Esame scritto di Geometria 2 Appello del 22 settembre 2017

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 22 settembre 2017

Esercizio 1 Si consideri la curva γ : [0, +∞) → R

data da γ(t) = (t, cosh t, sinh t) .

1. Per t ∈ R si determini esplicitamente la lunghezza della restrizione di γ all’intervallo [0, t].

2. Si determini il triedro di Frenet (T (t), N (t), B(t)) al variare di t ∈ R.

3. Si determinino curvatura e torsione della curva γ.

Esercizio 2 Si consideri la mappa σ : R

→ R

definita da

σ(u, v) = ((1 + u)v, (1 − u)v, u) .

1. Si dimostri che ` e una parametrizzazione globale di una superficie S in R

. 2. Si calcoli la prima forma fondamentale di S nella parametrizzazione data.

3. Si calcoli la curvatura di Gauss K.

4. Si dimostri che se F : S → S ` e un’isometria allora F (0, 0, 0) = (0, 0, 0).

Esercizio 3 Siano

X = {(x, y, z) ∈ R

| y − 1 − x

− 2z

= 0}, Y = {(x, y, z) ∈ R

| y + 1 + x

+ 2z

= 0}, Z = {(x, y, z) ∈ R

| x

+ y

+ z

− 1 = 0}, R = {(x, y, z) ∈ R

| x = z = 0}, P = (0, 1, 0).

1. Determinare il gruppo fondamentale di X \ {P }.

2. Determinare il gruppo fondamentale di X ∪ Y ∪ Z.

3. Determinare il gruppo fondamentale di X ∪ Y ∪ Z ∪ R .

4. Dire se X ∪ Y ∪ Z e X ∪ Y ∪ Z ∪ R sono omotopicamente equivalenti.

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