Controlli Automatici B 4 Luglio 2019 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma:

(1)

Controlli Automatici B 4 Luglio 2019 - Esercizi

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

a) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + a)(s + 2)

s(s − 1)²

- 6

r(t) y(t)

a.1) Posto a = 1, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le intersezioni ω^∗ con l’asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K^∗. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K1G1(s) = 0 ↔ 1 + K(s + 1)(s + 2) s(s − 1)² = 0

dove K₁ = K. L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G₁(s) per K > 0

´e mostrato in Fig. 1.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Imag

Luogo delle radici per K > 0

Figura 1: Luogo delle radici del sistema G1(s) per K > 0

Il luogo delle radici ha un solo asintoto orizzontale che coincide con il semiasse reale negativo.

L’intersezione con l’asse immaginario si calcola applicando il criterio di Routh alla seguente equazione caratteristica:

1 + K(s + 1)(s + 2)

s(s − 1)² = 0 → s³+ (K − 2)s²+ (3K + 1)s + 2K = 0

(2)

La corrispondente tabella di Routh `e la seguente

3 1 3K + 1

2 K − 2 2K

1 (K − 2)(3K + 1) − 2K

0 2K

Il sistema retroazionato ´e stabile se

K > 2, 3K²− 7K − 2 > 0, K > 0.

Dalla seconda disequazione si ha che:

K < 7 −√ 73

6 = −0.2573, K > 7 +√ 73

6 = 2.5907, Quindi il sistema retroazionato ´e stabile se

K > 7 +√ 73

6 = 2.5907 = K^∗

L’intersezione con l’asse immaginario si ha in corrispondenza della pulsazione:

ω^∗ =

r 2 K^∗

K^∗− 2 = 2.9617.

a.2) Posto K = 6, tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro a > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti e le eventuali intersezioni ω^∗ con l’asse immaginario. Determinare inoltre per quale valore ¯a del parametro a il sistema retroazionato presenta il minimo tempo si assestamento. Determinare la posizione degli eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. Posto K = 6, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato pu´o essere riscritta nel seguente modo 1 + a G1(s) = 0:

s(s − 1)²+ 6(s + a)(s + 2) = 0 → 1 + a 6(s + 2)

s(s²+ 4s + 13) = 0 Mettendo in evidenza i poli della funzione G1(s) si ottiene:

1 + a 6(s + 2)

s[(s + 2)²+ 3²] = 0

Il contorno delle radici al variare del parametro a > 0 `e mostrato in Fig. 2. Nel contorno delle radici sono presenti due asintoti. Il centro degli asintoti ´e:

σa = 1

2(−4 + 2) = −1

Il sistema retroazionato presenta il minimo tempo si assestamento Ta quando i tre poli del sistema retroazionato sono allineati. In questo caso la condizione di allineamento si determina utilizzando il teorema del baricentro:

3σ0 = −4 → σ0 = −4

3 = −1.333.

Il corrispondete valore ¯a si determina nel seguente modo:

¯a = − 1 G1(s)

s=σ0

= −s[(s + 2)²+ 3²]

6(s + 2) = 3.1481

Dal contorno delle radici di Fig. 2 risulta evidente che il sistema retroazionato ´e stabile per a > 0. Lo stesso risultato pu´o essere ottenuto anche applicando il critero di Routh alla seguente equazione caratteristica:

1 + a 6(s + 2)

s[(s + 2)²+ 3²] = 0 → s³+ 4s² + (13 + 6a)s + 12a = 0

(3)

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real

-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12

Imag

Luogo delle radici

Figura 2: Luogo delle radici del sistema G¹(s) al variare del parametro α > 0.

La corrispondente tabella di Routh `e:

3 1 13 + 6a

2 4 12a

1 52 + 12a

0 12a

Chiaramente il sistema retroazionato ´e stabile solo se a > 0.

a.3) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t) _-

K ^-

G(s) (s + 2)² s²(s + 4)²

- 6

r(t) y(t)

Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare in modo esatto la posizione degli asintoti e in modo “qualitativo”

tutti gli altri aspetti del luogo delle radici.

Sol. L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K > 0 `e mostrato in Fig. 3.

Il luogo delle radici ha due asintoti verticali. La posizione σa del centro degli asintoti `e:

σa= 1

2(−8 + 4) = −2.

b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi Ga(s) e Gb(s):

(4)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Real

-3 -2 -1 0 1 2 3

Imag

σ_a

Figura 3: Luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K > 0.

-240 -230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

0.047 0.056 0.068 0.082 0.1 0.12 0.15 0.18 0.22

0.27 0.33

0.39 0.47

0.56 0.68

0.82 1 1.81.5 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6

Sistema Ga(s): diagramma di Nichols

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

2.2 2.7

3.3

3.9 4.7 5.6 6.88.212

Sistema Gb(s): diagramma di Nyquist

b.1) Per il sistema Ga(s), progettare una rete correttrice in modo da garantire al sistema com- pensato un margine di fase Mϕ = 50^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

Sol. La specifica sul margine di fase Mϕ = 50ô definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕ^B: MB = 1 e ϕB = −130^◦. La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig. 4. Il punto A = Gb(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice è quello corrispondente alla pulsazione ωA= 1.0:

MA= |G(jω^A)| = 0.2513, ϕA= arg[G(jωA)] = −163.4^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 5.713 e τ2 = 1.061 della rete correttrice C(s):

M = MB

MA

= 3.9786, ϕ = ϕB− ϕ^A= 33.4^◦ → C₁(s) = (1 + 5.713 s) (1 + 1.061 s).

Il diagramma di Nichols delle funzioni Ga(s) e C1(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 4. Sintesi della rete correttrice C1(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 0.56 0.68 0.82 1 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 ]

M^A=[ 0.6681 0.4751 0.3464 0.2513 0.1355 0.1034 0.0765 0.0554 0.0394 0.0288 0.0196 ] ϕA=[ −166.7 −165.2 −164 −163.4 −165.8 −169.2 −174.9 177 166.7 156.5 143.8 ] M =[ 1.497 2.105 2.887 3.979 7.381 9.669 13.07 18.03 25.35 34.61 50.88 ] ϕ=[ 36.75 35.18 33.99 33.39 35.8 39.15 44.85 53.01 63.29 73.45 86.23 ] τ1=[ 2.076 3.286 4.488 5.713 7.488 7.826 7.965 8.081 8.447 9.182 10.84 ] τ2=[ 0.3976 0.8734 1.053 1.061 0.77 0.5913 0.4076 0.2533 0.1391 0.0684 0.0098 ]

(5)

-240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

A

B 0.047

0.056 0.068 0.082 0.1 0.12

0.15 0.18

0.22 0.27

0.33 0.39

0.47 0.56

0.68 0.82

1 1.5 2.21.8 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6

0.047 0.056

0.068 0.082

0.1 0.12

0.15 0.18

0.22 0.27

0.33 0.47 0.68 1 1.2 1.8 1.5 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8

Sistema Ga(s): diagramma di Nichols

Figura 4: Diagrammi di Nichols delle funzioni Ga(s) e C¹(s) Ga(s).

b.2) Per il sistema Gb(s), progettare una rete correttrice in grado di garantire al sistema com- pensato un margine di ampiezza Ma = 8. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

Sol. La posizione del punto B è completamente determinata dalla specifica di progetto B = MBe^jϕ^B: MB = 0.125 e ϕB= −180^◦. La regione di ammissibilitá è mostrata in grigio in Fig. 5. Il punto A = Ga(jωA) scelto per il progetto è quello corrispondente alla pulsazione ωA = 3.3:

MA= |G(jω^A)| = 1.895, ϕA = arg[G(jωA)] = 187.7^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ1 = 2.079 e τ2 = 31.86 della rete correttrice C1(s):

M = MB

MA

= 0.0659, ϕ = ϕB− ϕ^A= −7.74^◦ → C2(s) = (1 + 2.079 s) (1 + 31.86 s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni Gb(s) C2(s)Gb(s) sono mostrati in Fig. 5. Sintesi della rete correttrice C2(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 3.3 2.7 2.2 ]

MA=[ 1.896 2.733 3.865 ] ϕA=[ −172.3 −163 −153.9 ] M =[ 0.0659 0.0457 0.0323 ] ϕ =[ −7.747 −16.97 −26.13 ] τ1 =[ 2.079 1.156 0.8933 ] τ2 =[ 31.86 26.53 30.98 ] c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

(6)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

A

B

2.2

2.7

3.3 3.9

4.7 5.6 6.88.2 12

0.33

0.39

0.47 0.56

0.68 0.82

11.21.5 2.23.9

Sistema Gb(s): diagramma di Nyquist

Figura 5: Diagrammi di Nyquisty delle funzioni Gb(s) e C2(s) Gb(s).

- -

G₁(s)

K ^- N.L. ^-

G₂(s)

s − 2 s + 1

-

s − 2

s + 1

H(s) 6

r e x y

- 6

3 6 12

−3

−6

−12

x 65

3

−3

−5

−6 y

c.1) Posto K = 1, determinare per quali valori r1 ed r2 dell’ingresso r i punti di lavoro del sistema retroazionato sono posizionati in (x1, y1) = (1, 0) e in (x2, y2) = (3, 3).

Sol. I guadagni statici delle funzioni G1(s), G2(s) e H(s), rispettivamente, sono:

K1 = 1, K2 = −2, K3 = −2.

La retta di carico della parte lineare del sistema `e una retta orizzontale di ordinata:

x = K1(r − K²K3y) → r = x K1

+ K2K3y = x + 4 y

Imponendo il passaggio per i due punti (x₁, y₁) = (1, 0) e (x₂, y₂) = (3, 3) si ottiene:

r₁ = 1, r₂ = 15.

c.2) Posto K = 1, r = r1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile o meno nell’intorno del punto (x1, y1) = (1, 0).

Sol. Le pendenze α e β di 2 rette che centrate nel punto (x1, y1) = (1, 0) racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono le seguenti:

α = 0, β = 3.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei punti:

−1

α = −∞, −1

β = −1 3

(7)

Il margine di ampiezza K^∗ e la pulsazione ω^∗ della funzione G(s) = G1(s) G2(s) H(s) si determinano utilizzando il criterio di Routh:

1 + K(s − 2)²

(s + 1)² = 0 → (K + 1)s²+ (2 − 4K)s + 1 + 4K = 0 Le due radici dell’equazione caratteristica sono a parte reale negativa:

K > −1, K < 1

2, K > −1 4. Il sistema ´e stabile se:

−1

4 < K < K^∗ = 1

2 = 0.5.

Il corrispondente valore ω^∗ ´e:

ω^∗ =r 1 + 4K^∗ K^∗+ 1 =√

2 = 1.4142.

Il valore di K^∗ `e minore di β

K^∗ = 0.5 < β = 3

per cui il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca il cerchio critico e quindi, in base al criterio del cerchio, non si può affermare nulla relativamente alla stabilitá del sistema retroazionato nell’intorno del punto di lavoro. In Fig. 6 è mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

x -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

y(x)

Funzione non lineare y(x)

r.c.

α β

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2

Imag

Diagramma di Nyquist

0 0.018 0.039 0.056 0.082 0.1 0.12 0.15 0.18 0.22

0.27 0.33 0.47 0.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.2 2.7 3.3 3.9 4.75.6

8.2 12 22 100

cerchio critico

Figura 6: Diagramma di Nyquist della funzione G¹(s) e cerchio critico.

c.3) Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a y(x) nell’intorno del punto (0, 0). Utilizzare le variabili m₀, m₁, m₂, . . . per rappresentare gli eventuali valori minimi e massimi “non noti” della funzione F (X).

Sol. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 7. Indi- chiamo: a) con m0 = 0 il valore nullo iniziale della funzione F (X); b) con m1 il valore massimo della funzione F (X) per X ≃ 4; c) con m³ = ¹₃ il valore finale a cui tende la funzione F (X) per X → ∞. Il valore m¹ pu´o essere calcolato esattamente sono conoscendo con precisione la funzione F (X).

c.4) Discutere “qualitativamente”, anche in funzione dei parametri m0, m1, m2, . . ., l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Sol. Per K = 1, il margine di ampiezza K₁^∗ del sistema G1(s) `e K₁^∗ = 0.5. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K^∗ del sistema K G₁(s) `e K^∗ = ^K_K¹^∗ = ^0.5_K. Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni di funzionamento:

a) Per K^∗ > m1 la funzione −1/F (X) `e tutta esterna al diagramma completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato `e stabile.

b) Per m3 < K^∗ < m1 il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione −1/F (X) in

(8)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

F(X)

Funzione descrittiva

m0

m1

m3

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

0.56 0.47 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.2 2.7 3.3 3.9 4.75.6

6.8 10

a)

b)

c)

Figura 7: Andamento della funzione descrittiva F (X).

due punti a cui corrispondono un ciclo limite instabile (il primo) e uno stabile (il secondo).

c) Per K^∗ < m3, il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo puntO a cui corrisponde un ciclo limite instabile.

d) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

r = 0_- e_-

6 C(s) ^- N.L. ^-

G₁(s) e⁻^3s

2 s

x y -

dove la nonlinarit`a `e caratterizzata dalla funzione y = f (x) mostrata in figura.

- 6

6 x

−4

4 2 y

−2

−6

d.1) Posto C(s) = 1, calcolare l’ampiezza X^∗ e la pulsazione ω^∗ dell’oscillazione autosostenuta presente all’interno del sistema.

Sol. La non linearità N.L. mostrata in figura è la somma di un relè ideale di ampiezza Y = 2 e di una retta di pendenza 0.333 per cui ad essa corrisponde la seguente funzione descrittiva:

F (X) = 8 π X + 1

3

Applicando il criterio di Routh `e facile mostrare che i parametri K^∗ e ω^∗ del sistema G1(s) sono i seguenti:

ω^∗ = π 2 t0

= π

6 = 0.5236, K^∗ = 2 ω^∗ = π

3 = 1.0472

Il sistema retroazionato presenta un ciclo limite stabile alla pulsazione ω = ω^∗ la cui ampiezza X pu´o essere determinata imponendo:

F (X^∗) = K^∗ → 8 π X^∗ + 1

3 = π

3 → X^∗ = 24

π (π − 1) = 3.5672 d.2) Calcolare i parametri τ1 e τ2 di una rete correttrice C(s) = ^1+τ_1+τ¹^s

2s in modo da garantire che all’interno del sistema retroazionato sia presente un’oscillazione autosostenuta la cui pulsazione ωc e la cui ampiezza Xc siano: ωc = ^π₉ e Xc = 1.

Sol. Il vincolo ωc = ^π₉ = 0.349 sulla pulsazione ωc individua il punto A della funzione G₁(s) che deve essere portato in B ad intersecare l’asse reale negativo:

MA=

G¹(jω)

ω=^π₉ = 9

2π = 1.4324, ϕA= −π

2 − 3 ω^c = −5π

6 = −150^o

(9)

Il punto B sul semiasse reale negativo `e completamente definito dal vincolo sull’ampiezza della pulsazione:

Xc = 1 → B = − 1

F (Xc) = − 1

8 π Xc +¹₃

X^c=1

= − 3π

24 + π = −0.3472 Il modulo e la fase del punto B sono i seguenti:

MB = 0.3472, ϕB= −180^o I parametri da utilizzare nelle formule di inversione sono:

M = MB

MA

= 0.3472

1.4324 = 0.2424, ϕ = −30^o Utilizzando le formule di inversione si ottiene la seguente rete ritardatrice:

τ1 = M − cos ϕ

ω sin ϕ = 3.5731, τ2 = cos ϕ − M¹

ω sin ϕ = 18.6749 → C(s) = 1 + 1.615 s 1 + 11.387 s Gli andamenti dei diagrammi di Nyquist delle funzioni G₁(s) e C(s)G₁(s) sono mostrati in Fig. 8.

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Real -2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Imag

A

B

0.18 0.22

0.27 0.33

0.39 0.47

0.56 0.68

0.82 1 1.2

1.5

2.2 1.8 2.7

3.3

3.9

4.7 5.6

6.8 8.2

0.082

0.1 0.12

0.15 0.18

0.220.270.330.470.6811.5

Figura 8: andamenti dei diagrammi di Nyquist delle funzioni G¹(s) e C(s)G¹(s) quando 7 = 3.

e) Utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri, discretizzare la seguente rete correttrice D(s) = M (s)

E(s) = (s + 2)² s(s + 1)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1 e si imponga l’uguaglianza dei guadagni alle alte frequenze.

Soluzione. Utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri si ottiene:

D(z) = K (1 − e⁻^{2 T}z⁻¹)²

(1 − z⁻¹)(1 − e⁻^Tz⁻¹) = K (1 − 0.8187 z⁻¹)² (1 − z⁻¹)(1 − 0.9048 z⁻¹) Il valore di K si determina imponendo l’uguaglianza dei guadagni alle alte frequenze:

s→∞lim D(s) = lim

z→−1D(z) → 1 = K (1 + e⁻^{2 T})²

2(1 + e⁻^T) → K = 2(1 + e⁻^T)

(1 + e⁻^{2 T})² = 1.1517.

(10)

Sostituendo in D(z) si ottiene:

D(z) = M (z)

E(z) = 1.152(1 − 1.637 z⁻¹+ 0.670 z⁻²)

(1 − 1.905 z⁻¹+ 0.905 z⁻²) = (1.152 − 1.886 z⁻¹+ 0.772 z⁻²) (1 − 1.905 z⁻¹ + 0.905 z⁻²) La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

mk = 1.905 mk−1− 0.905 m^k−2+ 1.152 ek− 1.886 e^k−1+ 0.772 ek−2.

f) Partendo da condizioni iniziali nulle, calcolare la risposta al gradino unitario y(n) della seguente equazione alle differenze:

y(n + 1) = 0.6 y(n) + x(n)

Soluzione. L’equazione alle differenze genera la seguente funzione discreta G(z):

y(n + 1) = 0.6 y(n) + x(n) ↔ G(z) = Y (z)

X(z) = 1 z − 0.6. La Z-trasformata del segnale a gradino in ingresso x(n) = 1 `e:

X(z) = z z − 1.

La Z-trasformata Y (z) del segnale di uscita `e quindi la seguente:

Y (z) = G(z)X(z) = z

(z − 1)(z − 0.6). Mediante il metodo della scomposizione in fratti semplici si ricava:

Y (z)

z = 1

(z − 1)(z − 0.6) = 1

0.4(z − 1)− 1 0.4(z − 0.6) e quindi:

Y (z) = 2.5 z

(z − 1) − 2.5 z

0.4(z − 0.6) → y(n) = 2.5 (1 − (0.6)ⁿ).

g) Calcolare la risposta y(n) del seguente sistema dinamico discreto:

y(n + 1) + 0.5 y(n) = 2 x(n) quando x(n) = 0 e la condizione iniziale del sistema ´e y(0) = 3.

Sol. Applicando la Z-trasformata alla precedente equazione alle differenze con condizione iniziale nulla y(0) = 3 e ingresso x(n) = 0 si ottiene:

z [Y (z) − 3] + 0.5 Y (z) = 0 → Y (z) = 3 z z + 0.5 Antitrasformando si ottiene:

y(n) = 3 (−0.5)ⁿ.

(11)

Controlli Automatici B 4 Luglio 2019 - Domande Teoriche

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Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono corrette.

1. Scrivere la funzione G(z) = _X(z)^Y^(z) corrispondente alla seguente equazione alle differenze:

yn= −2 yⁿ⁻¹− 3 yⁿ⁻²+ 4 xn−1+ 6 xn−2 → G(z) = 4 z⁻¹ + 6 z⁻² 1 + 2 z⁻¹+ 3 z⁻² 2. Calcolare la Z-trasformata X(z) dei seguenti segnali tempo continui x(t) quando t = k T :

x(t) = 2 e⁻^{3 t} → X(z) = 2 z

(z − e⁻^{3 T}) x(t) = 3 t → X(z) = 3 T z (z − 1)² 3. A fianco `e riportato il luogo delle radici del siste-

ma G(s) = _s(s2+6 s+25)¹ al variare del parametro K > 0. Utilizzando, quando `e possibile, il teorema del baricentro calcolare:

4.1) L’ascissa σ0 corrispondente alla condizione di allineamento dei tre poli:

σ0 = 1 3

3

X

i=1

pi = −6 3 = −2

4.2) Il valore K0 corrispondente alla condizione di allineamento dei tre poli:

K0 = −G(s)¹

s=−2= 34 ^-7 ^-6 ^-5 ^-4 ^-3 ^-2 ^-1 ⁰ ¹

Real -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Imag

4.3) La posizione p^∗₁ del polo sull’asse reale quando gli altri 2 poli si trovano sull’asse immaginario p^∗_2,3 = ±jω^∗ e il corrispondente valore del guadagno K^∗:

p^∗₁ =Pn

i=1p1 = −6, K^∗ = −_G(s)¹

s=−6 = 150

4. Sia G(z) la Z-trasformata della successione numerica g(k). Scrivere gli enunciati dei teoremi del valore iniziale e del valore finale:

g(0) = g(k)|k=0 = lim

z→∞G(z), g(∞) = lim

k→∞g(k) = lim

z→1(1 − z⁻¹)G(z).

5. La funzione G(s) = K(1 + _T¹_i_s+ Tds), che rappresenta un regolatore standard PID, `e fisicamente realizzabile

N non `e fisicamente realizzabile

N `e un modello ideale semplificato dei PID realizzati fisicamente 6. Una rete ritardatrice ^1+τ_1+τ¹^s

2s viene inserita in un anello di controllo per ridurre gli errori a regime per ingresso a gradino

per migliorare l’andamento “a regime” del sistema retroazionato N per migliorare l’andamento “in transitorio” del sistema retroazionato

(12)

7. Pensando al legame teorico esistente tra le variabili complesse z ed s, indicare quali delle seguenti funzioni di trasferimento discrete C(z) sono (a meno di una costante) delle reti ritardatrici :

C(z) = ^(z+0.2)(z−0.6) C(z) = ^(z−0.4)(z−0.2) C(z) = ^(z−0.6)(z−0.4) N C(z) = ^(z−0.4)_(z−0.8) 8. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) ha la risposta impulsiva g(k) che tende a zero

pi`u “lentamente”:

G(z) = z(z+0.2)¹ G(z) = z(z−0.4)¹ G(z) = (z+0.6)¹ N G(z) = _(z−0.8)¹ 9. Sia (0, 0) il punto di lavoro. Disegnare il cerchio critico corrispondente alle seguente non

linearit`a:

- 6

2 4 8 x

−2

−4

−8

2 4 y

−2

−4

−4 −3 −2 −1

- 6

10. Date le seguenti caratteristiche non lineari simmetriche rispetto all’origine, determinare “qualitativamente” gli andamenti delle corrispondenti funzioni descrittive F1(X) ed F2(X):

- 6

3 6 x

−3

−6

2 4 3 y

−2

−4

−3

- 6

4 5 x

−4

−5

4 2 y

−4

−2

0 3 6 9 12 15 18

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

funzione descrittiva

0 4 8 12 16

0 1 2 3 4 5 6

funzione descrittiva

11. Per poter applicare il metodo base della funzione descrittiva ad un sistema G(s) retroazionato su una non linearit`a y = f (x)

il sistema G(s) deve essere a fase minima

la non linearit`a y = f(x) deve essere di tipo “a settore”

N la non linearit`a y = f (x) deve essere simmetrica rispetto all’origine

12. Sia Y (X) sin(ω t + ϕ(X)) la fondamentale del segnale periodico y(t) presente all’uscita di una non linearit`a algebrica y(t) = f (x(t)) in risposta al segnale x(t) = X sin(ωt) in ingresso. Fornire la definizione di funzione descrittiva F (X):

F (X) = ^Y_X^(X) e^jϕ(X). 13. La funzione descrittiva F (X) di un rel`e ideale di ampiezza Y1 `e:

F (X) = _{4 Y}^{π X}₁ F (X) = ^{π Y}_{4 X}¹ F (X) = π Y^{4 X}₁ N F (X) = ^{4 Y}_{π X}¹

(13)

14. Il teorema del baricentro del luogo delle radici pu´o essere applicato anche a funzioni G(s) trascendenti

solo a funzioni G(s) con grado relativo r > 2 N solo a funzioni G(s) con grado relativo r ≥ 2 N anche a funzioni G(s) razionali fratte e instabili