Controlli Automatici B 11 Giugno 2019 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma:

Controlli Automatici B 11 Giugno 2019 - Esercizi

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a) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) 1

s(s + 4)²(α s + 8) ^-

6

r(t) y(t)

a.1) Posto α = 1, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le inter- sezioni ω^∗ con l’asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K^∗. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. Posto α = 1, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K₁G(s) = 0 ↔ 1 + K

s(s + 4)²(s + 8) = 0

dove K1 = K. L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G(s) per K > 0

´e mostrato in Fig. 1.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Imag

Luogo delle radici per K > 0

Figura 1: Luogo delle radici del sistema G(s) per K > 0

Il luogo delle radici ha quattro asintoti. Il centro degli asintoti `e:

σa= 1

4(−4 − 4 − 8) = −16

4 = −4.

L’intersezione con l’asse immaginario si calcola applicando il criterio di Routh alla seguente equazione caratteristica:

1 + K

s(s + 4)²(s + 8) = 0 → s⁴+ 16 s³+ 80 s²+ 128 s + K = 0

La corrispondente tabella di Routh `e la seguente

4 1 80 K

3 16 128

2 1152 16K

1 1152· 128 − 16²K

0 16K

Il sistema retroazionato ´e stabile se

0 < K < K^∗ = 1152 · 128

16² = 576

L’intersezione con l’asse immaginario si ha in corrispondenza della pulsazione:

ω^∗ =r 128 16 =√

8 = 2.83.

a.2) Posto K = 192, tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α > 0. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”. Nella graficazione si tenga conto che: a) la posizione dei poli del sistema retroazionato quando K = 192 e α = 0 `e: p1,2 = −1 ± 1.732 j e p<sup>3</sup> = −6; b) il sistema retroazionato `e stabile per α > 0. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Soluzione. Posto K = 192, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e la seguente:

s(s + 4)²(α s + 8) + 192 = 0 → 1 + α s²(s + 4)²

8 s(s + 4)² + 192 = 0 I poli della funzione G2(s) sono quelli indicati nel testo dell’esercizio:

1 + α s²(s + 4)²

(s + 6)[(s + 1)²+ 1.732²] = 0 ↔ 1 + α G2(s) = 0 Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 2.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Luogo delle radici

Figura 2: Contorno delle radici del sistema G2(s) al variare del parametro α > 0.

Il luogo delle radici ha un solo asintoto, coincidente con il semiasse reale negativo e percorso dall’infinito al finito perch´e il grado relativo della funzione G₂(s) ´e r = −1.

a.3) Sia dato la seguente equazione caratteristica:

1 + β(s + 5)

(s + 1)(s + 4) = 0

Mostrare sul piano complesso come si spostano le radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro β > 0. Determinare esattamente i punti di diramazione del siste- ma sull’asse reale. Determinare per quale valore β0 del parametro β i poli del sistema retroazionato si trovano alla massima distanza dall’asse immaginario.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e gi´a nella forma 1 + β G(s) = 0, idonea per poter applicare direttamente il luogo delle radici. L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro β > 0 `e mostrato in Fig. 3.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Luogo delle radici

σ_a

Figura 3: Luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro β > 0.

In questo caso il contorno delle radici si muove lungo una circonferenza centrata in z = −5.

Il raggio R della circonferenza `e il seguente:

R = pd1· d² =√

1 · 4 = √ 4 = 2 I punti di diramazione σ1 e σ2 del contorno delle radici sono:

σ1 = −5 − 2 = −7, σ2 = −5 + 2 = −3.

E possibile giungere allo stesso risultato potendo uguale a zero la derivata di G(s) rispetto` ad s:

dG(s)

ds = 0 → (s²+ 5s + 4) − (2s + 5)(s + 5) = s²+ 10s + 21 = (s + 3)(s + 7) = 0 I punti di diramazione si trovano in σ1 = −7 e σ² = −3. La condizione in cui i poli del sistema retroazionato si trovano alla massima distanza dall’asse immaginario si ha in corrispondenza del punto di diramazione σ1 = −7 e quindi in corrispondenza del seguente valore del parametro β:

β0 = − 1 G(s)

   s=−7

= 9.

b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi Ga(s) e Gb(s):

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Real

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

0.1 0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.39 0.47 0.68 0.56

0.82 1 1.2 1.5

1.8 2.2

2.7

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

-220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 Phase [degrees]

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

2.7 2.2 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22

33 47

68 100

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

b.1) Per il sistema Ga(s), progettare una rete correttrice C(s) in grado di garantire al sistema compensato un margine di ampiezza Ma = 10. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;

Sol. La specifica sul margine di ampiezza Ma = 10 definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕB:

MB = 1 Ma

= 0.1, ϕB = −180^◦ La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 4.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Real -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

A

B

0.1 0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.39 0.47 0.68 0.56

0.82 1

1.2 1.5

1.8

2.2 2.7

0.120.1 0.180.15 0.22 0.33 0.47 0.82

1.5

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

Figura 4: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Ga(s) e C1(s) Ga(s).

Il punto A = Gb(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA = 1.2:

MA = |G(jω^A)| = 1.33, ϕA= arg[G(jωA)] = −141.2^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ₁ = 0.936 e τ₂ = 16.63 della rete correttrice C₁(s):

M = MB

MA

= 0.0753, ϕ = ϕB− ϕ^A= −38.8^◦ → C1(s) = (1 + 0.936 s) (1 + 16.63 s).

Il diagramma di Myquist delle funzioni Ga(s) e C1(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 4.

Sintesi della rete correttrice C1(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 0.82 1 1.2 1.5 ]

MA=[ 1.642 1.498 1.329 1.077 ] ϕA=[ −98.4 −119 −141.2 −173.1 ] M =[ 0.0609 0.0667 0.0752 0.0928 ] ϕ =[ −81.6 −61.02 −38.81 −6.943 ] τ1 =[ 0.1051 0.4775 0.936 4.963 ] τ2 =[ 20.06 16.57 16.63 53.94 ]

b.2) Per il sistema Gb(s) progettare una rete anticipatrice in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di fase Mϕ = 60^◦. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;

Sol.

La posizione del punto B = MBe^jϕB `e completamente determinata dalla specifica di pro- getto: MB = 1 e ϕB = −120<sup>◦</sup>. La regione di ammissibilit´a `e mostrata in grigio in Fig. 5. Il

-220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 Phase [degrees]

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

A

B

2.7 2.2 3.3

4.7

6.8

10

15

22

33 47

68 100

4.7 6.8

10 15 22 33 47 68 100

150 220

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Figura 5: Diagrammi di Nichols delle funzioni Gb(s) e C2(s) Gb(s).

punto A = Ga(jωA) scelto per il progetto `e quello corrispondente alla pulsazione ωA = 4.7:

MA = |G(jω^A)| = 0.0973, ϕA= arg[G(jωA)] = −191^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 0.4784 e τ2 = 0.01098 della rete correttrice C2(s):

M = MB

MA

= 10.27, ϕ = ϕB− ϕ^A= 71^◦ → C2(s) = (1 + 0.4784 s) (1 + 0.01098 s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni Gb(s) C2(s)Gb(s) sono mostrati in Fig. 5.

Sintesi della rete correttrice C2(s) per alcuni valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 15 22 33 47 68 100 ]

MA=[ 0.2371 0.0973 0.0398 0.0188 0.0088 0.0040 ] ϕA=[ 168.9 169 171.1 173.3 175.1 176.6 ] M =[ 4.218 10.28 25.09 52.93 113.2 247.6 ] ϕ =[ 71.07 70.99 68.86 66.74 64.86 63.38 ] τ1 =[ 0.2744 0.4784 0.8035 1.217 1.832 2.764 ] τ2 =[ 0.0061 0.0109 0.0104 0.0087 0.0067 0.0049 ]

b.3) Sempre per il sistema Gb(s) progettare una rete ritardatrice in modo che la funzione di risposta armonica del sistema compensato passi per il punto B = (−160^◦, −10 db). Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;

Soluzione. La specifica di progetto definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕB: MB = 0.3162 e ϕB = −160^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 6. Il punto A = G(jωA) che deve essere portato in B `e quello assegnato corrispondente alla pulsazione ωA= 4.7:

MA= |G(jω^A)| = 3.627, ϕA = arg[G(jωA)] = −154.9^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 2.198 e τ2 = 25.33 della rete correttrice C3(s):

M = MB

MA^′

= 0.0872, ϕ = ϕB− ϕ^A′ = −5.05^◦ → C₃(s) = (1 + 2.198 s) (1 + 25.33 s). I diagrammi di Nichols delle funzioni Gb(s), K Gb(s) e K C3(s)Gb(s) sono mostrati in Fig. 6.

-220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 Phase [degrees]

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

A

B

2.7 2.2 3.3

3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22 27

33 39

47 56

68 82 100

2.2 1.8 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22

27 33

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Figura 6: Diagrammi di Nichols delle funzioni Gb(s), K Gb(s) e K C3(s) Gb(s).

Sintesi della rete correttrice C3(s) per alcuni valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 ]

MA=[ 11.78 9.272 6.926 5.204 3.627 ] ϕA=[ −100.4 −115.8 −130.8 −142.7 −155 ] M =[ 0.0268 0.0341 0.0456 0.0607 0.0871 ] ϕ =[ −59.58 −44.24 −29.23 −17.28 −5.048 ] τ1 =[ 0.2527 0.3622 0.5132 0.7718 2.198 ] τ2 =[ 19.37 15.19 13.05 13.38 25.33 ]

c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G1(s) K

s

- N.L. ^-

e^{−2 s} 

H(s)

6

r e x y

- 6

4 8

−4

−8

x 7

6

2

−2

−6

−7 y(x)

c.1) Posto K = 1, determinare per quali valori r1 ed r2 dell’ingresso r i punti di lavoro del sistema retroazionato sono posizionati in (x0, y0) = (2, 1) e in (x1, y1) = (8, 7).

Soluzione. Il sistema G1(s) `e di tipo 1 per cui si ha: K1 = ∞, K<sup>2</sup> = 1 e K3 = 1. La retta di carico della parte lineare del sistema `e una retta orizzontale di ordinata:

y = r K2K3

= r → r0 = 1, r1 = 7.

c.2) Posto K = 1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile o meno nell’intorno del punto (x1, y1) = (2, 1).

Soluzione. Le pendenze α e β delle due rette che centrate nel punto (x1, y1) = (2, 1)

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

x -12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

y(x)

Funzione non lineare y(x)

rc

β

α

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

0.39 0.47

0.56 0.68

0.82 1

1.2 1.5

1.8

2.2

3.3 2.7 3.9

Cerchio critico

Figura 7: Settore che racchiude la non linearit´a e cerchio critico.

racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono le seguenti:

α = 1

4 = 0.25, β = 5

2 = 2.5.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei punti:

−1

α = −4, −1

β = −2

5 = 0.4.

Il margine di ampiezza K₁^∗ e la pulsazione ω^∗₁ della funzione G1(s) sono i seguenti:

G₁(s) = K e^{−2 s}

s → K₁^∗ = ω^∗₁ = π 2 t0

= π

4 = 0.7854.

Essendo K₁^∗ < β, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca il cerchio critico e quindi, in base al criterio del cerchio, non si pu`o affermare nulla sulla stabilit´a del sistema retroazionato.

c.3) Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) della non linea- rit`a y(x) nell’intorno del punto (0, 0). Utilizzare le variabili m1, m2, . . . per rappresentare gli eventuali valori minimi e massimi “non noti” della funzione F (X).

Soluzione. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 8.

Indichiamo con m₀ il valore iniziale della funzione F (X) per 0 < X < 4: m₀ = ¹₂ = 0.5.

Indichiamo inoltre con m1 il massimo locale nell’intorno di X ≃ 5.5 e con m² il valore finale a cui tende la funzione F (X) per X → ∞: m² = F (X)|^X→∞ = 0.25.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

F(X)

Funzione descrittiva

m1

m₀

m2

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Real -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

0.27 0.33

0.39 0.47

0.56 0.68

0.82 1

1.2 1.5 1.8

2.2

2.7

b) a) c)

d)

−F(X)¹

Figura 8: Funzione descrittiva F (X) e discussione grafica.

c.4) Discutere “qualitativamente”, in funzione dei parametri m1, m2 . . ., l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza K₁^∗ del sistema G1(s) `e K<sub>1</sub><sup>∗</sup> = 0.7854. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K<sup>∗</sup> del sistema K G1(s) `e K^∗ = ^K_K^1∗. Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni dinamiche per sistema retroazionato:

a) Per K^∗ > m1 il diagramma di Nyquist della funzione G1(s) non interseca la funzione

−1/F (X). La funzione −1/F (X) ´e tutta esterna al diagramma polare completo per cui il sistema retroazionato ´e stabile.

b) Per m₀ < K^∗ < m₁, il diagramma di Nyquist della funzione G₁(s) interseca la funzione

−1/F (X) in due punti a cui corrispondono un ciclo limite stabile (quello uscente) e un ciclo limite instabile (quello entrante).

c) Per m2 < K^∗ < m1 il diagramma di Nyquist della funzione G1(s) interseca la funzione

−1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

d) Per K^∗ < m2, la funzione −1/F (X) `e tutta interna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato `e instabile.

d) Sia dato il seguente sistema retroazionato caratterizzato da un ingresso nullo r = 0:

- - K ^-

2

−2

- G(s) ^-

6

r = 0 e x y

G(s) = 200

s(s + 2)(s + 8)

d.1) Posto K = 1, determinare l’ampiezza X^∗ e la pulsazione ω^∗ dell’oscillazione autosostenuta che `e presente all’interno del sistema.

d.2) Determinare il valore K0 del parametro K a cui corrisponde un’oscillazione autosostenuta all’interno del sistema di ampiezza X^∗ = 5.

Soluzione.

d.1) La funzione descrittiva del rel`e ideale `e:

F (X) = 8 π X

Il margine di ampiezza K^∗ e la pulsazione ω^∗ della funzione G(s) sono i seguenti:

K^∗ = 2 · 8(2 + 8)

200 = 0.8 ω^∗ =√

2 · 8 =√ 16 = 4 L’ampiezza X^∗ dell’oscillazione autosostenuta si ricava imponendo F (X^∗) = K^∗:

8

π X^∗ = 0.8 → X^∗ = 8

0.8 π = 10

π = 3.1831.

d.2) Per poter avere un’oscillazione autosostenuta con ampiezza X^∗ = 5, il margine di ampiezza K^∗ del sistema compensato dovr`a essere uguale a F (X^∗):

K^∗

K = 8

π X^∗ = 8

π 5 → K = 5 π K^∗

8 = 5 π 0.8

8 = π

2 = 1.5708.

e) Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro, discretizzare la seguente rete correttrice D(s) = M (s)

E(s) = (s + 2) s(s + 5)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1.

Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro si ottiene:

D(z) = (s + 2) s(s + 5)

s=^1−z−1T

= T (1 − z⁻¹ + 2T ) (1 − z⁻¹)(1 − z⁻¹+ 5T ) Per T = 0.1 si ha:

D(z) = M (z)

E(z) = 0.1(1.2 − z⁻¹)

(1 − z⁻¹)(1.3 − z⁻¹) = 0.12 − 0.1 z⁻¹ 1.5 − 2.5 z⁻¹+ z⁻² La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

m(k) = 1

1.5[2.5 m(k − 1) − m(k − 2) + 0.12 e(k) − 0.1 e(k − 1)]

cio`e:

m(k) = 1.6667 m(k − 1) − 0.6667 m(k − 2) + 0.08 e(k) − 0.0667 e(k − 1)]

f) Partendo da condizioni iniziali nulle, calcolare la risposta y(n) della seguente equazione alle differenze

y(n + 1) = y(n) + 3 x(n) quando in ingresso `e presente la successione x(n) = (0.6)ⁿ.

Soluzione. L’equazione alle differenze genera la seguente funzione discreta G(z):

y(n + 1) = y(n) + 3 x(n) ↔ G(z) = Y (z)

X(z) = 3 z − 1. La Z-trasformata del segnale di ingresso x(n) = (0.6)ⁿ `e:

X(z) = z z − 0.6.

La Z-trasformata Y (z) del segnale di uscita `e quindi la seguente:

Y (z) = G(z)X(z) = 3 z

(z − 1)(z − 0.6).

Mediante il metodo della scomposizione in fratti semplici si ricava:

Y (z)

z = 3

(z − 1)(z − 0.6) = 7.5

(z − 1) − 7.5 (z − 0.6) e quindi:

Y (z) = 7.5 z

(z − 1) − 7.5 z

(z − 0.6) → y(n) = 7.5[1 − 0.6ⁿ].

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11 Giugno 2019 - Domande Teoriche

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Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono corrette.

1. Scrivere la funzione di trasferimento discreta G(z) = _X^Y(z)_(z) corrispondente alla seguente equazione alle differenze:

3 yk+1+ 6 yk+ 4 yk−1+ 5 yk−2 = xk+ 2 xk−1 → G(z) = 1 + 2 z⁻¹

3 z + 6 + 4 z⁻¹+ 5 z⁻² 2. Sia y1(t) = 5 cos(3 t − ^π6) la fondamentale del segnale periodico y(t) che si ha all’uscita del

blocco non lineare N.L. sollecitato in ingresso dal segnale periodico x(t) = 4 cos(3 t). Calcolare il valore della funzione descrittiva F (X) in corrispondenza del valore X = 4:

-

N.L.

F (4) =5

4e^{−jπ6 -}

x(t) = 4 cos(3 t) y(t) ≃ y¹(t) = 5 cos

3 t − π 6



3. Calcolare la Z-trasformata X(z) dei seguenti segnali x(t) quando t = k T , a > 0 e b > 0:

x(t) = a t → X(z) = a T z

(z − 1)² x(t) = 2 b^{−3 t} → X(z) = 2 z (z − b^{−3 T}) 4. A fianco `e riportato il luogo delle radici del siste-

ma G(s) = _(s+9.5)(s⁻¹⁰⁰2+16) al variare del parametro K > 0. Calcolare:

4.1) La posizione σ0dei due poli dominanti nella condizione di minimo tempo di assestamento:

σ0 = −1

4.2) Il valore K0 corrispondente alla condizione di minimo tempo di assestamento:

K0 = − 1 G(s)

   s=−1

8.5 · 17

100 = 1.445 4.3) Per quali valori di K il sistema retroazio- nato `e stabile:

0 < K < K^∗ = −_G(s)¹  

s=0 = ³⁸₂₅ = 1.52

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Imag

Luogo delle radici

4.4) La posizione del terzo polo p3 quando i primi due poli si trovano in p1 = p2 = −1:

p3 = −9.5 + 2 = −7.5

5. Il valore iniziale x(0) della sequenza x(k) corrispondente alla funzione X(z) = (z−1)(z−0.5)^{z(2 z+1)} `e:

x(0) = 0 x(0) = 1 N x(0) = 2 x(0) = 6

6. Il valore a regime x(∞) della sequenza x(k) corrispondente alla funzione X(z) = (z−1)(z−0.5)^{z(2 z+1)} `e:

x(∞) = 0 x(∞) = 1 x(∞) = 2 N x(∞) = 6

7. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) di un regolatore standard PI e a fianco disegnare qualitativamente il corrispondente diagramma di Bode dei moduli:

G(s) = K

 1 + 1

Tis



-

| · |6

ω

@@

@@

@@ z₁

8. Fornire l’enunciato del Criterio del cerchio. Nell’ipotesi che la funzione di trasferimento della parte lineare del sistemaG(s) abbia tutti i poli a parte reale negativa, eccezion fatta per un even- tuale polo nell’origine semplice o doppio, condizione sufficiente perch´e il sistema in retroazione sia globalmente asintoticamente stabile `e che il diagramma polare completo della funzioneG(jω) non circondi n´e tocchi il cerchio critico.

9. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = y0:

2 y(n + 1) + 0.6 y(n) = 0 → y(n) = y0(−0.3)ⁿ. Infatti applicando la Z-trasformata si ha:

2 z[Y (z) − y⁰] + 0.6 Y (z) = 0 → Y (z) = y0

z (z + 0.3) 10. Scrivere la funzione di trasferimento H0(s) del ricostruttore di ordine zero:

H0(s) = 1 − e^−sT s

11. Come si determina la funzione di risposta armonica F (ω) di un sistema discreto G(z)?

F (ω) = G(e^jω) F (ω) = G(jω) F (ω) = G(jωT ) N F (ω) = G(e^jωT) 12. Nella graficazione di un contorno delle radici, al variare di un parametro τ da 0 all’infinito, un

asintoto pu`o essere percorso dall’infinito al finito solo se il grado relativo ´e positivo r = n − m > 0 solo se il grado relativo ´e nullo r = n − m = 0 N solo se il grado relativo ´e negativo r = n − m < 0

13. Sia dato il sistema non lineare retroazionato riportato sotto dove la non linearit´a viene descritta dalla funzione descrittiva F (X):

- - F (X) ^- G(s) ^-

6

r e x y Scrivere la condizione in base alla quale il sistema retroazionato ´e sede di una oscillazione persistente:

F (X)G(jω) = −1

14. Il metodo di Ziegler-Nichols per determinare i valori di primo tentativo dei parametri di un regolatore standard PID

`e applicabile solo al controllo di sistemi lineari

richiede la conoscenza della risposta impulsiva del sistema da controllare N richiede la conoscenza della risposta al gradino del sistema da controllare N `e applicabile in modo approssimato anche al controllo di sistemi non lineari

richiede la conoscenza esatta del modello dinamico del sistema da controllare