , possiamo scrivere x = −x

e in modo analogo y = −y

(ricordiamo che x

e y

sono le coordinate del punto che si ottiene dopo aver eseguito la simmetria).

Se nell'equazione della retta r al posto della y sostituiamo −y

e al posto della x sostituiamo −x

otteniamo un'equazione in cui compaiono le coordinate dei punti trasformati, quindi si tratta dell'equazione della retta r

ottenuta mediante la simmetria di centro O.

−y

= 2 · (−x

) − 3 moltiplicando i termini per −1:

y

= 2x

+ 3

Questa è proprio l'equazione della retta r

trasformata di r mediante la simmetria centrale.

Confrontando le pendenze, possiamo vericare, fra l'altro, che r

è parallela a r , in accordo con quanto già sapevamo.

Se ti pare di aver capito tutto, prova a svolgere questi esercizi:

1. Trova il punto di intersezione P fra le rette r : y =

x +

e s : y = −

x +

; trova le equazioni delle rette r

e s

trasformate di r e s mediante la simmetria di centro l'origine O; trova il punto di intersezione fra r

e s

e verica che è il simmetrico di P rispetto a O.

2. Che tipo di gura è il quadrilatero di vertici A = (−1, 2), B = (3, 2), C = (3, −1), D = (−2, −1)? Trova il quadrilatero simmetrico di questo rispetto a O. Che tipo di gura è l'intersezione fra i due quadrilateri? E' una

gura convessa? L'unione dei due quadrilateri è una gura convessa?

E se il centro di simmetria non è l'origine?

Supponiamo di voler descrivere una simmetria che abbia il punto C = (3, 5) come centro. Ad un punto A corrisponderà un punto A

scelto in modo che C sia punto medio del segmento AA

. Quindi, se A = (x, y) e A

= (x

, y

) dovrà accadere che:

3 = x + x

2 5 = y + y

2 da cui si ricava:

6 = x + x

10 = y + y

e quindi:

( x

= 6 − x y

= 10 − y

Quindi per trovare il simmetrico del punto A = (7, −2) rispetto a C = (3, 5) devo scrivere x

= 6 − 7 = −1 e y

= (10 − (−2)) = 12

Poniamoci su un livello più generale, facendo l'ipotesi che il centro di simmetria sia C = (a, b). Se P = (x, y) è un qualsiasi punto del piano e P

= (x

, y

) è il suo simmetrico rispetto a C, deve accadere che C sia il punto medio del segmento P P

, quindi:

a = x + x

2 b = y + y

2 da cui si ricava:

2a = x + x

2b = y + y

e quindi:

( x

= 2a − x y

= 2b − y Esercizi svolti:

1. Trova i vertici del triangolo A

B

C

simmetrico del triangolo ABC rispetto al punto D = (3, 5), dove A = (0, 2), B = (−1 − 3) e C = (5, 1).

Le equazioni di questa simmetria sono

( x

= 2 · 3 − x y

= 2 · 5 − y

Avendo a disposizione queste relazioni, è semplice ricavare le coordinate dei punti trasformati:

A = (0, 2) =⇒ A

= (2 · 3 − 0; 2 · 5 − 2) A

= (6, 8)

B = (−1, −3) =⇒ B

= (2 · 3 − (−1); 2 · 5 − (−3)) B

= (7, 13) C = (5, 1) =⇒ C

= (2 · 3 − 5; 2 · 5 − 1) C

= (1, 9)

2. La retta r ha equazione y = 2x − 3; qual è l'equazione della retta r

simmetrica di r rispetto al centro D = (3, 5)?

Anche in questo caso ci vengono in aiuto le equazioni della simmetria di centro D, che abbiamo scritto nell'esercizio precedente:

( x

= 2 · 3 − x y

= 2 · 5 − y

Dalla prima equazione ricaviamo x = 6−x

e dalla seconda y = 10−y

. Sostituendo al posto di x e y nell'equazione della retta le quantità 6 − x

e 10 − y

otteniamo l'equazione 10 − y

= 2(6 − x

) − 3 , che espressa in forma esplicita diventa y

= 2x

− 1 . Questa è l'equazione della retta che stavamo cercando (anche in questo caso possiamo fare la verica sul parallelismo)

Se ti pare di aver capito tutto, prova a svolgere questi esercizi:

1. Trova le equazioni della simmetria centrale di centro C = (−2, 4)

2. Trova l'equazione della retta r

, simmetrica della retta r : y =

x − 3 rispetto al centro C = (1, −2)