SOLUZIONI SERIE DI POTENZE

SOLUZIONI SERIE DI POTENZE

Il Buon Enrico Massoni e il Gaio Nicola Pellicanò March 27, 2013

Calcolare raggio di convergenza e insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze

N.B: Ho saputo da fonti indiscrete che a lezione qualcuno non ha compreso il perchè del non inserimento esplicito del modulo nei criteri del rapporto e della radice. Il motivo è che i coecienti che abbiamo visto sono tutti a termini pos- itivi (dove il modulo è superuo) o a segni alterni (dove basta togliere il (-1)^k per ottenere il modulo).

1.+∞

P

k=1 (−1)^kx^k

k²

CRITERIO DEL RAPPORTO: _(k+1)¹ 2 · k^{2 k↑+∞}−→ 1=⇒ R = 1 x(−1, 1)studiamo gli estremi dell'intervallo

x = 1

+∞

P

k=1 (−1)^k

k² , converge per il criterio di Leibniz x = −1

+∞

P

k=1 (−1)^k

k² · (−1)^k =

+∞

P

k=1 1

k², converge Dunque −1 ≤ x ≤ 1, Idc = [−1, 1]

2.+∞

P

k=1

k²(x − 1)^k

Cambiamento di variabile y = x − 1,^+∞P

k=1

k²y^k CRITERIO DEL RAPPORTO:^(k+1)_k2 ²

k↑+∞−→ 1 =⇒ R = 1

y(−1, 1) y = 1

+∞

P

k=1

k², diverge y = −1

+∞

P

k=1

k²(−1)^k, non converge ( lim

k→+∞(−1)^kk²6= 0)

Dunque −1 < y < 1 =⇒ −1 < x − 1 < 1 =⇒ 0 < x < 2, Idc = (0, 2)

3. +∞

P

k=1 1

k2^k(x − 1)^k

Cambiamento di variabile y = x − 1, P^+∞

k=1 1 k2^ky^k

CRITERIO DELLA RADICE: q^k

1

k2^k = √_k ¹ k√^k

2^k = ¹

2√^k k

k↑+∞−→ ¹₂ =⇒ R = 2

y(−2, 2) y = 2

+∞

P

k=1 1 k2^k2^k=

+∞

P

k=1 1

k, diverge y = −2

+∞

P

k=1 1

k2^k(−2)^k =

+∞

P

k=1 1

k2^k(−1)^k2^k =

+∞

P

k=1 (−1)^k

k , converge

Dunque −2 ≤ y < 2 =⇒ −2 ≤ x − 1 < 2 =⇒ −1 ≤ x < 3, Idc = [−1, 3)

4.+∞

P

k=1 k

2^k+1(x + 2)^k

Cambiamento di variabile y = x + 2,^+∞P k 2^k+1y^k

CRITERIO DEL RAPPORTO₂k+1^k+1+1·^2k_k⁺¹ =^k+1_k ·_2·2^2kk⁺¹+1 = ^k+1_k ·²

k(1+¹

2k) 2^k(2+¹

2k) k↑+∞−→

1 ·¹₂ =⇒ R = 2

y(−2, 2) y = 2

+∞

P

k=1 k

2^k+12^k, Verico condizione necessaria di convergenza: lim

k→+∞

k2^k 2^k+1 = lim

k→+∞

k2^k 2^k(1+¹

2k)= lim

k→+∞k = +∞ 6= 0, diverge y = −2

+∞

P

k=1 k

2^k+12^k(−1)^k, Nenche questa (ovviamente) soddisfa la condizione neces- saria di convergenza: non converge

Dunque −2 < y < 2 =⇒ −2 < x + 2 < 2 =⇒ −4 < x < 0, Idc = (−4, 0)

5.+∞

P

k=0

ln(k + 2)x^k

CRITERIO DEL RAPPORTO: ^ln(k+3)_ln(k+2) = ^ln(k(1+_ln(k(1+^k32⁾⁾

k)) = ln(k)+ln(1+³_k) ln(k)+ln(1+²_k)

k↑+∞−→

ln(k)+ln(1)

ln(k)+ln(1) = 1 =⇒ R = 1

x(−1, 1) x = 1

+∞

P

k=0

ln(k + 2), Condizione necessaria di convergenza lim

k→+∞ln(k + 2) = +∞ 6=

0, diverge x = −1

+∞

P

k=0

(−1)^kln(k+2), Nuovamente violata condizione necessaria di convergenza:

non converge

Dunque −1 < x < 1 =⇒ Idc = (−1, 1)

6.+∞

P

k=1

(−1)^{k 1+k2}_1+k22^k_kx^3k

Cambio di variabili: y = x³,

+∞

P

k=1

(−1)^{k 1+k2}_1+k22^kky^k

CRITERIO DEL RAPPORTO:_1+(k+1)^1+(k+1)222^k+1k+1·^1+k_1+k2²²k^k = ^1+2(k+1)2_1+k2k ^k·_1+2(k+1)^1+k22k22^k =

2(k+1)2^k( ¹

1+2(k+1)2k+1) k2^k( ¹

k2k+1) · ^k

22^k( ¹

k2 2k+1) 2(k+1)²2^k( ¹

2(k+1)2 2k+1)

k↑+∞−→ ^2(k+1)2_k2k ^k· _2(k+1)^k22k22^k = ^2(k+1)_k ·

k² 2(k+1)²

k↑+∞−→ 2 ·¹₂ =⇒ R = 1

y(−1, 1) y = 1

+∞

P

k=1

(−1)^{k 1+k2}_1+k22^kk, Serie a segne alterni, provo Criterio di Leibniz come al solito

lim

k→+∞

1+k2^k

1+k²2^k = 0, ok

Dimostriamo la non-crescenza

bk+1 ≤ bk =⇒ _1+2(k+1)^1+2(k+1)2₂₂^k_k ≤ _1+k^1+k2₂₂^k_k =⇒ (1 + 2k2^k+ 2 · 2^k)(1 + k²2^k) ≤ (1 + k2^k)(1 + 2k²2^k+ 4k2^k+ 2 · 2^k) =⇒

1 + k²2^k+ 2k2^k+ 2k³2^2k+ 2 · 2^k+ 2k²2^2k ≤ 1 + 2k²2^k+ 4k2^k+ 2 · 2^k+ k2^k+ 2k³2^2k+ 4k²2^2k+ 2k2^2k

2k²2^2k≤ 4k²2^2k+ 2k2^2k

−k²2^k− 3k2^k− 2k²2^2k− 2k2^2k≤ 0, sono tutti termini negativi dunque sem- pre vero : la serie converge!!

y = −1

+∞

P

k=1

(−1)^{k 1+k2}_1+k22^k_k(−1)^k =

+∞

P

k=1 1+k2^k 1+k²2^k,

Criterio del confronto asintotico:_1+k^1+k222^kk '_k^k222^kk = ¹_k,diverge

Dunque −1 < y ≤ 1 =⇒ −1 < x³≤ 1 =⇒ −1 < x ≤ 1, Idc = (−1, 1]

N.B. Se nel fare il Criterio di Leibniz avete insultato i vostri benevoli tutori avete fatto bene perchè la stessa cosa abbiamo fatto noi quando l'abbiamo risolta col creatore fuori di biglia di questo esercizio!

N.B2. All'esame cose così lunghe non capitano eh! ;)

7.+∞

P

k=0 1

(k²+1)2^kln^k(x)

Cambio di variabile: y = ln(x),^+∞P

k=0 1 (k²+1)2^ky^k

CRITERIO DEL RAPPORTO:_((k+1)2¹+1)2^k+1·(k²+1)2^k =_((k+1)^(k2+1)2+1)·_2·2^2kk

k↑+∞−→

1

2 =⇒ R = 2

y(−2, 2) y = 2

+∞

P

k=0 1

(k²+1)2^k2^k =

+∞

P

k=0 1

(k²+1), converge (Convergenza asintotica)

y = −2

+∞

P

k=0 1

(k²+1)2^k2^k(−1)^k =

+∞

P

k=0 (−1)^k

(k²+1), converge per Leibniz

Dunque −2 ≤ y ≤ 2 =⇒ −2 ≤ ln(x) ≤ 2 =⇒ e⁻²≤ x ≤ e², Idc = [e⁻², e²]

8.^+∞P

k=0

sin^k(x)

Cambio di variabile: y = sin(x),^+∞P

k=0

y^k

CRITERIO DEL RAPPORTO: ¹₁ = 1 =⇒ R = 1(IL MASSIMO!)

y(−1, 1) y = 1

+∞

P

k=0

1, diverge y = −1

+∞

P

k=0

(−1)^k,indeterminata

Dunque −1 < y < 1 =⇒ −1 < sin(x) < 1 =⇒ xR \ x = k^π₂+ kπ, kZ

SERIE NUMERICHE A SEGNI ALTERNI 1. +∞

P

k=0

(−1)^k_(k+1)5¹ k studio della convergenza e calcolo della stima della somma della serie con errore minore di 1/100

lim

k→+∞

1

(k+1)5^k = 0,ok

Verica non-crescenza

1

(k+2)5^k+1 <_(k+1)5¹ k =⇒ (k +1)5^k < 5(k +2)5^k=⇒ k +1 < 5k +10 =⇒ 4k > −9, per ogni k ≥ 0 =⇒ la serie converge

Errore minore di 1/100: pongo |s − sk| ≤ b_k+1≤ ₁₀₀¹

1

(k+2)5^k+1 ≤ ₁₀₀¹ =⇒ 5(k + 2)5^k ≥ 100 =⇒ k ≥ 2 (farlo per tentantivi non è mai un male)

Scelgo k=2

s2= 1 +₁₀¹ +₇₅¹ = ¹⁶⁷₁₅₀ = 1, 11¯3

2.^+∞P

k=1

(−1)^kcos(¹_k)solo studio della convergenza ( o non convergenza)

lim

k→+∞cos ¹_k
= cos(0) = 1, NON POSSO USARE LEIBNIZ Se provo con la convergenza assoluta diverge (vericatelo!)

In questi casi però quando non è soddisfatta la PRIMA condizione di Leibniz posso dire, tenendo conto della seguente proprietà:

k→+∞lim ak= 0 ⇐⇒ lim

k→+∞|ak| = 0

che in parole povere dice che se bknon va a 0 all'innito è impossibile che lo faccia (-1)^k bk!

Dunque posso concludere semplicemente che lim

k→+∞(−1)^kcos(¹_k) 6= 0 =⇒Non soddisfatta la condizione necessaria di con- vergenza. La serie non converge. (Non possiamo dire nulla circa la sua diver- genza o indeterminazione).