CAPITOLO 1
Campi elettromagnetici nel vuoto e nella materia
Equazioni di Maxwell Riepilogo
∫ E ! ! ⋅ s d = 0
0 int
ε d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
= 0 Σ
∫ ⋅
Σ
!
! d B
i s
d
B µ 0
∫ ! ⋅ ! =
Condizioni stazionarie
0 int
ε d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
= 0 Σ
∫ ⋅
Σ
!
! d B
Condizioni non stazionarie
Σ
⋅
−
=
⋅ ∫
∫ Σ
!
! !
! B d
s t d
E δ
δ
) ( 0
0 dt
i d s
d
B Φ E
+
=
∫ ! ⋅ ! µ ε
Flusso del campo di una carica puntiforme
r o
r u
E q ˆ
4 1 πε 2
! =
Σ
= Σ
⋅
=
Φ E d Ed
d E ! !
2 2
0 2
0
1 4 4
1
4 r
r d q
r Ed q
E π
πε
πε Σ =
= Σ
=
Φ ∫ ∫
I dielettrici La legge di Gauss
ε 0
q
E = Φ
Il flusso totale non dipende dalla superficie
Se la carica è esterna, il flusso totale è nullo
Σ ! d
Σ
Σ
1Σ
Definizione di angolo solido sotto cui è vista una superficie d Σ:
2 2
cos
r d r
d d Σ ⊥
Σ =
=
Ω θ
Ω Σ =
= Φ
Σ
⋅
= Σ
⋅
= Φ
r qd d qd
d n r u
d q E d
E
r E
0 2
0
2 0
4 1 cos
4 1
ˆ 4 ˆ
1
πε ϑ
πε
πε
!
!
Ω
= Φ
=
Φ ( E ) ∫ d E 4 πε q ∫ d
I dielettrici La legge di Gauss
d Σ
cos θ d Σ
E ! nˆ
r
q
Se la carica è interna ad Σ
0 0
0
4 4 ) 4
( π ε
πε πε
q d q
E = q Ω = =
Φ ∫
Σ
Ω
= Σ
⋅
=
Φ q d
d E d
0 1
1
1 4πε
!
!
Ω
−
= Σ
⋅
=
Φ q d
d E
d
2!
2!
20 )
( = ⋅ Σ =
Φ E ∫ E ! d !
steradianti Se la carica è esterna ad Σ, ogni cono elementare intercetta due superfici d Σ 1 , d Σ 2
I dielettrici Legge di Gauss
Σ ! 1
d Σ ! 2
d
Σ
1Σ
2Σ
3Σ
Teorema di GAUSS: Il flusso del campo E attraverso una superficie qualsiasi chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche contenute entro la superficie, comunque siano distribuite, divisa per ε 0
ε 0
d q
E ⋅ Σ =
∫ ! ! q è interna alla superficie chiusa
considerata
Se il campo è prodotto da più cariche puntiformi, per il principio di sovrapposizione :
∑
∑
∑ ⋅ Σ = ⋅ Σ = Φ
= Φ
i
i i
i i
i
E E d E d d
d ( ! ) ! ( ! ! )
I dielettrici Legge di Gauss
∑
∑∫ ∑
∫∑ Φ = Φ = Φ =
= Φ
i i i
i i S
i S i
i
E d d q
0
1 ε
Σ
I dielettrici Il potenziale elettrostatico
r πε Q q
V W 1
4 Potenziale
0
=
=
> V 0 < V 0
Lavoro per unità di carica di prova
∫
∞
∞
→ = ⋅
=
A
r r E d s
q
V W ! !
0
se solo valida
e Espression
∞
= U
∫ ⋅
−
=
−
=
B
A A
B V E d s
V
ΔV ! !
generale
In = − = − ∫ ⋅
B
A A
B
U F d s
U
ΔU ! !
I dielettrici Il potenziale elettrostatico
= 0
⋅
= ∫
→ F d s
W A A ! !
Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo
= 0
⋅
=
Δ V A → A ∫ E ! d s ! Il campo elettrostatico è conservativo
Circuitazione
Materiali magnetici La legge di Gauss per il campo magnetico
Σ
⋅
=
Φ ! !
d B
d B ∫
Σ
Σ
⋅
=
Φ ! !
d
B B
∫ ⋅ Σ =
= ! ! 0 d
φ B
Materiali magnetici La legge di Ampere
π θ µ π
µ i d
r ds s i
d
B 2 2
0
0 =
=
⋅ !
!
π θ θ µ
π µ
2 2
0
0 i
i d s
d B
D
C D
C
=
=
⋅ ∫
∫ ! !
Filo rettilineo indefinito
Il risultato dipende solo dall’angolo
Materiali magnetici La legge di Ampere
Per una linea chiusa che contiene la corrente
i i d
s d
B 0 0
2 θ µ
π
µ =
=
⋅
=
Γ ∫ ! ! ∫
Per una linea chiusa che non contiene la corrente
= 0
⋅
=
Γ ∫ B ! d s !
Materiali magnetici La legge di Ampere
Per una linea chiusa che contiene più correnti
) ( 1 2
0 i i
s d
B ⋅ = −
=
Γ ∫ ! ! µ
e concatenat
i s
d
B µ 0
∫ ⋅ =
=
Γ ! !
Materiali magnetici La legge di Ampere
∫
∫ s B ! ⋅ d s ! = µ 0 i = µ 0 Σ J ! ⋅ d Σ !
Σ è una qualunque superficie che si appoggia sulla linea s
Utilizzando il vettore “densità di corrente”
Materiali magnetici La legge di Ampere
i s
d
B = B ⋅ = µ 0
Γ ∫ ! !
I l c a m p o m a g n e t i c o n o n è conservativo
= 0
⋅
=
Γ E ∫ E ! d s !
Il campo elettrostatico è conservativo
Linee aperte Linee chiuse
Equazioni di Maxwell Riepilogo
∫ E ! ! ⋅ s d = 0
0 int
ε d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
= 0 Σ
∫ ⋅
Σ
!
! d B
i s
d
B µ
∫ ! ⋅ ! =
Condizioni stazionarie
0 int
ε d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
= 0 Σ
∫ ⋅
Σ
!
! d B
Condizioni non stazionarie
Σ
⋅
−
=
⋅ ∫
∫ Σ
!
! !
! B d
dt s d
d E
) ( 0
0
i d s
d
B Φ E
+
=
∫ ! ⋅ ! µ ε
Campi variabili nel tempo Legge di Faraday Lentz
dt B d
i
) Φ (
−
= ε
Forza elettromotrice indotta
∫ Σ
Σ
⋅
=
Φ ! !
d B B)
(
i i d s
E ε
∫ ! ⋅ ! =
Campo elettrico indotto non conservativo
dt B d
R
i R i 1 Φ ( )
−
=
= ε
Σ
⋅
− Φ =
−
=
⋅ ∫
∫ E ! i d s ! d dt ( B ) dt d B ! d !
Campi variabili nel tempo Legge di Faraday Lentz
dt B d
i
) Φ (
−
= ε
La legge di Lentz
L’effetto della f.e.m. indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che l’ha generata.
) 0 ( >
Φ dt
B d
< 0 ε i
) 0 ( <
Φ dt
B d
> 0 ε i
[ ]
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= sec
Weber
Volt
Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell Ricordiamo la Legge di Ampere
= 0 Σ
∫ J ! ⋅ d !
∫
∫ s B ! ⋅ d s ! = µ 0 i = µ 0 Σ J ! ⋅ d Σ !
Σ è una qualunque superficie che si appoggia sulla linea s
Su una superficie chiusa
Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell
Consideriamo il seguente circuito in condizioni non stazionarie
i d
J ⋅ Σ =
∫ Σ 1
0
!
µ ! 0
0 ∫ Σ J 2 ! ⋅ d Σ ! = µ
≠ 0 Σ
∫ J ! ⋅ d !
Quindi sulla superficie chiusa
Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell
dt d dq
J ⋅ Σ = −
∫ Σ
!
!
ε 0
d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
Su una superficie chiusa
∫
∫ Σ Σ
Σ
⋅
−
= Σ
⋅
= ! ! ! !
d J
dt d E d dt
dq
ε 0
0 ⎟⎟ ⋅ Σ = 0
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
∫ Σ
! !
! d
dt E J ε d
Equazione di continuità Legge di Gauss
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ +
= dt
E J d
J Tot
! !
!
ε 0
dt E J s d
! !
ε 0
= Campi variabili nel tempo Legge di Ampere Maxwell
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
= dt
E J d
J Tot
! !
!
ε 0
Densità di corrente di spostamento
dt d d
dt d dE
J
i s s Φ E
= Σ
⋅
= Σ
⋅
= ∫ ∫
Σ Σ
0
0 ε
ε !
!
!
Densità di corrente stazionaria
) (
)
( 0 0
0 dt
i d i
i s
d
B s E
s
+ Φ
= +
=
∫ ! ⋅ ! µ µ ε
Nuova formulazione della legge di Ampere Corrente di spostamento
⎞
⎛ ! ! !
!
! !
! d E d
J d
J s
d
B
Operatore nabla Introduzione
L’operatore (nabla), utile nell’analisi dei campi scalari e vettoriali, è definito
come: ∇
z y
x u
u z u y
x ˆ ˆ ˆ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ !
Analizziamo di seguito le operazioni che si possono
eseguire mediante l’uso dell’operatore . ∇
grad f ci dice come varia la funzione f nell’intorno di un punto. La sua componente lungo x è la derivata parziale di f rispetto ad x e fornisce una misura della rapidità con cui varia f quando ci si muove lungo l’asse x.
Funzione scalare della posizione f (x, y, z) con le derivate parziali
Possiamo costruire in ogni punto dello spazio un vettore le cui componenti x, y, z siano uguali alle rispettive derivate parziali. Questo vettore viene chiamato
“gradiente” di f
Operatore nabla Gradiente
z y
x u
z u f
y u f
x
f f ˆ ˆ ˆ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ !
z y
x u
z u f
y u f
x f f
grad ˆ ˆ ˆ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
z f y
f x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂ , ,
Operatore nabla Gradiente
Per esempio per una funzione di due sole variabili, x e y, vi sarà una direzione
lungo la quale un breve passo ci porterà più in alto che un passo della stessa
lunghezza in qualsiasi altra direzione. Il modulo della funzione gradiente è la
pendenza misurata lungo quella direzione .
Operatore nabla Gradiente Infatti
z dz dy f
y dx f
x df f
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ df ! f d s !
⋅
∇
= ( )
∇ ! f s d!
s d f
df ! !
⋅
∇
= ( ) df = ∇ ! f cos α ds
La variazione della funzione è massima nella direzione di ∇ ! f
s d!
∇ ! f
f + df
f
Operatore nabla Gradiente In coordinate polari
( θ ) θ rd r
dr f r
df f
∂ + ∂
∂
= ∂
s d f
df ! !
⋅
∇
= ( )
θ u θ
rd u
dr s
d ! = ( ) ˆ r + ( ) ˆ
θ u θ
u r
r r 1 ˆ
ˆ ∂
+ ∂
∂
= ∂
∇ !
θ f u θ
u r r
f f r 1 ˆ
ˆ ∂
+ ∂
∂
= ∂
∇ !
Se definiamo
E quindi
Gradiente in coordinate polari
Operatore nabla Divergenza L’operatore “nabla” può anche applicato ad una funzione vettoriale
z F y
F x
F F x y z
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
⋅
∇ ! !
z z y
y x
x u F u F u
F
F ! = ˆ + ˆ + ˆ
z F y
F x
F F
div x y z
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
!
Il risultato è uno scalare e si chiama” divergenza”
Teorema della divergenza
F !
∫
∫ Σ F ! ⋅ d Σ ! = τ ( ∇ ! ⋅ F ! ) d τ
F l u s s o d e l v e t t o r e F
attraverso una superficie Integrale della divergenza
di F sul volume racchiuso
Operatore nabla Divergenza
∫
∫ Σ F ! ⋅ d Σ ! = τ ( ∇ ! ⋅ F ! ) d τ
Σ
⋅
=
⋅
∇
⋅
∇
= Σ
⋅
!
!
!
!
! !
!
!
d d F
F
d F d
F
τ
τ ) 1
(
) (
Per un volume infinitesimo
Σ
⋅
=
⋅
∇ ! ! → ! !
d F
F τ τ
lim 1 )
( 0
La divergenza di un vettore F può essere interpretata come il flusso dello stesso vettore per unità di volume attraverso una superficie chiusa molto piccola. Rappresenta quindi una proprietà locale del vettore
0 )
( ∇ F ! ⋅ ! = 0
) ( ∇ F ! ⋅ ! ≠
Campo solenoidale
F !
Operatore nabla Coordinate speriche
θ f u θ
u r r
f f r 1 ˆ
ˆ ∂
+ ∂
∂
= ∂
∇ ! Gradiente
) 1 (
) 1 ( 2
2 f senθ
f rsen r r
f r r θ
θ θ ∂ + ∂
∂
= ∂
⋅
∇ ! ! Divergenza
Operatore nabla Rotore
Definiamo
! F !
∧
∇
z z y
y x
x u F u F u
F
F ! = ˆ + ˆ + ˆ
x z y
z y x x
z y u
y F x
u F x
F z
u F z
F y
F F
rot ˆ ˆ ⎟⎟ ˆ
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
∂
− ∂
∂ + ∂
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
∂ + ∂
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
∂
− ∂
∂
= ∂
!
Il risultato è un vettore e si chiama ”rotore”
z y
x
z y
x
F F
F
z y
x
u u
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ˆ ˆ
ˆ
Operatore nabla Rotore Teorema di Stokes
∫
∫ s F ! ⋅ d s ! = Σ ( ∇ ! ∧ F ! ) ⋅ d Σ !
Circuitazione di F Flusso del (rot F)
Per una superficie infinitesima
s d d F
F
d F
s d F
! !
!
!
!
! !
! !
Σ ⋅
=
∧
∇
Σ
⋅
∧
∇
=
⋅
) 1 (
) (
s d F
F ! ! !
! ⋅
= Σ
∧
∇ Σ → 1
lim )
( 0
Il rotore di un vettore F può essere interpretato come la circuitazione dello stesso vettore per unità di superficie su una linea chiusa molto piccola. Rappresenta quindi una proprietà locale del vettore
F ! )
( ! F !
∧
∇
Operatore nabla Rotore
Campo rotazionale
0 )
( ∇ ! ∧ F ! ≠
Campo irrotazionale
0 )
( ∇ ! ∧ F ! =
Circuitazione
Circuitazione
≠ 0
= 0
Formalismo differenziale per E e B Campo Elettrostatico Consideriamo il valore di V in due punti vicini, (x, y , z) e (x+dx, y+dy, z+dz): la variazione di V, passando dal primo al secondo, è:
∫ ⋅
−
=
−
=
B
A A
B V E d s
V
ΔV ! !
generale
In dV E ! d s !
⋅
− =
quindi e
z E V
y E V
x
E x V y z
∂
− ∂
∂ =
− ∂
∂ =
− ∂
= , ,
V grad E
V E
−
=
∇
−
! =
!
!
z dz dy V
y dx V
x dV V
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico Inoltre
= 0
∫ E ! ⋅ d s ! Il campo elettrostatico è conservativo
Teorema di Stokes
∫
∫ s E ! ⋅ d s ! = Σ ( ∇ ! ∧ E ! ) ⋅ d Σ !
Allora deve essere
0 0 )
(
=
=
∧
∇ E rot
! E
!
!
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico
∫
∫ ⋅ Σ = =
= Φ
Σ τ
τ ε ρ
ε q d
d E E
0 0
) 1
( ! !
Legge di Gauss
Teorema della divergenza Φ ( E ) = ∫ Σ E ! ⋅ d Σ ! = ∫ τ ( ∇ ! ⋅ E ! ) d τ
Dunque
∫ τ ∇ ⋅ = ∫
τ
τ ε ρ
τ d
d E
0
) 1 ( ! !
0 0
) (
ε ρ
ε ρ
=
=
⋅
∇ E div
E
!
!
!
E !
Il flusso dipende localmente dalla densità di
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell
Si calcoli la divergenza nel punto generico (x, y, z) per il campo prodotto da una carica puntiforme q posizionata nel punto (x 1 ,y 1 ,z 1 )
( )
( ) ( ) ( )
[
1 2 1 2 1 2]
321
4
0, ,
z z y
y x
x
x q x
z y x E
x− +
− +
−
= − πε
( )
( ) ( ) ( )
[
1 2 1 2 1 2]
321
4
0, ,
z z y
y x
x
y q y
z y x E
y− +
− +
−
= − πε
( )
( ) ( ) ( )
[
1 2 1 2 1 2]
321
4
0, ,
z z y
y x
x
z q z
z y x E
z− +
− +
−
= − πε
( )
5(
2 2)
0 2
2 2
5 0
4 3
4 2 r x
r x q
z r y
q x
E
x−
=
− +
∂ =
∂
πε πε
( )
5(
2 2)
0 2
2 2
5 0
4 3
4 2 r y
r y q
z r x
q y
E
y−
=
− +
∂ =
∂
πε πε
( )
5(
2 2)
0 2
2 2
5 0
4 3
4 2 r z
r z q
y r x
q z
E
z−
=
− +
∂ =
∂
πε
πε ( ∇ E ! ⋅ ! ) = 0
z E y
E x
E E x y z
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
⋅
∇ ! !
Formalismo differenziale per E e B Campo Elettrostatico
Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico
0
)
( ε
= ρ
⋅
∇ E ! !
E ! E !
0 )
( ∇ E ! ⋅ ! =
Inoltre ricordando
V E ! = − ∇ !
V V
E = − ( ∇ ⋅ ( ∇ )) = ∇ 2
⋅
∇ ! ! ! !
0 2
ε
− ρ
=
∇ V ∇ V 2 = 0
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell Campo Elettrostatico
2 2 2
2 2
2 2 2 Operatore laplaciano
z y
x ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
∇
0 2
2 2
2 2
2 2
ε
− ρ
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ z
V y
V x
V V Equazione di Poisson in
presenza di sorgenti
2 0
2 2
2 2
2 2
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ z
V y
V x
V V Equazione di Laplace nel
vuoto
Risolvendo l’equazione di Laplace si determina la funzione V(x,y,z)
Applicando
si determina il campo E(x,y,z) E = − ∇ V
!
!
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell Campo Magnetostatico
0 0 )
(
=
=
⋅
∇
B div
B !
! !
Non esistono cariche magnetiche
Campo solenoidale
Legge di Ampere
∫
∫ s B ! ⋅ d s ! = µ 0 i = µ 0 Σ J ! ⋅ d Σ !
∫
∫ Σ
Σ
Σ
⋅
= Σ
⋅
∧
∇ ! ! ! ! !
d J
d
B ) 0
( µ
J
B !
"
" !
"
) 0
( ∇ ∧ = µ
Teorema di Stokes
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell Riepilogo
∫ E ! ! ⋅ s d = 0
0 int
ε d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
= 0 Σ
∫ ⋅
Σ
!
! d B
i s
d
B µ 0
∫ ! ⋅ ! =
Condizioni stazionarie
0 0
) (
ρ ε ρ ε
=
=
⋅
∇ E div
E
!
!
!
0 0 )
(
=
=
∧
∇ E rot
! E
! !
0 0 )
(
=
=
⋅
∇ B div
B !
!
!
J B
rot
J
B !
"
" !
"
0
)
0(
µ µ
=
=
∧
∇
V grad E
V E
−
=
∇
−
! =
! !
0 2
ε
− ρ
=
∇ V
Equazioni di Maxwell Campi variabili
Σ
⋅
− Φ =
−
=
⋅ ∫
∫ Σ
!
! !
! B d
dt d dt
B s d
d
E i ( )
Faraday Lentz
Σ
⋅
−
= Σ
⋅
∧
∇ ∫
∫ Σ Σ
!
!
!
! !
d dt B
d d E) (
Teorema di Stokes
Σ
⋅
−
= Σ
⋅
∧
∇ ∫
∫ Σ Σ
! !
!
!
! d
dt B d d
E) (
E B rot
t E B
− ∂
=
∂
− ∂
=
∧
∇
" !
! !
! )
(
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell Campi variabili Ampere Maxwell
∫
∫ Σ
Σ
Σ
⎟⎟ ⋅
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
= Σ
⋅
∧
∇ ! !
!
!
! !
dt d E J d
d
B ) 0 0
( µ ε
Teorema di Stokes
∫
∫ Σ ⎟⎟ ⋅ Σ
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
=
⋅ ! !
! !
! d
dt E J d
s d
s B µ 0 ε 0
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∂ + ∂
=
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∂ + ∂
=
∧
∇
t J E
B rot
t J E
B
! !
!
! !
!
!
0 0
0
) 0
(
ε µ
ε µ
Formalismo differenziale per E e B
Equazioni di Maxwell Campi variabili
0 0 )
(
=
=
⋅
∇
E div
E !
! !
0 0 )
(
=
=
⋅
∇
B div
B !
! !
t B E
rot
t B E
∂
= ∂
∂
= ∂
∧
∇
! !
! !
!
0 0
0
) 0
(
ε µ
ε µ
t E B
rot
t E B
∂
− ∂
=
∂
− ∂
=
∧
∇
" !
! !
! )
(
1 2
= c ε
µ
Equazioni di Maxwell Campi variabili
Condizioni non stazionarie
0 0
) (
ρ ε ρ ε
=
=
⋅
∇
E div
E
!
!
!
0 0 ) (
=
=
⋅
∇ B div
B !
!
!
0 int
ε d q
E ⋅ Σ =
∫ Σ
!
!
= 0 Σ
∫ ⋅
Σ
!
! d B
Σ
⋅
−
=
⋅ ∫
∫ Σ
!
! !
! B d
s t d
E δ
δ
) ( 0
0 dt
i d s
d
B Φ E
+
=
∫ ! ⋅ ! µ ε = ⎜ ⎜ ⎛ + ∂ ⎟ ⎟ ⎞
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∂ + ∂
=
∧
∇
t J E
B rot
t J E
B
! !
!
! !
!
!
0 0
0
)
0(
ε µ
ε µ
t E B
rot
t E B
∂
− ∂
=
∂
− ∂
=
∧
∇
" !
! !
! )
(
Equazioni di Maxwell Forma differenziale
In presenza di sorgenti
0 0
) (
ρ ε ρ ε
=
=
⋅
∇
E div
E
!
!
!
0 0 ) (
=
=
⋅
∇ B div
B !
!
!
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∂ + ∂
=
∧
∇
E t J E
B
! !
!
! !
!
!
0
)
0( µ ε
t E B
rot
t E B
∂
− ∂
=
∂
− ∂
=
∧
∇
" !
! !
! )
(
Nel vuoto
0 0 ) (
=
=
⋅
∇ E div
E !
! !
0 0 ) (
=
=
⋅
∇ B div
B !
!
!
E t B E
∂
= ∂
∧
∇
! !
! !
!
0
