(1) w0 =3 a B02h2 2 R w0 2) Sia xHtL la distanza della sbarretta dall'estremità chiusa del circuito, dai dati si ha xH0L = a

CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 3 - 19/12/2009

Soluzioni 1)

Siano B(t) il modulo del campo magnetico B, F(t) il flusso di questo concatenato col circuito, h la lunghezza della sbarretta, a la distanza della sbarretta dall'estremità chiusa del circuito, R la resistenza elettrica del circuito e w0 il modulo della velocità della sbarretta immediatamente dopo aver ricevuto l'impulso.

Considerando per le quantità vettoriali solo le rispettive componenti lungo la direzione del binario, si ha:

FHtL = BHtL h a

La f.e.m. si ottiene dalla legge di Faraday:

&HtL = -F' HtL = -a h B^£HtL la corrente circolante da quella di Ohm:

IHtL =&HtL

R = -a h B^£HtL R

la componente F, lungo il binario, della forza risultante sulla sbarretta dalla 2^a legge di Laplace:

FHtL = IHtL h BHtL = -a h²BHtL B^£HtL R

e infine l'impulso di tale componente dalla definizione di impulso di una forza, tenendo conto che BH0L = B0 e BHDtL = 2 B0:

+ = ‡

0

DtFHtL „t =a h²AB²H0L - B²HDtLE

2 R = -3 a B₀²h² 2 R .

Per la prima equazione cardinale della dinamica, dette vi e vf le componenti (sempre lungo il binario) della velocità della sbarretta rispettivamente prima e dopo aver ricevuto l'impulso e considerando che la sbarretta è inizialmente ferma:

+ = mIv^f- viM = m vf

detto w0= vf il modulo di vf, si ricava la massa della particella:

m=†+§ (1) w0

=3 a B₀²h² 2 R w0

2)

Sia xHtL la distanza della sbarretta dall'estremità chiusa del circuito, dai dati si ha xH0L = a.

Il flusso di B concatenato col circuito vale:

FHtL = 2 B0h xHtL la f.e.m. indotta:

&HtL = -„ FHtL

„ t = -2 B0h x^£HtL la corrente:

IHtL =&HtL

R = -2 B0h x^£HtL R

la componente F, lungo il binario, della forza risultante sulla sbarretta:

FHtL = 2 B0h IHtL = -4 B₀²h²x^£HtL R

La prima equazione cardinale della dinamica applicata alla sbarretta fornisce il seguente sistema di equazioni differenziali per le funzioni incognite xHtL e vHtL, con le condizioni iniziali di seguito indicate:

vHtL h x^£HtL -4 h²B₀²

R x^£HtL h m v^£HtL xH0L h a

vH0L = -w0

la soluzione del sistema, sostituendo anche l'espressione già trovata per la massa m, vale:

vHtL = -w0‰^-

4 B₀²h²t

m R = -w0‰^-

8 w₀ 3 a t

xHtL =m R w0‰^-

4 B₀²h²t m R

4 B₀²h² - m R w0

4 B₀²h² + a = 3 8a‰^-

8 w₀ 3 at

+ ⁵ 8 a

da cui si deduce che la sbarretta si arresta solo nel limite tØ ¶ e, in questo limite, si può calcolare lo spazio percorso:

Ds = lim (2)

tضxHtL - a = 3 a 8 3)

Detti r e l rispettivamente il raggio e la lunghezza dei solenoidi e d1, d2 e r rispettivamente i diametri delle sezioni dei fili e la resistività del materiale di cui sono composti, si ottengono facilmente le altre grandezze caratteristiche di ciascun solenoide (nel seguito distinti rispettivamente dall'indice 1 o 2).

Numero di spire:

N1= l d1

N2= l d2

area della sezione del filo:

A1=p d₁² 4 A2=p d₂²

4 lunghezza totale del filo:

l1= 2 p r N₁=2p l r d1

l2= 2 p r N2=2p l r d2

resistenza elettrica:

R1= r l1

A1

= 8 l rr d₁³

R2= r l2

A2

= 8 l rr d₂³ induttanza:

L1= m0

p r²N₁²

l =p l r²m0

d₁²

L2= m0

p r²N₂²

l =p l r²m0

d₂² costante di tempo:

t1= L1

R1

=p d₁rm₀ 8r t₂= L2

R2

=p d2rm0

8r

Infine si ottiene il rapporto richiesto:

t₁ (3) t₂ = d1

d2

4)

Si consideri la superficie chiusa S' ottenuta completando la S con le due basi S1e S2del cilindro di cui S è superficie laterale.

Dalla terza equazione di Maxwell si ha:

FS'HBL = ®

S'

B◊ n`„ S ' = 0

l'integrale precedente può essere scomposto nella somma degli integrali sulle basi e quello sulla superficie laterale:

FS'HBL = ‡

S₁

B◊ n`

„ S ' + ‡

S₂

B◊ n`

„ S ' + ‡

S

B◊ n`„ S ' = 0

quindi il calcolo del flusso attraverso S può essere ricondotto a quello del flusso attraverso S1e S2:

‡SB◊ n`

„ S ' = -‡_S

1

B◊ n`

„ S ' - ‡_S

2

B◊ n`„ S '

detta I la corrente circolante nel solenoide composto, i flussi attraverso S1e S2, essendo queste le sezioni (orientate in versi opposti) dei solenoidi 1 e 2 e situate in posizioni lontane dai rispettivi bordi, nell'approssimazione richiesta possono essere calcolati come:

‡_S

1

B◊ n`„ S ' = p r²B1= p r²Im₀ d1

‡S₂

B◊ n`„ S ' = -p r²B2= -p r²Im0

d2

infine per il modulo del flusso attraverso S si ha:

‡ (4)

S

B◊ n`„ S = p r²m0I†d1- d2§ d1d2

5)

Il sistema è simmetrico per riflessione rispetto a ogni piano contenente l'asse z. In ogni punto dello spazio passa uno di questi piani, pertanto in ogni punto P il campo magnetico deve avere direzione perpendicolare al piano di simmetria passante per P. Nelle coordinate cilindriche, associate alle cartesiane nel modo usuale, si ha:

B= B_jHr, j, zL e`

j

Inoltre il sistema è simmetrico per rotazioni intorno all'asse z, pertanto le componenti del campo in coordinate cilindriche non possono dipendere da j:

B= B_jHr, zL e`

j

Per determinare la funzione B_jHr, zL nei punti P = Hr0, z0L esterni alla sfera (come risulta essere quello del testo), si può applicare il teorema di Ampère alla circonferenza g giacente sul piano z = z0 (z= 0 nel caso del testo), con centro sull'asse z e raggio r₀: r = r₀ (r = a nel caso del testo). Come superficie S attraverso la quale calcolare la corrente (concatenata con g) si scelga una calotta sferica avente g per bordo (la semisfera avente g per equatore nel caso del testo, in coordinate sferiche:

r= a, 0 § J §^p₂).

Poiché i punti di g hanno tutti le stesse coordinate Hr, zL = Ha, 0L, BjHr, zL non varia lungo g e si ha:

®gB◊ ‚ l = 2 p r Bj= m₀I

B_jHr, zL = m0I 2p r Nel punto richiesto r = a, quindi:

(5) BjHa, 0L = m0I

2p a 6)

La simmetria è la stessa del problema precedente, ma in questo caso la distribuzione di cariche e correnti non è stazionaria e si deve ricorrere all'equazione di Maxwell:

®g=∑S

B◊ ‚ l = ‡

S

m0 j+ m0¶0

∑ E

∑t ÿn`„ S

Per curva g e superficie S si possono ancora scegliere la circonferenza giacente sul piano z = z₀ (z= a nel caso del testo), con centro sull'asse z e raggio r0: r = r0 (r = a nel caso del testo) e, rispettivamente, la calotta sferica avente g per bordo (nel caso del testo, in coordinate sferiche: r= 2 a, 0 § J §^p₄). Stavolta la corrente che attraversa S è nulla:

Per prima cosa determiniamo il campo elettrico generato dalla carica Q che si accumula sulla sfera.

In coordinate sferiche:

E= 1 4p ¶0

Q r²e`

r= 1

4p ¶0

I t r² e`

r

Dall'equazione di Maxwell:

2p r B_j=

‡S

m0 j+ m0¶0

∑ E

∑t ÿn`

„ S = ‡

S

m0¶0

∑

∑t 1 4p ¶0

I t r² e`

r ÿe`

r„ S = ‡

S

m0

4p I r²e`

rÿe`

r„ S = m0

4p I r² ‡

S

„ S

dove l'area della calotta sferica vale:

‡S„ S = ‡

J=0 J=pê4

2p r sinJ r „ J = 2 p r² 1- 1 2 infine:

B_j= 1 2p r

m₀ 4p

I

r² 2p r² 1- 1 2

= 1 - 1 2

m₀I 4p r Nel punto richiesto:

Bj= 1 - 1 (6) 2

m₀I 4p a 7)

Non sussistono le ipotesi per l'applicazione del teorema di Ampère perché la distribuzione di cariche e correnti non è stazionaria.

Si consideri per esempio un settore di toro V, descritto in coordinate cilindriche dalle equazioni:

Vª

r₁§ r § r₂ 0§ j §^p₂ 0§ z § z2

Il flusso del campo j uscente da V è chiaramente diverso da zero (si veda la figura seguente che mostra la proiezione del campo j e del volume V sul piano x–y) e quindi la carica Q contenuta in V varia nel tempo:

„ Q (7)

„ t = -®

S=∑Vj◊ n`„ S = -kp

2 Hr2- r₁L z2∫ 0 8)

Dalla definizione di coefficiente di mutua induzione:

M=FsIBfM If

dove Bf è il campo magnetico generato dal filo, If è la corrente che scorre nel filo e F_s è il flusso del campo magnetico concatenato col solenoide.

Detto N il numero di spire del solenoide e detti r e l, rispettivamente, il suo raggio interno e il lato delle sue spire quadrate, nel sistema di coordinate cilindriche avente per asse z la retta su cui giace il filo si ha:

Bf= m₀I_f 2p r e`

j

F_sIBfM = N ‡

r r+lm0If

2p r l„ r =m0If N l

2p ln 1+ l r Infine:

M= m₀N l (8) 2p ln 1+ l

r