Integrali particolari di funzioni irrazionali
1.
+ =
∫ dx
x 2 9
1 =
+ +
+
⋅ +
∫ + dx
x x
x x
x 2
2
2 9
9 9
1 =
+
⋅ + +
+
∫ + dx
x x
x x x
2 2
2
9 1 9
9
= + ⋅
⋅ +
+
∫ + dx
x x
x x
2
2 9
1 1 9
Considerando che ( 2 ) ' 2 2
9 1 2 9
2 1 1 9
x x x
x x
x ⋅ = + +
+ +
= +
+ si è in presenza del caso ( )
( ) x dx
f x
∫ f ' e
dunque la soluzione: = ln x + 9 + x 2 + c
*Il caso precedente può essere generalizzato
+ =
∫ dx
x a 2 2
1 ln x + a 2 + x 2 + c
2. =
∫ + dx
x 2 9 4
1 =
+
⋅
∫ dx
x 2 9 9 4
1 =
+
∫ dx
x 2 9 4
1 3
1 osservando il caso precedente si può concludere
c x
x + + +
= 2
9 ln 4
3 1
3. ∫ 9 + x 2 dx = si inizia integrando per parti considerando 1 come fattore differenziale
∫ =
⋅ +
− +
⋅
= dx
x x x
x x
2 2
9
9 ∫ =
− + +
⋅ dx
x x x
x
2 2 2
9
9 ora conviene aggiungere e togliere 9 al
numeratore della frazione da integrare ∫ =
+
−
− + +
⋅
= dx
x x x
x 2
2 2
9 9 9 9
∫ =
− + +
− + +
⋅
= dx
x x
x x x
2 2
2 2
9 9 9
9 9 ∫ ∫ =
+ + +
− +
⋅ dx
x dx
x x
x
2 2
2
9 9 1 9
9
Si ha dunque: ∫ 9 + x 2 dx = ∫ ∫ =
+ + +
− +
⋅ dx
x dx
x x
x 2
2 2
9 9 1 9
9
=
∫ 9 + x 2 dx
2 ∫
− + +
⋅ dx
x x
x 2
2
9 9 1
9 visto l’esercizio 1 si può concludere
=
∫ 9 + x 2 dx 1 2 ⋅ x ⋅ 9 + x 2 − 9 ⋅ ln x + 9 + x 2 + c
Il caso precedente può essere generalizzato
=
∫ a 2 + x 2 dx ⋅ x ⋅ a 2 + x 2 − a 2 ⋅ ln x + a 2 + x 2 + c 2
1
4. ∫ 4 + 9 x 2 dx = ∫ ⋅ + x 2 dx =
9
9 4 ⋅ ∫ + x 2 dx = 9
3 4 osservando il caso precedente si può concludere
c x x
x
x +
⋅ + − ⋅ + +
⋅
= 2 2
9 ln 4
9 4 9
4 2
3
*
