Controlli Automatici B 29 Giugno 2018 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma:

Controlli Automatici B 29 Giugno 2018 - Esercizi

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a) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + 1)(s + 2) s(s − 1)(s + 5)²

- 6

r(t) y(t)

a.1) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del para- metro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K1G1(s) = 0 ↔ 1 + K (s + 1)(s + 2) s(s − 1)(s + 5)² = 0

dove K1 = K. L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G1(s) per K > 0

´e mostrato in Fig. 1.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Imag

Luogo delle radici per K > 0

Figura 1: Luogo delle radici del sistema G1(s) per K > 0

Il luogo delle radici ha due asintoti verticali. Il centro degli asintoti `e:

σa = 1

2(−5 − 5 + 1 + 1 + 2) = −6

2 = −3.

a.2) Sia data la seguente equazione caratteristica:

αs³+ (1 + 2α)s²+ 5s + 4 = 0

Utilizzando la metodologia del contorno delle radici mostrare come si spostano sul piano complesso le radici dell’equazione caratteristica al variare di α > 0. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica pu´o essere riscritta nel seguente modo 1 + α G1(s) = 0:

αs³+ (1 + 2α)s²+ 5s + 4 = 0 → 1 + α s²(s + 2) s²+ 5s + 4 = 0 Mettendo in evidenza i poli della funzione G1(s) si ottiene:

1 + α s²(s + 2)

(s + 4)(s + 1) = 0

Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 2. Nel contorno

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Imag

Luogo delle radici

Figura 2: Luogo delle radici del sistema G1(s) al variare del parametro α > 0.

delle radici `e presente un solo asintoto coincidente con il semiasse reale negativo, percorso dall’infinito a finito.

a.3) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t) _-

K ^-

G(s) (s + 1) (s − 1)(s²+ 2s + 2)

- 6

r(t) y(t)

Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del pa- rametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le intersezioni ω^∗ con l’asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K^∗. Determinare per quale valore di K il sistema retroazionato presenta il minimo tempo si assestamento.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K (s + 1)

(s − 1)(s²+ 2s + 2) = 0 ⇔ 1 + K (s + 1)

(s − 1)((s + 1)²+ 1) = 0

L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K > 0 `e mostrato in Fig. 3.

Dal luogo delle radici risulta chiaro che il sistema retroazionato `e stabile per:

K > K^∗ = − 1 G(s)

   s=0

= 2

e che le intersezioni con l’asse immaginario si hanno in corrispondenza della pulsazione:

ω^∗ = 0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Real

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Imag

Luogo delle radici

σa

Figura 3: Luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K > 0.

Lo stesso risultato pu`o essere ottenuto utilizzando il criterio di Routh:

1 + K (s + 1)

(s − 1)(s²+ 2s + 2) = 0 → s³+ s²+ Ks + K − 2 = 0

3 1 K

2 1 K − 2

1 2

0 K − 2 Dalla riga 0 si ottiene:

K − 2 > 0 → K > 2 = K^∗

Siccome K^∗ annulla la riga 0, la corrispondente pulsazione ´e ω^∗ = 0. Il luogo delle radici ha due asintoti verticali. La posizione σa del centro degli asintoti `e:

σa= 1

2(−2 + 1 + 1) = 0.

Il sistema retroazionato presenta il minimo tempo di assestamento alla risposta al gradino quando `e massima la distanza dei poli della G(s) dall’asse immaginario. In questo caso tale distanza `e massima quando i poli sono allineati. L’ascissa σ0 della condizione di allineamento pu`o essere calcolata utilizzando il teorema del baricentro:

3 σ0 =

3

X

i=1

pi = −1 → σ0 = −1

3 = −0.3333 Il valore K0 a cui corrisponde minimo tempo di assestamento ´e il seguente:

K0 = − 1 G1(s)

   s=σ0

= 26

9 = 2.8889

b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi Ga(s) e Gb(s):

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

0.15 0.270.22 0.390.33 0.560.47 0.820.68 1.2 1 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18

Sistema Ga(s): diagramma di Nichols

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

3.9 4.7 5.6 6.8 8.210121833

Sistema Gb(s): diagramma di Nyquist

b.1) Per il sistema Ga(s), progettare una rete ritardatrice in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di ampiezza Ma = 10. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

Sol. La posizione del punto B `e completamente determinata dalla specifica di progetto B = MBe<sup>jϕB</sup>: MB = −20 db = 0.1 e ϕ<sup>B</sup> = −180<sup>◦</sup>. La regione di ammissibilit´a `e mostrata in grigio in Fig. 4. Il punto A = Ga(jωA) scelto per il progetto `e quello corrispondente alla pulsazione ωA = 1.8:

MA= |G(jω^A)| = 3.4792, ϕA= arg[G(jωA)] = −172.7^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 4.239 e τ2 = 148.7 della rete correttrice C1(s):

M = MB

MA

= 0.0287, ϕ = ϕB− ϕ^A= −7.25^◦ → C1(s) = (1 + 4.239 s) (1 + 148.7 s). Il diagramma di Nichols delle funzioni Ga(s) e C1(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 4.

Figura 4: Diagrammi di Nichols delle funzioni Ga(s) e C1(s) Ga(s).

Sintesi della rete correttrice C1(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA =[ 1.8 1.5 1.2 1 0.82 0.68 0.56 ]

MA =[ 3.479 4.873 7.159 9.587 12.89 16.7 21.47 ] ϕA =[ −172.7 −164.7 −155.1 −147.5 −139.7 −132.8 −126.3 ] M =[ 0.0287 0.0205 0.0139 0.0104 0.0077 0.0059 0.0046 ] ϕ =[ −7.253 −15.26 −24.87 −32.47 −40.32 −47.19 −53.66 ] τ₁ =[ 4.239 2.392 1.77 1.552 1.422 1.35 1.303 ] τ₂ =[ 148.7 121 140 177 241.4 333.4 474.7 ]

b.2) Per il sistema Gb(s), progettare una rete correttrice in modo da garantire al sistema com- pensato un margine di fase Mϕ = 45^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

Sol. La specifica sul margine di fase Mϕ = 45^o definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕB: MB = 1 e ϕB = 225^◦. La regione ammissibile `e mostrata in gri- gio in Fig. 5. Il punto A = Gb(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA= 10:

MA= |G(jω^A)| = 0.4267, ϕA = arg[G(jωA)] = 191.07^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 0.2712 e τ2 = 0.0722 della rete correttrice C(s):

M = MB

MA

= 2.3436, ϕ = ϕB− ϕ^A = 33.93^◦ → C2(s) = (1 + 0.2712 s) (1 + 0.0722 s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni G(s) C2(s)G(s) sono mostrati in Fig. 5.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

A

B

3.9 4.7 5.6 6.8 8.2101218 33

3.9

4.7 5.6

6.8 8.2

10 12

15 18

222733

Figura 5: Diagrammi di Nyquisty delle funzioni Gb(s) e C2(s) Gb(s).

Sintesi della rete correttrice C2(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 6.8 8.2 10 12 18 33 ]

MA=[ 0.8142 0.5914 0.4267 0.3192 0.1694 0.0589 ] ϕA=[ −169 −168.6 −168.9 −170.3 −178.5 152.9 ] M =[ 1.228 1.691 2.344 3.133 5.903 16.98 ] ϕ =[ 34.02 33.59 33.93 35.29 43.45 72.10 ] τ1 =[ 0.105 0.1891 0.2712 0.3342 0.4182 0.5307 ] τ2 =[ 0.0038 0.0532 0.0722 0.0716 0.0449 0.0078 ]

c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G1(s) 15 K

s(s + 2)(s + 3) ^- N.L. ^-

6

r e x y

- 6

4 8

−4

−8

x 4

7 6

2

−2

−4

−6

−7 y(x)

c.1) Posto K = 1, determinare per quali valori r1 ed r2 dell’ingresso r i punti di lavoro del sistema retroazionato sono posizionati in (x₀, y₀) = (0, 0) e in (x₁, y₁) = (−2, −3).

Soluzione. Il sistema G1(s) `e di tipo 1 per cui si ha: K1 = ∞, K<sup>2</sup> = 1 e K3 = 1. La retta di carico della parte lineare del sistema `e una retta orizzontale di ordinata:

y = r

K₂K₃ = r → r0 = 0, r1 = −3.

c.2) Posto K = 1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile o meno nell’intorno del punto (x1, y1) = (−2, −3).

Soluzione. Le pendenze α e β delle due rette che centrate nel punto (x1, y1) = (−2, −3)

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

x -12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

y(x)

Funzione non lineare y(x)

rc

β

α

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5

Imag

Diagramma di Nyquist

1 1.2

1.5 1.8

2.2 2.73.33.9

Cerchio critico

Figura 6: Settore che racchiude la non linearit´a e cerchio critico.

racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono le seguenti:

α = 1

4 = 0.25, β = 5

2 = 2.5.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei punti:

−1

α = −4, −1

β = −2

5 = 0.4.

Il margine di ampiezza K₁^∗e la pulsazione ω^∗₁ della funzione G1(s) si determinano utilizzando il criterio di Routh:

G1(s) = 15

s(s + 2)(s + 3) → K₁^∗ = 2, ω₁^∗ =√

6 = 2.4495.

Essendo K₁^∗ < β, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca il cerchio critico e quindi, in base al criterio del cerchio, non si pu`o affermare nulla sulla stabilit´a del sistema retroazionato.

c.3) Fornire l’espressione esatta della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a y(x) nell’in- torno del punto (0, 0) per X ≤ 4. Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) per X > 0. Utilizzare le variabili m1, m2, . . . per rappresentare gli even- tuali valori minimi e massimi “non noti” della funzione F (X).

Soluzione. L’espressione esatta della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a y(x) nell’intorno del punto (0, 0) per X ≤ 4 `e la seguente:

F (X) = 8 π X + 1

2

L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 7. Indichiamo con m1 il minimo locale della funzione F (X) nel punto X = 4:

m1 = F (X)|^X=4 = 2 π +1

2 = 1.1366.

Indichiamo inoltre con m2 il massimo locale nell’intorno di X ≃ 5.5 e con m³ il valore finale a cui tende la funzione F (X) per X → ∞:

m3 = F (X)|^X→∞= 0.25.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

F(X)

Funzione descrittiva

m₂ m₁

m₂

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

0.39 0.47 0.56 0.68 0.82

1 1.2

1.51.8 2.23.3

a) b)

c) d)

−F(X)¹

Figura 7: Funzione descrittiva F (X) e discussione grafica.

c.4) Discutere “qualitativamente”, in funzione dei parametri m1, m2 . . ., l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza K₁^∗ del sistema G1(s) `e K<sub>1</sub><sup>∗</sup> = 2. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K<sup>∗</sup> del sistema K G1(s) `e K^∗ = _K². Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni dinamiche per sistema retroazionato:

a) Per K^∗ > m2 il diagramma di Nyquist della funzione G1(s) interseca la funzione

−1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

b) Per m1 < K^∗ < m2, il diagramma di Nyquist della funzione G1(s) interseca la funzione

−1/F (X) in tre punti a cui corrispondono due cicli limite stabili (quelli esterni) e un ciclo limite instabile (quello intermedio).

c) Per m₃ < K^∗ < m₁ il diagramma di Nyquist della funzione G₁(s) interseca la funzione

−1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

d) Per K^∗ < m3, la funzione −1/F (X) `e tutta interna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato `e instabile.

d) Sia dato il diagramma di Nyquist di un sistema Gd(s) posto in retroazione negativa su di una non linearit`a y = y(x) di cui viene fornita la funzione descrittiva F (X).

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

A B

2.7 3.3

3.9

5.6 6.8 10

3.3 3.9

5.6 6.8

10 12

Sistema Gd(s): diagramma di Nyquist

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

X 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

F(X)

Funzione descrittiva F (X)

X^∗ X1^∗ X2^∗ X₃^∗

K_p^∗ K^∗

d.1) Nei limiti della precisione dei grafici forniti, determinare l’ampiezza X^∗, la pulsazione ω^∗ e la stabilit`a degli eventuali cicli limite presenti nel sistema retroazionato.

Sol. Dal diagramma di Nyquist della funzione Gd(s) si pu`o leggere chiaramente il margine di ampiezza K₁^∗ del sistema e la pulsazione ω^∗₁ di attraversamento del semiasse reale negativo:

K₁^∗ ≃ 1, ω₁^∗ = 4.7.

Gli eventuali cicli limite si determinano imponendo F (X) = K₁^∗. Utilizzando il grafico della funzione F (X) si individuano tre cicli limite:

X₁^∗ ≃ 1.27, X₂^∗ ≃ 5.35, X₃^∗ ≃ 11.62

il primo e il terzo stabili e il secondo instabile. La pulsazione ω^∗ di tutti e tre i cicli limite

`e ω₁^∗ = 4.7.

d.2) Progettare i parametri τ1 e τ2 di una rete correttrice Cd(s) = ^1+τ_1+τ^1s

2s da mettere in cascata al sistema Gd(s) in modo che il sistema retroazionato abbia un ciclo limite stabile di ampiezza X^∗ = 1 in corrispondenza della pulsazione ω^∗ = 6.8.

Sol. Dal grafico della funzione F (X) si ricava che nel sistema retroazionato sar`a presente un ciclo limite stabile con ampiezza X^∗ = 1 solo se il margine di ampiezza del sistema Cd(s)Gd(s) vale K^∗ = F (X)|^X=1 = 1.2732. Tale valore identifica completamente il modulo e la fase del punto B = −_K^1∗ = −0.7854 da utilizzare nella sintesi della rete correttrice:

MB = 0.7854, ϕB = 180^o

In punto A `e completamente determinato dalla specifica sulla pulsazione ω^∗ = 6.8. Il modulo e la fase del punto A si ricavano in modo approssimato dal grafico:

MA= 0.4429, ϕA = 159.3^o. I parametri da utilizzare nelle formule di inversione sono:

M = MB

MA

= 1.773, ϕ = ϕB− ϕ^A= 20.69^o

La rete ritardatrice che si ottiene utilizzando le formule di inversione `e la seguente:

τ1 = M − cos ϕ

ω sin ϕ = 0.3486, τ2 = cos ϕ − M¹

ω sin ϕ = 0.1546 → C1(s) = 1 + 0.3486 s 1 + 0.1546 s e) Utilizzando il metodo della “trasformazione bilineare”, discretizzare la funzione

D(s) = M (s)

E(s) = 2 + s 1 + 2 s

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1.

Soluzione. Utilizzando il metodo della “trasformazione bilineare” si ottiene:

D(z) = 2 + s 1 + 2 s

s=_T^2(1−z−1)

(1+z−1)

= 0.2(1 + z⁻¹) + 2(1 − z⁻¹)

0.1(1 + z⁻¹) + 4 (1 − z⁻¹) = 2.2 − 1.8 z⁻¹

4.1 − 3.9 z⁻¹ = M (z) E(z) da cui si ricava:

m(k) = 1

4.1[3.9 m(k − 1) + 2.2 e(k) − 1.8 e(k − 1)]

= 0.9512 m(k − 1) + 0.5366 e(k) − 0.4390 e(k − 1).

f) Partendo da condizioni iniziali nulle, calcolare la risposta y(n) della seguente equazione alle differenze

y(n + 1) = 0.4 y(n) + x(n)

quando in ingresso `e presente la successione periodica x(n) = (−1)ⁿ. Soluzione. L’equazione alle differenze genera la seguente funzione discreta G(z):

y(n + 1) = 0.4y(n) + x(n) ↔ G(z) = Y (z)

X(z) = 1 z − 0.4. La Z-trasformata del segnale di ingresso x(n) = (−1)ⁿ= (a)ⁿ`e:

X(z) = z

z − (−a) = z z + 1. La Z-trasformata Y (z) del segnale di uscita `e quindi la seguente:

Y (z) = G(z)X(z) = z

(z + 1)(z − 0.4). Mediante il metodo della scomposizione in fratti semplici si ricava:

Y (z)

z = 1

(z + 1)(z − 0.4) = 1

1.4(z − 0.4) − 1 1.4(z + 1) e quindi:

Y (z) = z

1.4(z − 0.4) − z

1.4(z + 1) → y(n) = 0.714[(0.4)ⁿ− (−1)ⁿ].

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29 Giugno 2018 - Domande Teoriche

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Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono corrette.

1. Scrivere l’equazione alle differenze corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(z) = Y (z)

X(z) = 5 + 3 z⁻¹ + z⁻²

1 + 2 z⁻¹+ 4 z⁻²+ 6 z⁻³ → yk+2 yk−1+4 yk−2+6 yk−3 = 5 xk+3 xk−1+xk−2

2. Calcolare l’errore a regime e(∞) per i seguenti sistemi retroazionati:

- - 2

(s + 1)^{2 -}

6

r(t) = 3 e(t) y(t)

e(∞) = 3 1 + 2 = 1

- - s + 1

s(s+3) ^-

6

r(t) = 2 t e(t) y(t)

e(∞) = R0

Kv

= 6

- - s + 2

s³

- 6

r(t) = 3 t² e(t) y(t)

e(∞) = R0

Ka

= 0 3. Sia X(z) = Z[x(k)] la Z-trasformata della successione x(k). Per n = 1, 2, . . ., enunciare il

teorema della traslazione nel tempo nei seguenti 2 casi: a) ritardo e b) anticipo:

a) Z[x(k − n)] = z⁻ⁿX(z) b) Z[x(k + n)] = zⁿX(z) − Pⁿ⁻¹_k=0x(k)z^−k 4. Calcolare le successioni discrete x(k) corrispondenti alle seguenti funzioni complesse X(z):

X(z) = 5 z

(z − e^{−2 T}) → x(k) = 5 e^{−2 k T} X(z) = 2 T z

(z − 1)² → x(k) = 2 k T 5. a) Sia data la seguente equazione caratteristica:

1 + τ G1(s) = 0, 1 + τ (s − 2)²

s = 0

Disegnare qualitativamente il contorno delle ra- dici di G1(s) al variare del parametro τ > 0.

b) Determinare la posizione dei punti di diramazione presenti sull’asse reale:

σ₁ = −2, σ₂ = 2

c) Determinare per quale valore ¯τ di τ al- meno una delle due soluzioni dell’equazione caratteristica si trova nella posizione p = −2:

τ = −¯ G(s)¹

s=−2 = ¹₈ = 0.125

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Contorno delle radici

d) Determinare per quali valori di τ l’equazione caratteristica ha tutte le radici a parte reale negativa:

0 = τ₁^∗ < τ < τ₂^∗ = − G(s)¹

s=j2 = 0.25

6. Scrivere il margine di ampiezza K^∗ e la pulsazione ω^∗ di attraversamento del semiasse reale negativo del seguente sistema a ritardo finito:

G(s) = e^−t0s

α s → K^∗ = α π

2 t₀ ω^∗ = π

2 t₀

7. Sia G(z) la Z-trasformata della successione numerica g(k). Scrivere gli enunciati dei teoremi del valore iniziale e del valore finale:

g(0) = g(k)|^k=0 = lim

z→∞G(z), g(∞) = lim_k→∞g(k) = lim

z→1(1 − z⁻¹)G(z).

8. La funzione discreta D(z) riportata sotto `e stata ottenuta dalla funzione D(s) utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri. Calcolare il parametro k imponendo l’uguaglianza dei guadagni alle alte frequenze:

D(s) = s + 3

s → D(z) = k z − e^−3T

z − 1 → k = 2

1 + e^−3T, 9. Per poter applicare il criterio del cerchio, la caratteristica non lineare y(x) deve:

essere simmetrica rispetto all’origine N essere contenuta nel I e nel III quadrante

N passare per l’origine N essere ad un sol valore

10. Il metodo del contorno delle radici studia le curve descritte dalle radici dell’equazione caratte- ristica al variare (da 0 all’infinito)

delle sole costanti di tempo relative ad un polo o ad uno zero;

di un qualunque parametro che compare nell’equazione caratteristica;

N di un qualunque parametro che entra linearmente nell’equazione caratteristica.

11. Fornire la definizione di larghezza di banda ωf di un sistema dinamico G(s):

... `e la pulsazione alla quale il modulo della risposta armonica G(jω) del sistema G(s) `e inferiore di 3 db rispetto al valore staticoG(0).

12. Quale dei seguenti parametri della risposta al gradino di un sistema G(s) `e maggiormente influenzato dalla larghezza di banda ωf del sistema stesso:

tempo di assestamento T^a massima sovraelongazione S

N tempo di salita Ts

tempo di ritardo T^r 13. Sia dato il sistema retroazionato riportato qui sotto. Calcolare:

- -

F (X)

3

−3 -

G(s) 10 s(s + 1)²

- 6

r e x y

a) il margine di stabilit´a K^∗ del sistema G(s):

K^∗ = a b (a + b)

α = 2

10 = 0.2

b) L’intersezione σ0 della funzione G(jω) con il semiasse reale negativo:

σ0 = − 1

K^∗ = − 1

0.2 = −5

c) la Funzione descrittiva F (X) del rel´e ideale:

F (X) = 12 π X

d) la pulsazione ω^∗ dell’oscillazione autoso- stenuta presente all’interno del sistema retroazionato:

ω^∗ =√

a b = 1

e) l’ampiezza X^∗dell’oscillazione autosostenuta presente all’interno del sistema retroaziona- to:

F (X^∗) = K^∗ → X^∗ = 60

π ≃ 19.1