1. Per le seguenti matrici decidere se sono invertibili o meno e, in caso, calcolarne la matrice inversa:

Geometria 10. Matrice inversa, cambiamento di base. Roma, 10 maggio 2014.

1. Per le seguenti matrici decidere se sono invertibili o meno e, in caso, calcolarne la matrice inversa:

(a)  8 15 7 13



; (b)





1 −1 −1

0 0 1

1 −1 0



; (c)





1 0 2

−1 2 −3

1 3 1



; (d)





1 1 −1

0 1 1

1 −1 −1



.

2. Sia g : R

³

−→ R

³

l’applicazione data dalla moltiplicazione per A =





1 −1 1

2 1 0

0 0 1



.

(a) Sia {e

1

, e

2

, e

3

} la base canonica di R

³

. Far vedere che i vettori e

⁰₁

= e

2

+ e

3

, e

⁰₂

= e

₁

+ e

₃

e e

⁰₃

= e

₁

formano una base per R

³

.

(b) Calcolare la matrice rappresentativa di g rispetto alla base {e

⁰₁

, e

⁰₂

, e

⁰₃

} in dominio e codominio.

3. Siano

v

1

=



 1 0 1



 , v

2

=



 0 1

−2



 , v

3

=





−1 1 2



 vettori in R

³

.

(a) Far vedere che v

₁

, v

₂

, v

₃

formano una base per R

³

.

Sia f : R

³

−→ R

³

l’applicazione lineare che permuta i vettori v

i

: f (v

1

) = v

2

, f (v

2

) = v

3

, f (v

3

) = v

1

.

(b) Calcolare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base v

1

, v

2

, v

3

(in dominio e codominio).

(c) Calcolare la matrice rappresentative di f rispetto alla base canonica di R

³

. (d) Calcolare la matrice rappresentativa di f

³

rispetto alla base canonica di R

³

. 4. Sia V ⊂ R

³

il sottospazio dato da

V = {



 x

1

x

₂

x

3



 ∈ R

³

: x

₁

+ x

₂

+ x

₃

= 0}

e sia h : R

³

−→ R

³

l’applicazione data da h



 x

1

x

₂

x

3



 =



 x

3

x

₁

x

2



.

(a) Dimostrare che h(x) ∈ V per ogni x ∈ V .

Sia ˜ h : V −→ V la restrizione di h a V . Si ha quindi che ˜ h(x) = h(x) per ogni x ∈ V . (b) Esibire una base per V .

(c) Calcolare la matrice rappresentativa dell’applicazione ˜ h rispetto a questa base.