PROGRAMMA DEL CORSO DI CALCOLO 2 A.A. 2006/07
Ingegneria Informatica, canale A-K (corso tenuto dal dott. B. Palumbo)
METODO DI INDUZIONE
Principio di induzione. Esempi vari di dimostrazioni per induzione. Simboli di somma e prodotto per sequenze finite. Fattoriale e doppio fattoriale. Cenni sui coefficienti binomiali e sul triangolo di Tartaglia.
COMPLEMENTI SUI NUMERI COMPLESSI
Esponenziale di un numero immaginario puro: formula di Eulero. Esponenziale di un numero complesso. Logaritmo nel campo complesso. Funzioni seno e coseno nel campo reale espresse come combinazione di esponenziali di argomenti immaginari. Estensione delle funzioni seno e coseno al campo complesso.
COMPLEMENTI SUI LIMITI
Regola di L'Hopital per le forme indeterminate 0/0 ed applicazioni. Estensione al caso /. Forme indeterminate di tipo esponenziale (00, 1, 0) e relative risoluzioni.
INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Definizione di integrale di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, addività rispetto all'intervallo di integrazione. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Relazione tra integrale e derivata. Esistenza delle primitive.
Unicità della primitiva a meno di costanti. Integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione indefinita: integrazione per sostituzione, integrazione per parti, decomposizione in fratti semplici. Espressione esplicita di una funzione integrale quando la funzione integranda ha definizioni diverse nei vari intervalli.
FORMULA DI TAYLOR
Polinomio di Taylor di ordine n generato da una funzione in un punto x0: definizione e formula esplicita. Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari. Coefficienti binomiali
k con reale.
Regole per ricavare polinomi di Taylor a partire da altri polinomi di Taylor noti (sostituzione di variabile, derivazione, integrazione). Formula di Taylor col resto espresso nella forma di Lagrange.
Applicazioni al calcolo approssimato di funzioni con valutazione dell'errore.
SUCCESSIONI E SERIE
Successioni a valori reali. Limiti di successioni: successioni convergenti, divergenti ed indeterminate. Convergenza di una successione non decrescente e superiormente limitata.
Divergenza di una successione non decrescente e superiormente illimitata. Calcolo di limiti di successioni. Definizione di serie numerica: ridotte n-esime, serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie geometrica. Serie telescopiche. Applicazioni varie delle serie geometriche:
problemi geometrici (poligoni infinitamente inscritti, proiezioni infinite in un angolo), frazioni generatrici di numeri periodici. Divergenza della serie armonica. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio di confronto con un integrale, criterio di confronto asintotico. Serie armonica generalizzata. Criterio di Leibniz per le serie a segni alterni. Calcolo delle somme di particolari serie ricavabili dalla formula di Taylor.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalità. Ordine di un'equazione differenziale. ED risolubili per integrazioni dirette. Problema di Cauchy. ED del tipo y' = k(x)y. ED a variabili separabili. ED lineari del primo ordine. ED lineari di ordine qualsiasi: teorema dimensionale; integrale generale di un'ED lineare non omogenea. ED lineari omogenee a coefficienti costanti; equazione caratteristica. Ricerca della soluzione particolare di un'ED lineare non omogenea a coefficienti costanti: metodo dei coefficienti indeterminati.
Ricerca della soluzione particolare di un'ED lineare non omogenea a coefficienti qualsiasi: metodo della variazione delle costanti (solo nel caso n = 2). Alcuni casi di determinazione di un'ED di cui si conosce l'integrale generale. Esempi vari.
TESTI DI RIFERIMENTO
R. Spigler, Lezioni di Calcolo 1, Edizioni Ingegneria 2000 (2004) R. Spigler, Lezioni di Calcolo 2, Edizioni Ingegneria 2000 (2004)
Appunti sugli integrali e sulle equazioni differenziali, reperibili alla pagina personale del docente del corso (nel sito http://www.dia.uniroma3.it)
