Disequazioni irrazionali
Le disequazioni irrazionali sono della forma
np
A(x) = B(x) dove A(x) e B(x) sono polinomi ed n `e un numero naturale.
Per esempio `e una disequazione irrazionale
4p
x2− 1 = x + 2.
Il procedimento risolutivo cambia se l’indice della radice `e dispari oppure pari.
Radici con indice dispari Per risolvere una disequazione irrazionale con indice n dispari:
1) si isola la radice;
2) si elevano a n entrambi i membri;
3) si risolve la disequazione ottenuta.
Vediamo subito degli esempi:
Esempio 1. Consideriamo la disequazione
3√
x − 4 − 5 > 0.
In questo caso n = 3 e quindi `e dispari.
Quindi: isoliamo la radice, cio`e
3√
x − 4 > 5;
eleviamo al cubo entrambi i membri
¡3√
x − 4¢3
> 53 =⇒ x − 4 > 125;
e infine, risolviamo la disequazione ottenuta
x > 4 + 125 =⇒ x > 129.
Esempio 2. Consideriamo la disequazione
3p
x − x3< −x.
In questo caso n = 3 e quindi `e dispari. Procedendo come prima si avr`a
3p
x − x3< −x =⇒
³3p x − x3
´3
< (−x)3 =⇒ x − x3< −x3 =⇒
=⇒ x − x3+ x3< 0 =⇒ x < 0.
1
Esempio 3. Consideriamo la disequazione
3√
x − 4 >3√ 5x + 6.
Anche in questo caso l’indice n = 3 e quindi `e dispari. Per questo tipo di disequazione si procede in modo analogo. Si avr`a
¡3√
x − 4¢3
>¡3√
5x + 6¢3
=⇒ x − 4 > 5x + 6 =⇒ x − 5x > 4 + 6 =⇒
=⇒ −4x > 10 =⇒ 4x < −10 =⇒
=⇒ x < −10 4 .
Radici con indice pari
Ricordiamo che non si pu`o estrarre la radice pari dei numeri negativi e che ogni radicale con indice pari `e sempre maggiore o uguale a zero. In altre parole si considera solo la radice positiva, cio`e per
esempio √
4 = +2.
Nel caso di n pari, bisogna distinguere due casi:
• Senp
A(x) < B(x) allora si considera il sistema
A(x) ≥ 0 B(x) > 0
A(x) < [B(x)]n.
• Senp
A(x) > B(x) allora si devono considerare i due sistemi
½B(x) ≥ 0
A(x) > [B(x)]n. e
½A(x) ≥ 0 B(x) < 0.
Vediamo degli esempi.
Esempio 4. Consideriamo la disequazione
px2+ 3 < x + 1.
In questo caso n = 2 e quindi `e pari. Ci troviamo nel primo dei due casi trattati. Nel nostro caso si ha A(x) = x2+ 3 e B(x) = x + 1. Quindi bisogna considerare il sistema
x2+ 3 ≥ 0 x + 1 > 0
x2+ 3 < (x + 1)2. Considerando che
x2+ 3 < (x + 1)2 =⇒ x2+ 3 < x2+ 2x + 1 =⇒ x2+ 3 − x2− 2x − 1 < 0 =⇒ −2x + 2 < 0 2
si ha
(x2+ 3 ≥ 0 per ogni x x > −1
x > 1 .
Quindi la soluzione del sistema `e x > 1 (vedi graf. 1).
Esempio 5. Consideriamo la disequazione
px2− 4 > x − 3.
Anche in questo caso n = 2 quindi `e pari. Siccome c’`e ¿ dobbiamo considerare il secondo caso trattato. In questo caso si ha A(x) = x2− 4 e B(x) = x − 3, quindi dovremo considerare i due sistemi
1)
½x − 3 ≥ 0
x2− 4 > (x − 3)2 2)
½x2− 4 ≥ 0 x − 3 < 0 .
Analizziamo il primo. Considerando che
x2− 4 > (x − 3)2 =⇒ x2− 4 > x2− 6x + 9 =⇒
=⇒ x2− 4 − x2+ 6x − 9 > 0 =⇒ 6x − 13 > 0
si ha
1)
nx − 3 ≥ 0
6x − 13 > 0 =⇒
½x ≥ 0 x > 136 quindi, x ≥ 3 (vedi graf. 2).
Ora analizziamo il secondo. Considerando che
x2− 4 ≥ 0 =⇒ (x − 2)(x + 2) ≥ 0 =⇒ x ≤ −2 e x ≥ 2
si ha
2)
nx ≤ −2 e x ≥ 2
x − 3 < 0 =⇒
nx ≤ −2 e x ≥ 2 x < 3
quindi x ≤ −2 e x ≤ 2 < 3 (vedi fig. 3).
Quindi, riepilogando, la nostra disequazione ha soluzione, per
x ≤ −2, 2 ≤ x < 3 e x ≥ 3
e quindi di conseguenza per
x ≤ −2 e x ≥ 2.
3
4
