17. ESERCIZI su SERIE di POTENZE

17. ESERCIZI su SERIE di POTENZE Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia

+ 1

X

n=0

a _n x ⁿ serie di potenze di raggio di convergenza ⇢ = 1. . Allora

A.

X +1 n=0

a n 2 ⁿ non converge.

B.

+ 1

X

n=0

a n converge.

C.

+ 1

X

n=0

na _n x ^{n 1} converge per ogni |x| < 1.

2. Sia

+1 X

n=0

a _n x ⁿ serie di potenze di raggio di convergenza ⇢ = + 1. Allora A. lim

n !+1 a n b ⁿ = 0 per ogni b 2 R B.

+ 1

X

n=0

a _n e ⁿ converge.

C.

+ 1

X

n=0

a _n n! converge.

3. Se la serie di potenze

+ 1

X

n=0

a _n x ⁿ converge per x = 1, allora

A. la serie converge per x = 1, B. a _n ! 0 per n ! +1,

C. la serie ha raggio di convergenza ⇢ 1.

Determinare l’insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze

4.

X +1 n=1

x ⁿ tan _n ¹

2

5.

+ 1

X

n=1

x ⁿ log(1 _n ¹ )

6.

+ 1

X

n=0

sin _e ¹

n

n ³ x ⁿ

7.

X +1 n=0

x ⁿ 3 ⁿ n ² log n

8.

+ 1

X

n=1

x ⁿ

✓

1 1

2 ⁿ⁺¹

◆ 2

ⁿ

9.

+ 1

X

n=1

x ⁿ log(e ⁿ + 1)

117

Determinare la serie di Taylor delle seguenti funzioni 10. f (x) = x sinh x

11. f (x) = ¹ _x arctan x

12. f (x) = x + log(1 x ² ) 13. f (x) = (2 + x)e ^x Determinare l’insieme di convergenza e la somma delle seguenti serie

14.

+ 1

X

n=0

x ²ⁿ 2 ⁿ n!

15.

X +1 n=1

✓ x

|x| + 1

◆ ⁿ

16.

+ 1

X

n=1

nx ²ⁿ⁺¹

17.

X +1 n=0

( 1) ⁿ x ³ⁿ 2 ⁿ (n + 1) Determinare la somma delle seguenti serie

18.

+ 1

X

n=0

1 (2n)!

19.

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ ⇡ ²ⁿ (2n + 1)!

20.

+ 1

X

n=2

( 1) ⁿ n(n 1) 2 ⁿ

21.

+ 1

X

n=1

2 ⁿ n(n + 1)3 ⁿ

Per risolvere i precedenti esercizi sar`a utile ricordare i seguenti sviluppi delle funzioni elementari

• 1

1 x =

+ 1

X

n=0

x ⁿ , |x| < 1 (serie geometrica)

• e ^x =

+ 1

X

n=0

x ⁿ

n! , x 2 R (serie esponenziale)

• sin x =

+1 X

n=0

( 1) ⁿ

(2n + 1)! x ²ⁿ⁺¹ , x 2 R

• cos x =

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ

(2n)! x ²ⁿ , x 2 R

• sinh x =

+1 X

n=0

x ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! , x 2 R

• cosh x =

+ 1

X

n=0

x ²ⁿ

(2n)! , x 2 R

• log(1 + x) = X 1 n=1

( 1) ⁿ⁺¹ x ⁿ

n , |x| < 1

• arctan x =

+1 X

n=0

( 1) ⁿ x ²ⁿ⁺¹

2n + 1 , |x| < 1

• (1 + x) ^↵ = X 1 n=0

↵

n x ⁿ , |x| < 1 (serie binomiale) essendo ^↵ _n = ↵(↵ 1)(↵ 2)...(↵ n+1)

n! 8↵ 2 R

118