Esame scritto di Geometria 2 Appello del 13 febbraio 2017

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 13 febbraio 2017

Esercizio 1

Sia α : [0, L] → R

una curva in parametro d’arco iniettiva contenuta nella sfera S

di centro 0 e raggio 1. Si consideri la mappa σ : [0, L] × (0, +∞) → R

definita da σ(u, v) = vα(u).

1. Si dimostri che σ parametrizza una superficie S in R

. 2. Si calcoli la prima forma fondamentale di S.

3. Si calcoli la curvatura gaussiana di S

4. Si calcoli esplicitamente la curvatura geodetica di α come curva in S.

Esercizio 2 Sia S = {(x, y, z) ∈ R

|xyz = 1, x, y ∈ (0, 1)}.

1. Si dimostri che S ` e una superficie regolare e se ne dia una parametrizzazione globale.

2. Si calcoli la curvatura Gaussiana di S.

3. Si discuta se l’area di S sia finita o infinita.

Esercizio 3

Si considerino i seguenti sottospazi di R

: C il cubo [−2, 2]

, B la sua parte interna, F

la faccia {2} × (−2, 2)

, F

la faccia {−2} × (−2, 2)

, P la palla aperta B((−2, 0, 0), 1), D il disco aperto P ∩ F ˚

e U il semicilindro infinito {(x, y, z) ∈ R

| x < −2, y

+ z

= 1}.

Siano poi X lo spazio (U ∪ C) \ (B ∪ F

∪ D) e Y lo spazio (U ∪ F

) \ D.

1. Descrivere una retrazione per deformazione di X su Y ; 2. dimostrare che sia X, sia Y sono connessi per archi;

3. calcolare il gruppo π

(X).

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