Controlli Automatici B 11 Giugno 2018 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma:

(1)

Controlli Automatici B 11 Giugno 2018 - Esercizi

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

a.1) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) 100(s + 1)

s(1 − s)[(s + 20)²+ 10²]

- 6

r(t) y(t)

Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K. Tracciare il luogo delle radici sia per K > 0 che per K < 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Non calcolare le intersezioni con l’asse immaginario. Nella graficazione del luogo delle radici si tenga conto che: a) il sistema retroazionato `e stabile per 5.46 < −K <

168.7. b) per K < 0 il luogo delle radici ha 3 punti doppi di diramazione sull’asse reale negativo in p1 = −17.24, in p² = −7.45 e in p³ = −3.06.

Soluzione. Posto α = 1, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K1G1(s) = 0 ↔ 1 + K 100(s + 1)

s(s − 1)[(s + 20)²+ 10²] = 0

dove K1 = −K. Gli andamenti qualitativi del luogo delle radici del sistema G¹(s) al variare di K1 > 0 e di K1 < 0 sono mostrati in Fig. 1.

-26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Imag

Luogo delle radici

-26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Imag

Figura 1: Luogo delle radici del sistema G1(s) per K1>0 e per K1<0.

Il centro degli asintoti σa `e:

σa= 1

3(1 − 40 + 1) = −12.6667 a.2) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t) _-

K ^-

G(s) (s − 1) (s + 12)(αs²+ 9)

- 6

r(t) y(t)

Posto α = 1, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le intersezioni ω^∗

(2)

con l’asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K^∗. Determinare per quale valore K0 il sistema retroazionato presenta il minimo tempo di assestamento alla risposta al gradino.

Sol. Posto α = 1, l’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K (s − 1)

(s + 12)(s²+ 9) = 0 ⇔ 1 + K1G(s) = 0

dove K1 = K. L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K > 0 `e mostrato in Fig. 2.

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

Real -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Imag

σa

Figura 2: Luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K > 0.

Dal luogo delle radici risulta chiaro che il sistema retroazionato `e stabile per:

0 < K < K^∗ = − 1 G(s)

s=0

= 108

e che le intersezioni con l’asse immaginario si hanno in corrispondenza della pulsazione: ω^∗ = 3 e ω^∗ = 0. Lo stesso risultato pu`o essere ottenuto utilizzando il criterio di Routh:

1 + K G(s) = 0 → s³ + 12 s²+ (K + 9)s + 108 − K = 0

3 1 K + 9

2 12 108 − K

1 12(K + 9) − 108 + K

0 108 − K

Dalla riga 1 e dalla riga 0 si ottiene:

K > 0, K < 108 → 0 = K₁^∗ < K < K₂^∗ = 108 Le pulsazioni ω₁^∗ e ω₁^∗ si calcolano nel seguente modo:

ω₁^∗ =r 108 12 =√

9 = 3, ω₂^∗ = 0.

Il luogo delle radici ha due asintoti verticali. La posizione σa del centro degli asintoti `e:

σa= 1

2(−12 − 1) = −6.5.

Il sistema retroazionato presenta il minimo tempo di assestamento alla risposta al gradino quando è massima la distanza dei poli della G(s) dall’asse immaginario. Tale distanza è massima quando i poli sono allineati. In questo caso l’ascissa σ0della condizione di allineamento può essere calcolata utilizzando il teorema del baricentro:

3 σ₀ =

3

X

i=1

pi = −12 → σ₀ = −12 3 = −4

(3)

Il valore K0 a cui corrisponde minimo tempo di assestamento ´e il seguente:

K0 = − 1 G₁(s)

s=σ0

= 40

a.3) Posto K = 1, tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α > 0. Nella graficazione del contorno delle radici si tenga conto che il sistema retroazionato `e stabile per α > 0. Determinare la posizione dei punti di diramazione

“solo in modo qualitativo”.

Soluzione. Posto K = 1, L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e la seguente:

1 + (s − 1)

(s + 12)(αs²+ 9) = 0 → (s + 12)(αs²+ 9) + (s − 1) = 0 → 1 + αs²(s + 12) 10(s + 10.7) = 0 Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 3.

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

Real -20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

Imag

Figura 3: Contorno delle radici del sistema G2(s) al variare del parametro α > 0.

Il centro degli asintoti σa `e il seguente:

σa= 1

−2(−10.7 + 12) = −0.65

b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi Ga(s) e Gb(s):

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Real -6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Imag

0 0.056 0.12 0.18 0.27 0.33 0.39 0.47 0.56 0.68 0.82

1 1.2 1.8 1.5

2.2 2.7 3.3 3.9 4.7

5.6 6.88.2 12

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

0.27 0.39 0.680.56 0.821 1.2 1.81.5 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12 15 18 22 27 33

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

(4)

b.1) Per il sistema Ga(s), progettare una rete correttrice in grado di garantire che il sistema compensato passi per il punto B = (−0.5, −0.5). Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno;

Sol. La posizione del punto B `e completamente determinata dalla specifica di progetto B = MBe^jϕ^B: MB = √

2 = 0.7071 e ϕB = 225^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Real -7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Imag

A B

0 0.056 0.12 0.18 0.27 0.33 0.39 0.47 0.56 0.68 0.82

1 1.2 1.8 1.5

2.2 2.7

3.3 3.9

4.7

5.6 6.8 8.2

12 0

0.01 0.022 0.033 0.047 0.068 0.0820.1 0.12 0.180.15 0.270.22

0.390.33 0.470.56 0.820.68 1.2 1.8 2.7

6.83.9

Sistema G^a(s): diagramma di Nyquist

Figura 4: Diagrammi di Nyquisty delle funzioni Ga(s) e C1(s) Ga(s).

Il punto A = Gb(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA = 2.7:

MA= |G(jω^A)| = 4.196, ϕA = arg[G(jωA)] = 246.5^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ₁ = 0.769 e τ₂ = 10.44 della rete correttrice C(s):

M = MB

MA

= 0.1685, ϕ = ϕB− ϕ^A= −21.5^◦ → C1(s) = (1 + 0.769 s) (1 + 5.051 s). Il diagramma di Nichols delle funzioni Ga(s) e C1(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 4.

Sintesi della rete correttrice C₁(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 3.3 3 2.7 2.2 1.8 1.5 1.2 ]

MA=[ 3.396 3.785 4.196 4.913 5.486 5.892 6.258 ] ϕA=[ −133.7 −123.9 −113.5 −95 −79.2 −66.8 −53.98 ] M =[ 0.2082 0.1868 0.1685 0.1439 0.1289 0.12 0.113 ] ϕ =[ −1.301 −11.14 −21.52 −40 −55.8 −68.2 −81.02 ] τ1 =[ 10.57 1.37 0.769 0.4399 0.2909 0.1804 0.0364 ] τ2 =[ 50.77 7.538 5.051 4.372 4.833 5.716 7.335 ]

b.2) Per il sistema Gb(s), progettare una rete correttrice in grado di garantire al sistema compensato un margine di ampiezza Mα = 10. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

Soluzione. La specifica sul margine di ampiezza Mα = 10 definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕ^B: MB = 0.1 = −20 db e ϕ^B = −180^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 5.

(5)

Figura 5: Diagrammi di Nyquist delle funzioni G^b(s) e C3(s) G^b(s).

Il punto A = G(jωA) che deve essere portato in B `e quello assegnato corrispondente alla pulsazione ωA = 3.3:

MA= |G(jω^A)| = 3.277, ϕA = arg[G(jωA)] = 191.082^◦. I valori di M e ϕ da usare nelle formule di inversione sono i seguenti:

M = MB

MA^′

= 0.0305, ϕ = ϕB− ϕ^A^′ = −11.082^◦ → C3(s) = (1 + 1.499 s) (1 + 50.11 s). I diagrammi di Nichols delle funzioni Gb(s) e C3(s)Gb(s) sono mostrati in Fig. 5.

Sintesi della rete correttrice C3(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 3.9 3.3 2.7 2.2 1.8 1.5 1.2 1 ]

MA=[ 2.386 3.277 4.692 6.6 8.998 11.69 15.74 19.75 ] ϕA=[ −176.3 −168.9 −160.2 −151.5 −143.3 −136.3 −128.6 −122.9 ] M =[ 0.0419 0.0305 0.0213 0.0151 0.0111 0.0085 0.0063 0.0050 ] ϕ =[ −3.721 −11.08 −19.83 −28.54 −36.7 −43.67 −51.44 −57.09 ] τ1 =[ 3.777 1.499 1.004 0.8215 0.7349 0.6902 0.6575 0.641 ] τ2 =[ 90.32 50.11 50.21 61.96 82.9 112.2 167.1 234.6 ] c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G1(s) K

(s + 2) ^- N.L. ^-

2

(s + 1)² H(s)

6

r e x y

- 6

2 6

−2

−6

x 8

4

−4

−6 y(x)

c.1) Posto K = 1, determinare per quali valori r1 ed r2 dell’ingresso r i punti di lavoro del sistema retroazionato sono posizionati in (x1, y1) = (4, 2) e in (x2, y2) = (6, 6).

Soluzione. Posto K = 1, il sistema `e caratterizzato dai seguenti guadagni statici: K1 = 0.5, K2 = 1 e K3 = 2. La retta di carico della parte lineare del sistema `e una retta orizzontale di ordinata:

x = K₁(r − K2K₃y) → x = 0.5(r − 2y)

(6)

I valori r1 e r2 si ottiene ponendo (x1, y1) = (4, 2) e (x2, y2) = (6, 6) nella retta di carico:

4 = 0.5(r1− 2 · 2) 6 = 0.5(r2− 2 · 6) → r1 = 12, r2 = 24.

c.2) Posto K = 1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile o meno nell’intorno del punto (x0, y0) = (0, 0).

Soluzione. Le pendenze α e β di 2 rette che centrate in (x0, y0) = (0, 0) racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono le seguenti:

α = 0, β = 2.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei punti:

−1

α = −∞, −1

β = −1 2.

Il margine di ampiezza ¯K^∗e la pulsazione ω^∗ della funzione G1(s) si determinano utilizzando il criterio di Routh: ¯K^∗ = 1, ω^∗ = 2.

1 + K G1(s) = 0 → (s + 2)(s + 1)²+ 2K = 0 → s³+ 4s²+ 5s + 2K + 2 = 0

3 1 5

2 4 2K + 2

1 18− 2K 0 2K + 2 Il sistema retroazionato ´e stabile per:

−1 = ˜K < K < ¯K^∗ = 9

L’intersezione con il semiasse reale negativo si ha alla pulsazione: ω^∗ = √

5 = 2.2361. Il valore di ¯K^∗ `e maggiore di β:

K¯^∗ = 9 > 2 = β

per cui in base al criterio del cerchio si pu´o affermare che il sistema retroazionato ´e globalmente asintoticamente stabile nell’intorno del punto (x0, y0) = (0, 0).

In Fig. 6 `e mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

x -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

y(x)

Funzione non lineare y(x)

r.c.

α β

-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

Real -1

-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5

Imag

Diagramma di Nyquist

0 0.022 0.047 0.068 0.1

0.15 0.18 0.22

0.27 0.33 0.47 0.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.23.3 cerchio

critico

Figura 6: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico.

c.3) Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a y(x) nell’intorno del punto (0, 0). Utilizzare delle variabili (per esempio: m₁, m₂, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

Soluzione. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 7.

Per X < 2 la funzione descrittiva F (X) ha un valore che coincide con la pendenza del primo tratto lineare m₀ = 2. Poi per X = 2 la pendenza punta verso il basso. Se non fosse

(7)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X

0 0.5 1 1.5 2 2.5

F(X)

Funzione descrittiva

m₀

m₁ m₂

m₃

Figura 7: Andamento della funzione descrittiva F (X).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2

Imag

Diagramma di Nyquist

0.1 0.22 0.470.33 0.68 1 1.5

2.7

a)

b) c)

d)

−_F(X)¹

Figura 8: Discussione grafica al variare di K.

(8)

presente l’ultimo tratto a pendenza zero il valore finale sarebbe uguale alla pendenza α = 1 del secondo tratto lineare. In corrispondenza del punto X = 6 la pendenza della funzione F (X) punta verso l’alto. Per X → ∞ la F (X) tende al valore finale m³ = 0.

c.4) Discutere “qualitativamente” (in funzione anche dei parametri m1, m2, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza ¯K^∗ del sistema G1(s) `e ¯K^∗ = 9. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K^∗ del sistema K G1(s) `e K^∗ = ^K^¯_K^∗. Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni di funzionamento:

a) Per K^∗ > m0, il diagramma di Nyquist della G1(s) non interseca la funzione −1/F (X).

Il sistema retroazionato ´e globalmente asintoticamente stabile perch´e la funzione −1/F (X)

’e tutta esterna al diagramma polare completo.

b) Per m₂ < K^∗ < m₀, il diagramma di Nyquist della G₁(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

c) Per m₁ < K^∗ < m₂, il diagramma di Nyquist della G₁(s) interseca la funzione −1/F (X) in tre punti: i due punti esterni corrispondono a due cicli limite stabili, il punto intermedio rappresenta un ciclo limite instabile.

d) Per K^∗ < m₂ il diagramma di Nyquist della G₁(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

d) Sia dato il sistema retroazionato e i diagrammi di Bode della funzione G(s) riportati a fianco.

d.1) Posto C(s) = 1, determinare l’errore a regime epdel sistema retroazionato per ingresso a gradino unitario:

ep = 1

1 + G(0) = 1

11 = 0.09

d.2) Posto C(s) = 1, determinare la larghezza di banda ωf del sistema G(s) e il corrispondente tempo di salita Tr:

ωf =≃ 1.3 Tr=≃ 0.77 d.3) Posto C(s) = 1, determinare la larghezza di

banda ω_f0 del sistema retroazionato G₀(s) e il corrispondente tempo di salita Tr0:

ωf0 =≃ 4.3 Tr0 =≃ 0.23

- -C(s) ^- G(s) ^-

6

r e x y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

Mag (db)

Diagramma dei moduli

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequency [rad/s]

-300-280 -260 -240-220 -200 -180-160 -140-120 -100-80-60-40-200

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

d.4) Progettare una rete correttrice C(s) in modo da garantire al sistema compensato un margine di fase Mϕ = 60^◦ in corrispondenza della pulsazione ωA= 1.

Sol. d.4) Il modulo e fase del punto B sono univocamente determinati dalla specifica sul margine di fase Mϕ = 50^◦:

MB= 1, ϕB = 240^o = −120^o

Il modulo e la fase del punto A alla pulsazione ωA = 1 si leggono direttamente dai diagrammi di Bode della funzione G(s):

MA= 8.1, ϕA= −73.73^o −→ M = MB

MA

= 0.1235, ϕ = ϕB− ϕ^B= −46.27^o La rete correttrice C(s) si ottiene utilizzando le formule di inversione:

τ1 = M − cos ϕ

ω sin ϕ = 0.7857, τ2 = cos ϕ − M¹

ω sin ϕ = 10.2489 → C(s) = 1 + 0.7857 s 1 + 10.2489 s

(9)

e) Partendo da condizione iniziale y(0) = 2, calcolare la risposta y(n) al gradino unitario x(n) = (1, 1, 1, . . .) del seguente sistema dinamico discreto:

y(n + 1) = 0.5 y(n) + 3 x(n)

Sol. Applicando la Z-trasformata alla precedente equazione alle differenze si ottiene:

z Y (z) − 2 z = 0.5 Y (z) + 3 X(z) Esprimendo Y (z) in funzione di X(z) si ottiene:

Y (z) = 2z

z − 0.5 + 3

z − 0.5X(z) = 2z

z − 0.5 + 3 z (z − 0.5)(z − 1) Scomponendo in fratti semplici si ottiene:

Y (z) = 2z

z − 0.5 + 3 z

2

z − 1 − 2 z − 0.5

= 2z

z − 0.5 +

6 z

z − 1 − 6 z z − 0.5

= 6 z

z − 1 − 4 z z − 0.5 Antitrasformando si ottiene:

y(n) = 6 − 4 (0.5)ⁿ

f) Utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri, discretizzare la seguente rete correttrice:

D(s) = M (s)

E(s) = (s + 1) (s + 3)²

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1 e si imponga l’uguaglianza dei guadagni alle basse frequenze.

Sol. Utilizzando il metodo della corrispondenza poli-zeri si ottiene:

D(z) = K (1 + z⁻¹)(1 − e^−Tz⁻¹)

(1 − e^−3Tz⁻¹)² = K 1 + (1 − e^−T)z⁻¹+ e^−Tz⁻² 1 − 2e^−3Tz⁻¹− e^−6Tz⁻²

Il valore di K si determina imponendo l’uguaglianza dei guadagni alle basse frequenze:

lims→0D(s) = lim

z→1D(z) → 1

9 = K 2(1 − e^−T)

(1 − e^−3T)² → K = (1 − e^−3T)²

18(1 − e^−T) = 0.0392 Sostituendo in D(z) si ottiene:

D(z) = M (z)

E(z) = 0.03921 + 0.0952z⁻¹− 0.9048z⁻²

1 − 1.4816z⁻¹+ 0.5488z⁻² = 0.0392 + 0.0037z⁻¹− 0.0355z⁻² 1 − 1.4816z⁻¹+ 0.5488z⁻² La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

mk = 1.4816 m_k−1− 0.5488 mk−2+ 0.0392 ek+ 0.0037 e_k−1− 0.0355 ek−2.

(10)

Controlli Automatici B

11 Giugno 2018 - Domande Teoriche

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Nr. Mat.

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Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono corrette.

1. Scrivere la funzione di trasferimento discreta G(z) = _X^Y^(z)_(z) corrispondente alla seguente equazione alle differenze:

yk+2+ 3 yk+1+ 5 yk+ 2 y_k−1 = 4 xk+1+ 6 xk → G(z) = 4 z + 6 z²+ 3 z + 5 + 2 z⁻¹ 2. Calcolare il valore iniziale y0 = lim

k→0y(k) e il valore finale y_∞ = lim

k→∞y(k) del segnale y(k) corrispondente alla seguente funzione Y (z):

Y (z) = z (3 + z)

(1 − z)(2 z + 1) → y0 = −1

2, y_∞ = −4 3

3. Posto T = 0.2, calcolare il tempo di assestamento Ta della risposta impulsiva g(k) del sistema discreto G(z) = _z−0.5^z :

Ta= 3

1

T| ln(0.5)| = 0.6

| ln(0.5)| = 0.8656 4. Calcolare l’errore a regime e(∞) per i seguenti sistemi retroazionati:

- -3(s + 1) (s+2)²

- 6

r(t) = 2 e(t) y(t)

e(∞) = 2

1 + ³₄ = 8

7 = 1.143

- - 5

s(s + 2) ^-

6

r(t) = 4 t e(t) y(t)

e(∞) = 8 5 = 1.6

- - s + 2 s²(s+1) ^-

6

r(t) = 3 t² e(t) y(t)

e(∞) = 6 2 = 3 5. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) tende a zero “pi`u lentamente”:

G(z) = _z(z+0.6)¹ G(z) = z(3z−1)¹ N G(z) = _z(z+0.8)¹ G(z) = z(z−0.4)¹

6. Si consideri il sistema retroazionato riportato di fianco.

Scrivere il legame che lega la variazione relativa del sistema G(s) alla variazione relativa del sistema retroazionato G0(s) quando varia un parametro α interno alla funzione di trasferimento G(s):

∆G₀(s)

G0(s) = 1

1 + G(s)H(s)

∆G(s) G(s)

- - G(s) ^-

H(s) 6

R(s) E(s) C(s)

7. Sia F (X) = ^{3 e}^−j

Xπ4

√1+X² la funzione descrittiva del un blocco non lineare N.L. sollecitato in ingresso dal segnale periodico x(t) = 2 sin(5 t). Calcolare la fondamentale y1(t) del segnale periodico y(t) che si ha all’uscita del blocco non lineare:

-

N.L.

F (X) = 3 e^−j^Xπ⁴

√1 + X²

x(t) = 2 sin(5 t) y(t) ≃ y- ¹(t) = 6

√5 sin

5 t −π 2

(11)

8. Calcolare la Z-trasformata X(z) dei seguenti segnali tempo continui x(t) quando t = k T : x(t) = 3^−2t → X(z) = z

(z − 3^−2T) x(t) = 4 t → X(z) = 4 T z (z − 1)²

9. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = 2:

y(n + 1) − 0.7 y(n) = 0 → Y (z) = 2 z

(z − 0.7) → y(n) = 2 (0.7)ⁿ. 10. In base al legame teorico a tra il piano s e il piano z, tracciare qualitativamente sul piano z le

posizioni dei poli 1, 2, 3, . . . , 6 che sono stati evidenziati con delle crocette sul piano s:

- 6

σ jω piano s

× × ×

j^ω₂^s

1 2 3

4 5 6

- 6

σ jω piano z

× × ×

×

×6 5 4 1 2 3

11. Sia X(z) = Z[x(k)]. Enunciare il teorema della traslazione “in anticipo” nel tempo:

Z[x(t + nT )] = zⁿX(z) − Pⁿ⁻¹k=0x(kT )z^−k

12. Tracciare i diagrammi di bode (moduli e fasi) di una rete ritardatrice C(s) = ^(1+τ_(1+τ¹^s)

2s), (τ1 < τ2):

-

| · |6

ω

1 τ2

1

τ1 -

ϕ6

ω

√τ11τ2

13. La trasformazione bilineare `e definita come segue:

s = T² 1+z⁻¹

1−z⁻¹ N s = _T²^z−1_z+1 s = _T²^z+1_z−1 N s = _T²^1−z_1+z⁻¹−1

14. Sia dato il sistema retroazionato riportato qui sotto. Calcolare:

- -

F (X)

2

−2 -

G(s) e^−3s

2 s

- 6

r e x y

a) il margine di stabilit´a K^∗ del sistema G(s):

K^∗ = 2 π 2 t0

= π

3 = 1.0472

b) L’intersezione σ0 della funzione G(jω) con il semiasse reale negativo:

σ0 = − 1

K^∗ = −3

π = −0.9549

c) la Funzione descrittiva F (X) del rel´e ideale:

F (X) = 8 π X

d) la pulsazione ω^∗ dell’oscillazione autosostenuta presente all’interno del sistema retroazionato:

ω^∗ = π 2 t0

= π

6 = 0.5236

e) l’ampiezza X^∗dell’oscillazione autosostenuta presente all’interno del sistema retroaziona- to:

F (X^∗) = K^∗ → X^∗ = 24

π² = 2.4317