Controlli Automatici B 11 Giugno 2019 - Esercizi
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Nr. Mat.
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a) Sia dato il seguente sistema retroazionato:
- e(t)-
K -
G(s) 1
s(s + 4)2(α s + 8) -
6
r(t) y(t)
a.1) Posto α = 1, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le inter- sezioni ω∗ con l’asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K∗. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.
a.2) Posto K = 192, tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α > 0. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”. Nella graficazione si tenga conto che: a) la posizione dei poli del sistema retroazionato quando K = 192 e α = 0 `e: p1,2 = −1 ± 1.732 j e p3 = −6; b) il sistema retroazionato `e stabile per α > 0. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.
a.3) Sia dato la seguente equazione caratteristica:
1 + β(s + 5)
(s + 1)(s + 4) = 0
Mostrare sul piano complesso come si spostano le radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro β > 0. Determinare esattamente i punti di diramazione del siste- ma sull’asse reale. Determinare per quale valore β0 del parametro β i poli del sistema retroazionato si trovano alla massima distanza dall’asse immaginario.
b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi Ga(s) e Gb(s):
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Real -2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Imag
0.1 0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.39 0.47 0.68 0.56
0.82 1 1.2 1.5
1.8 2.2
2.7
Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist
-220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 Phase [degrees]
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30
Mag [db]
2.7 2.2 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22
33 47
68 100
Sistema Gb(s): diagramma di Nichols
b.1) Per il sistema Ga(s), progettare una rete correttrice C(s) in grado di garantire al sistema compensato un margine di ampiezza Ma = 10. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;
b.2) Per il sistema Gb(s) progettare una rete anticipatrice in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di fase Mϕ = 60◦. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;
b.3) Sempre per il sistema Gb(s) progettare una rete ritardatrice in modo che la funzione di risposta armonica del sistema compensato passi per il punto B = (−160◦,−10 db). Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;
c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:
- -
G1(s) K
s
- N.L. -
e−2 s
H(s)
6
r e x y
- 6
4 8
−4
−8
x 7
6
2
−2
−6
−7 y(x)
c.1) Posto K = 1, determinare per quali valori r1 ed r2 dell’ingresso r i punti di lavoro del sistema retroazionato sono posizionati in (x0, y0) = (2, 1) e in (x1, y1) = (8, 7).
c.2) Posto K = 1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile o meno nell’intorno del punto (x1, y1) = (2, 1).
c.3) Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) della non linea- rit`a y(x) nell’intorno del punto (0, 0). Utilizzare le variabili m1, m2, . . . per rappresentare gli eventuali valori minimi e massimi “non noti” della funzione F (X).
c.4) Discutere “qualitativamente”, in funzione dei parametri m1, m2 . . ., l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.
d) Sia dato il seguente sistema retroazionato caratterizzato da un ingresso nullo r = 0:
- - K -
2
−2
- G(s) -
6
r= 0 e x y
G(s) = 200
s(s + 2)(s + 8)
d.1) Posto K = 1, determinare l’ampiezza X∗ e la pulsazione ω∗ dell’oscillazione autosostenuta che `e presente all’interno del sistema.
d.2) Determinare il valore K0 del parametro K a cui corrisponde un’oscillazione autosostenuta all’interno del sistema di ampiezza X∗ = 5.
e) Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro, discretizzare la seguente rete correttrice D(s) = M(s)
E(s) = (s + 2) s(s + 5)
giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1.
f) Partendo da condizioni iniziali nulle, calcolare la risposta y(n) della seguente equazione alle differenze
y(n + 1) = y(n) + 3 x(n) quando in ingresso `e presente la successione x(n) = (0.6)n.
Controlli Automatici B
11 Giugno 2019 - Domande Teoriche
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Nr. Mat.
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Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono corrette.
1. Scrivere la funzione di trasferimento discreta G(z) = XY(z)(z) corrispondente alla seguente equazione alle differenze:
3 yk+1+6 yk+4 yk−1+5 yk−2 = xk+2 xk−1 → G(z) =
2. Sia y1(t) = 5 cos(3 t − π6) la fondamentale del segnale periodico y(t) che si ha all’uscita del blocco non lineare N.L. sollecitato in ingresso dal segnale periodico x(t) = 4 cos(3 t). Calcolare il valore della funzione descrittiva F (X) in corrispondenza del valore X = 4:
-
N.L.
F(4) = . . . -
x(t) = 4 cos(3 t) y(t) ≃ y1(t) = 5 cos
3 t − π 6
3. Calcolare la Z-trasformata X(z) dei seguenti segnali x(t) quando t = k T , a > 0 e b > 0:
x(t) = a t → X(z) = x(t) = 2 b−3 t → X(z) =
4. A fianco `e riportato il luogo delle radici del siste- ma G(s) = (s+9.5)(s−1002+16) al variare del parametro K >0. Calcolare:
4.1) La posizione σ0dei due poli dominanti nella condizione di minimo tempo di assestamento:
σ0 =
4.2) Il valore K0 corrispondente alla condizione di minimo tempo di assestamento:
K0 =
4.3) Per quali valori di K il sistema retroazio- nato `e stabile:
. . . < K < . . . -10 -9 -8 -7 -6 -5Real-4 -3 -2 -1 0 1 -6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Imag
Luogo delle radici
4.4) La posizione del terzo polo p3 quando i primi due poli si trovano in p1 = p2 = −1:
p3 =
5. Il valore iniziale x(0) della sequenza x(k) corrispondente alla funzione X(z) = (z−1)(z−0.5)z(2 z+1) `e:
x(0) = 0 x(0) = 1 x(0) = 2 x(0) = 6
6. Il valore a regime x(∞) della sequenza x(k) corrispondente alla funzione X(z) = (z−1)(z−0.5)z(2 z+1) `e:
x(∞) = 0 x(∞) = 1 x(∞) = 2 x(∞) = 6
7. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) di un regolatore standard PI e a fianco disegnare qualitativamente il corrispondente diagramma di Bode dei moduli:
G(s) =
-
| · |6
ω
8. Fornire l’enunciato del Criterio del cerchio. Nell’ipotesi che la funzione di trasferimento della parte lineare del sistema G(s) abbia ...
... condizione ...
affinch´e il sistema in retroazione sia...
`e che ...
9. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = y0:
2 y(n + 1) + 0.6 y(n) = 0 → y(n) =
10. Scrivere la funzione di trasferimento H0(s) del ricostruttore di ordine zero:
H0(s) =
11. Come si determina la funzione di risposta armonica F (ω) di un sistema discreto G(z)?
F (ω) = G(ejω) F (ω) = G(jω) F (ω) = G(jωT ) F (ω) = G(ejωT) 12. Nella graficazione di un contorno delle radici, al variare di un parametro τ da 0 all’infinito, un
asintoto pu`o essere percorso dall’infinito al finito solo se il grado relativo ´e positivo r = n − m > 0 solo se il grado relativo ´e nullo r = n − m = 0 solo se il grado relativo ´e negativo r = n − m < 0
13. Sia dato il sistema non lineare retroazionato riportato sotto dove la non linearit´a viene descritta dalla funzione descrittiva F (X):
- - F(X) - G(s) -
6
r e x y Scrivere la condizione in base alla quale il sistema retroazionato ´e sede di una oscillazione persistente:
. . .
14. Il metodo di Ziegler-Nichols per determinare i valori di primo tentativo dei parametri di un regolatore standard PID
`e applicabile solo al controllo di sistemi lineari
richiede la conoscenza della risposta impulsiva del sistema da controllare richiede la conoscenza della risposta al gradino del sistema da controllare `e applicabile in modo approssimato anche al controllo di sistemi non lineari richiede la conoscenza esatta del modello dinamico del sistema da controllare
