Serie numeriche e serie di potenze
Sommare un numero finito di numeri reali `e senza dubbio un’operazione che non pu`o riservare molte sorprese. Cosa succede per`o se ne sommiamo un numero infini- to? Prima di dare delle definizioni precise facciamo qualche piccolo esperimento. Se sommiamo i numeri interi positivi otteniamo
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · → +∞.
Se modifichiamo questa somma nel seguente modo 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · ·
la risposta `e meno banale. Per trovarla abbiamo bisogno di osservare il comportamento delle somme parziali
1 = 1
−1 = 1 − 2 2 = 1 − 2 + 3
−2 = 1 − 2 + 3 − 4 3 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5
−3 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 ... ...
Notiamo che una parte delle somme cresce verso +∞ mentre l’altra descresce verso −∞
e dunque il loro comportamento complessivo `e indeterminato. Se invece sommiamo infiniti zeri
0 + 0 + 0 + · · · → 0.
In quest’ultimo caso il risultato dell’“operazione” di somma infinita `e un numero finito.
C’`e un esempio pi`u interessante? `E chiaro che se vogliamo avere la speranza di trovarne una dobbiamo almeno fare in modo che il termine che via via viene aggiunto tenda a zero. Consideriamo per esempio la somma delle potenze positive di 12:
1 2 +1
4 +1 8 + 1
16 + · · · .
Esiste il limite di questa somma e se esiste siamo in grado di calcolarlo? Nel corso di questo capitolo ci occuperemo proprio di questo genere di problemi. Intanto possiamo dare una risposta in questo caso particolare utilizzando un ragionamento geometrico.
In un quadrato di lato 1 vengono via via “ritagliati” dei triangoli rettangoli le cui aree corrispondono proprio ai termini della somma che stiamo esaminando.
1
2 1
4 1 8 1 16
Questi infiniti triangoli esauriscono la superficie del quadrato e dunque la somma infinita delle loro aree `e uguale all’area totale del quadrato ossia 1:
1 2 +1
4 +1 8 + 1
16 + · · · → 1.
1. Definizioni e prime propriet`a
Precisiamo meglio il linguaggio che intendiamo usare. Data una successione di numeri reali {an} con n = 0, 1, 2, . . . , la loro somma fino al termine N-esimo `e detta somma parziale di ordine N
sN = a0+ a1+ a2+ · · · + aN.
Per evitare eventuali fraintendimenti (+ · · · +?) e rendere la scrittura pi`u comoda e sintetica, una somma parziale si pu`o scrivere anche in questo modo
sN = XN n=0
an
dove P
`e il simbolo di sommatoria e rappresenta un “ciclo” di somme di termini an
con l’indice intero n che varia dal numero scritto in basso, 0, al numero scritto in alto, N. La successione delle somme parziali {sN} con n = 0, 1, 2, . . . costituisce la serie dei termini an. Determinare il carattere della serie significa studiare il limite della successione delle somme parziali:
N →∞lim sN = X∞ n=0
an.
In particolare avremo questi tre casi:
Carattere di una serie X∞
n=0
an=
L ∈ R la serie converge con somma L +∞ o − ∞ la serie diverge
non esiste la serie `e indeterminata
Nel caso si debbano fare operazioni tra serie, dato che sono dei limiti, dovremo fare particolare attenzione. Per esempio la seguente serie `e evidentemente divergente a
+∞: ∞
X
n=0
2n = +∞.
Ora proviamo a fare la seguente operazione 2·
X∞ n=0
2n− X∞ n=0
2n = (2 + 4 + 8 + . . . )−(1 + 2 + 4 + · · · ) = −1+2−2+4−4+· · · = −1.
Quindi sembra di poter concludere che X∞
n=0
2n = (2 − 1) · X∞ n=0
2n= 2 · X∞ n=0
2n− X∞ n=0
2n= −1.
Questo “imbarazzante” risultato (la somma di infiniti numeri positivi `e negativa!) `e dovuto al fatto che non ci siamo accorti della presenza di una forma indeterminata (+∞ − ∞). Le combinazioni lineari di serie si possono per`o fare quando le serie in gioco sono convergenti:
Linearit`a Siano
X∞ n=0
an e X∞ n=0
bn due serie convergenti. Allora converge anche
la serie X∞ n=0
(α an+ β bn) dove α, β ∈ R. Inoltre
X∞ n=0
(α an+ β bn) = α · X∞ n=0
an+ β · X∞ n=0
bn.
Concludiamo questa sezione con qualche utile osservazione sul carattere di una serie.
Intanto `e piuttosto semplice convincersi che la convergenza di una serie dipende solo dalla “coda” dei termini che sommiamo:
X∞ n=0
an converge se e solo se X∞ n=n0
an converge,
dove n0 `e un qualunque numero intero positivo. Quindi al fine di determinare il carattere di una serie si possono trascurare i “primi” termini (anche se questo potrebbe cambiare il valore della somma).
Un primo semplice criterio per determinare se una serie non converge `e quello di verificare se il termine generico della serie non `e infinitesimo. Infatti, se la serie converge, la successione delle somme parziali sN converge ad un limite finito S e
aN = sN − sN −1→ S − S = 0.
Quindi possiamo dire che
Criterio di non convergenza Se an 6→ 0 allora la serie
X∞ n=0
an non `e convergente.
Vedremo nelle prossime sezioni che questa condizione `e solo necessaria e non suffi- ciente ossia esistono esempi di serie che non convergono ma il cui termine generico `e infinitesimo.
2. La serie geometrica
La serie geometrica di ragione x ∈ R `e la serie delle potenze intere di x:
X∞ n=0
xn.
Per determinare il carattere di questo particolare tipo di serie dobbiamo studiarne le somme parziali
sN = 1 + x + · · · + xN = XN n=0
xn.
Se x = 1 allora sN = 1 + 1 + · · · + 1 = N + 1 e quindi per N → ∞ la serie diverge a +∞. Se x 6= 1, notiamo che se moltiplichiamo sN per x − 1 otteniamo
(x − 1) · (1 + x + · · · + xN) = (x + · · · + xN + xN +1) − (1 + x + · · · + xN) e semplificando i termini opposti si ha che
(x − 1) · (1 + x + · · · + xN) = xN +1− 1.
Quindi se x 6= 1
sN = XN n=0
xn= xN +1− 1 x − 1 .
A questo punto il calcolo del limite per N → ∞ diventa pi`u semplice perch´e basta studiare il comportamento del termine xN +1. Dato che
N →∞lim xN +1=
+∞ se x > 1 0 se |x| < 1 non esiste se x ≤ −1
la risposta completa al problema della determinazione del carattere di una serie geo- metrica `e la seguente
Serie geometrica
X∞ n=0
xn =
+∞ se x ≥ 1
1
1 − x se |x| < 1 non esiste se x ≤ −1 Si noti che se |x| < 1 e l’indice iniziale `e n0 ≥ 0 allora
X∞ n=n0
xn= xn0 X∞ n=n0
xn−n0 = xn0 X∞ k=0
xk= xn0 1 − x
dove nel penultimo passaggio abbiamo sostituito l’indice della sommatoria ponendo k = n − n0.
⋄
Esempio 2.1 La serie di cui abbiamo parlato nell’introduzione `e proprio la serie geometrica di ragione x = 12 con la sola differenza che in questo caso la somma parte dall’indice 1 e non da 0:
1 2 +1
4 +1 8+ 1
16+ · · · = X∞ n=1
1 2
n
.
Dato che |12| < 1 la serie converge e per determinarne la somma basta osservare che X∞
n=1
1 2
n
= 1 2
X∞ n=0
1 2
n
=
1 2
1 − 12 = 1.
e ritroviamo cos`ı il risultato che avevamo prima dedotto con un ragionamento geome- trico.
⋄
Esempio 2.2 A quale numero razionale corrisponde 0.1¯6 = 0.16666 · · · ? 0.16 = 1
10+ 6 102 + 6
103 + 6
104 + · · ·
= 1
10+ 6 102 ·
1 + 1
10+ 1 102 · · ·
= 1
10+ 6 102 ·
X∞ n=0
1 10
n
.
Dato che |101| < 1 allora
X∞ n=0
1 10
n
= 1
1 −101
= 10 9 .
Quindi
0.16 = 1 10 + 6
102 · 10 9 = 1
6.
⋄ Esempio 2.3 Calcolare
X∞ n=2
(−1)n 32n+1.
Cerchiamo di ricondurre questa serie ad una serie geometrica notando che 32n+1 = 3·9n: X∞
n=2
(−1)n 32n+1 =
X∞ n=2
1 3·
−1 9
n
.
Il numero 13 moltiplica ogni termine della serie e dunque pu`o essere raccolto fuori dal segno di sommatoria:
X∞ n=2
(−1)n 32n+1 = 1
3· X∞ n=2
−1 9
n
.
A questo punto la serie da determinare `e la serie geometrica di ragione −19 (il cui modulo `e minore di 1) con l’indice n che parte da 2:
X∞ n=2
(−1)n 32n+1 = 1
3 ·
−1 9
2
· 1
1 + 19 = 1 270.
⋄
Esempio 2.4 Consideriamo un segmento di lunghezza 1 (passo 0) e “incolliamo” al centro un triangolo equilatero di lato 13 (passo 1). Al passo successivo aggiungiamo al centro di ciascun lato (ora sono 4) un triangolo equilatero di lato 19 (passo 2).
passo 0 passo 1 passo 2
Continuando indefinitamente questo procedimento generiamo una figura geometrica dal bordo sempre pi`u frastagliato.
Calcoliamo l’area di questa figura. Denotiamo con AN l’area della figura al passo N cos`ı
A0 = 0 , A1 =
√3
36 , A2 =
√3 36 +4
9 ·
√3 36.
Inoltre ad ogni passo successivo il numero di triangoli aggiunti aumenta, rispetto al passo precedente, di un fattore 4 mentre la loro area diminuisce di un fattore 19. Ne segue che
AN =
√3 36 + 4
9·
√3
36 + · · · +
4 9
N −1
·
√3 36 =
√3 36 ·
N −1X
n=0
4 9
n
e al limite
A∞=
√3 36 · 1
1 −49
=
√3 20.
Provate a verificare che il limite del perimetro della figura tende invece a +∞.
3. Serie a termini non negativi
Se i termini an di una serie sono maggiori o uguali a zero allora lo studio del carat- tere della serie risulta essere in qualche modo pi´u semplice. Notiamo infatti che la successione delle somme parziali in questo caso `e crescente in quanto
sN +1= sN + aN +1 ≥ sN
e dunque, quando calcoliamo la somma della serie passando al limite, i possibili risultati sono solo due: la serie converge ad un numero non negativo oppure la serie diverge a +∞. La semplice osservazione che le serie a termini non negativi non possono essere indeterminate ci permette di enunciare il primo criterio di convergenza.
Criterio del confronto Siano
X∞ n=0
an e X∞
n=0
bn due serie tali che
0 ≤ an≤ bn per n ≥ n0. Allora
(1) Se X∞ n=0
bn converge allora anche X∞ n=0
an converge.
(2) Se X∞ n=0
an = +∞ allora anche X∞ n=0
bn= +∞.
Cerchiamo di applicare questo criterio per dimostrare che la serie armonica diverge X∞
n=1
1
n = +∞ .
Per farlo scriviamo i primi termini della somma e raggruppiamoli opportunamente. Poi
“costruiamo” una nuova serie che minori la serie armonica sostituendo ogni termine di ciascun gruppo con un numero pi`u piccolo:
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 + + +
+ · · · = X∞ n=1
1 n
<
+ · · · = +∞
1 4 +1
| {z }4
= 1 2
1 8+ 1
8+ 1 8+ 1
| {z 8}
= 1 2
1 16+ 1
16 + · · · + 1
| {z 16}
= 1 2 1 +
1 2+ 1
3
+
1 4 +1
5 +1 6 +1
7
+
1 8 + 1
9 + · · · + 1 15
Quindi la serie minorante diverge e per il punto (2) del criterio del confronto anche la serie armonica diverge (anche se il suo termine generico n1 `e infinitesimo!).
Un altro ragionamento per confronto si pu`o fare per determinare il carattere della serie armonica generalizzata
X∞ n=0
1 nα
dove α ∈ R. L’eventuale convergenza dipende dall’esponente: α = 1 `e il valore critico oltre il quale la serie converge:
Serie armonica generalizzata X∞
n=1
1 nα =
converge se α > 1
+∞ se α ≤ 1
Per verificare la divergenza nel caso α < 1 basta semplicemente osservare che per n ≥ 1, nα ≤ n e quindi
1 n ≤ 1
nα.
Dunque, per il criterio del confronto, la divergenza di questa serie deriva dalla diver- genza della serie armonica. Per provare la convergenza nel caso α > 1 si pu`o ancora ricorrere ancora al criterio del confronto, imitando il ragionamento usato per la serie armonica. Vediamo per esempio cosa succede per α = 2:
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 + + +
+ · · · = X∞ n=1
1 n2
>
+ · · · = X∞ n=0
1 2n = 2 1
22 + 1 22
| {z }
= 1 2
1 42 + 1
42 + 1 42 + 1
42
| {z }
= 1 4
1 82 + 1
82 + · · · + 1 82
| {z }
= 1 8 1 +
1 22 + 1
32
+
1 42 + 1
52 + 1 62 + 1
72
+
1 82 + 1
92 + · · · + 1 152
Quindi non solo questa serie converge, ma la sua somma `e minore a 2. Un problema ben pi`u complicato `e stabilire la somma esatta della serie di cui enunciamo il risultato senza dimostrazione
X∞ n=1
1 n2 = π2
6 .
Per quanto riguarda il caso generale ci limitiamo a dare solo un’idea della dimostrazione attraverso un’“immagine” geometrica.
1 + 1
2α−1
+ 1
4α−1
+ 1
8α−1+ · · ·= 1 1 − 1/2α−1 1
1
2α = 1 2α−1 · 1
2 1
3α = 1 3α−1 · 1
3
1 4α
1 5α
1 6α
1 7α
I termini della serie armonica generalizzata corrispondono alle aree dei rettangoli om- breggiati. Tali rettangoli vengono incasellati a gruppi di potenze di due all’interno di un rettangolo di altezza 1 e base uguale alla somma della serie geometrica di ragione 1/2α−1. Se α > 1 allora |1/2α−1| < 1 e la serie geometrica converge. Possiamo cos`ı concludere che l’area del rettangolo “contenitore” `e finita e dunque `e finita anche la somma infinita dei rettangoli contenuti.
Un risultato di convergenza pi`u generale del precedente che ci capiter`a di utilizzare
`e il seguente:
Serie armonica generalizzata II
X∞ n=2
1
nα(log n)β =
converge se α > 1 oppure se α = 1 e β > 1 +∞ se α < 1 oppure se α = 1 e β ≤ 1
L’analisi che abbiamo compiuto per queste serie `e stata piuttosto faticosa, e per continuare con esempi pi`u complicati abbiamo bisogno di altri criteri di convergenza che siano pi`u facili da usare. Cominciamo con il criterio del confronto asintotico.
Criterio del confronto asintotico Siano
X∞ n=0
an e X∞ n=0
bn due serie tali che an ≥ 0, bn> 0 per n ≥ n0 e
n→∞lim an
bn = L ∈ [0, +∞]
Allora
(1) Se L = 0 e X∞ n=0
bn converge allora anche X∞ n=0
an converge.
(2) Se L = +∞ e X∞ n=0
bn= +∞ allora anche X∞ n=0
an = +∞.
(3) Se 0 < L < +∞ allora X∞ n=0
bn converge se e solo se X∞ n=0
an converge.
Nel caso (3) le due serie si dicono asintoticamente equivalenti.
Vediamone subito qualche applicazione.
⋄ Esempio 3.1 Determinare il carattere della serie
X∞ n=1
7
rn6+ n3 n15+ 2.
Dopo aver verificato che la serie `e a termini non negativi proviamo a fare un’analisi asintotica del termine generico ossia a determinare il suo ordine di infinitesimo
7
rn6+ n3 n15+ 2 ∼ 7
rn6 n15 = 7
r 1
n9 = 1 n9/7.
Quindi la serie in esame `e asintoticamente equivalente alla serie armonica con α = 97 >
1 che converge. Dunque per il criterio del confronto asintotico anche la serie proposta converge.
⋄
Esempio 3.2 Determinare il carattere della serie X∞
n=1
n3·
1 − cos
1 n
2
.
La serie `e a termini non negativi. Ora facciamo l’analisi asintotica del termine generico:
ricordando che 1 − cos x ∼ 12x2 per x che tende a 0, si ha che
n3·
1 − cos
1 n
2
∼ n3·
1 2 n2
2
∼ 1 4 n.
Quindi la serie in esame `e asintoticamente equivalente alla serie armonica con α = 1 che diverge. Dunque per il criterio del confronto asintotico anche la serie proposta diverge.
⋄
Esempio 3.3 Determinare il carattere della serie al variare del parametro reale a X∞
n=1
log(n + 3)! − log n!
n loga(n + 6)
La serie `e a termini non negativi e l’analisi asintotica del termine generico ci da:
log(n + 3)! − log n!
n loga(n + 6) = log((n + 3)!/n!)
n loga(n + 6) ∼ log(n3)
n(log n)a ∼ 3 n(log n)a−1.
Quindi la serie in esame `e asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con α = 1 e β = a − 1, dunque per il criterio del confronto asintotico la serie proposta converge se e solo se β > 1 ossia se a > 2.
⋄ Esempio 3.4 Calcoliamo la somma della serie
X∞ n=1
1 n(n + 1).
La serie `e senz’altro convergente perch´e equivale asintoticamente alla serie X∞
n=1
1 n2,
ma in questo caso siamo anche in grado di calcolare la somma. Osserviamo che 1
n(n + 1) = 1
n − 1 n + 1
