1 Sistemi Dinamici

Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2010—2011.

Esame del 31/03/2011

1 Sistemi Dinamici

Si consideri il sistema dinamico:

( ˙x = y

˙y = −dU(x)

dx , con U(x) = x⁶− 2 x⁴+ x². (1)

• Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.

• Calcolare le frequenze di oscillazione attorno ai punti di equilibrio stabile e le tangenti alla separatrice nei punti di equilibrio instabile.

• Scrivere l’integrale definito che d`a il periodo del moto con energia E = 2.

Per i 12 crediti: Si consideri il sistema dinamico:

 ˙x = e^−x− ¹₂e^y −¹₂

˙y = −e^a(x+y)+ 1 (2)

1. Si dimostri che per a 6= 0 il sistema ha un solo punto di equilibrio.

2. Si studi la stabilit`a dell’equilibrio di tale punto al variare del parametro (escludendo il valore a = 0).

2 Meccanica Hamiltoniana

Si dimostri che la trasformazione

Q1 = q₁²+ q₂², Q₂ = q₁²− q₂²

P₁ = 1 4

p1

q1

+1 4

p2

q2

−1 2q²₁− 1

2q₂², P2 = 1

4 p1

q1

− 1 4

p2

q2

+1 2q²₁− 1

2q₂²

`e canonica e se ne determini una funzione generatrice di II specie.

Esistono funzioni generatrici di altre specie?

Per i 12 crediti: Si consideri H = 1

2



p²₁+ p2

q₁²(q²₂+ 1)

 + 1

q1

+q₂³

q₁² (3)

Si dimostri che l’equazione di Hamilton-Jacobi associata ad H ammette un integrale completo separato.

Si trovi una funzione G (indipendente da H) tale che {G, H} = 0.

1

3 Meccanica Lagrangiana

Per la sufficienza: punti 1 e 2

Un sistema `e costituito da un punto P di massa M che scorre sulla retta di equazione

g

B A

k’

k

P

y = −2L, e da una sbarra di lunghezza 2L e massa 6 M che ruota nel piano verticale attorno al suo estremo A, vincolato nell’origine degli assi cartesiani. Il punto P `e attratto dall’altro estremo B della sbarra da una forza elastica di costante elastica k. Inoltre, il punto B `e attratto dall’asse orizzontale da una forza elastica di costante elastica k^′.

1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero-Lagrange.

2. Considerato il caso k^′ = k, trovare le configurazioni di equilibrio del sistema, al variare del parametro λ = kL

Mg.

Discutere la stabilit`a della configurazione in cui B coincide con P (dunque nel punto di coordinate cartesiane (0, −2L)).

3. Facoltativo:

Discutere la stabilit`a delle altre configurazioni di equilibrio, sempre al variare di λ.

4. Posto k = k^′ = 1 2

g M

L , calcolare le frequenze proprie ed i modi normali di oscillazione attorno al punto di equilibrio stabile.

5. Considerato il caso generale (k 6= k^′), determinare (in funzione di k, M e g) il valore di k^′ per il quale il sistema ammetta una posizione di equilibrio nella quale l’angolo tra la sbarra AB e l’asse orizzontale sia π/6; determinare la corrispondente posizione di equilibrio di P .

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