Analisi e Modelli Matematici

Lezione 3

Marzo - Aprile 2014

F (x, y, y ^� ) = 0

y ^� = f (x, y)

Una equazione differenziale del primo ordine si scrive nella forma:

Risolvere un’equazione differenziale, sia nella prima che nella seconda forma, significa trovare una funzione “y= y(x)” derivabile in ogni punto di in un intervallo I:

y = y(x), y : I → R

oppure, isolando la derivata prima:

tale che:

F (x, y(x), y ^� (x)) = 0 per ogni x ∈ I

tale che:

oppure:

y ^� (x) = f (x, y(x)) per ogni x ∈ I

Equazioni differenziali del primo ordine

F (x, y, y ^� ) = 0 y ^� = f (x, y)

Equazioni differenziali del primo ordine come:

oppure:

tale che:

hanno, tipicamente, infinite soluzioni.

Si denota come “integrale generale” dell’equazione differenziale un’espressione analitica che al variare di un parametro fornisca tutte o

quasi le soluzioni dell’equazione differenziale.

La ricerca dell’integrale generale può essere molto difficile se non

impossibile.

F (x, y, y ^� ) = 0 y ^� = f (x, y)

Equazioni differenziali del primo ordine come:

oppure:

tale che:

Equazioni differenziali del primo ordine

hanno, tipicamente, infinite soluzioni.

Si denota come “integrale generale” dell’equazione differenziale un’espressione analitica che al variare di un parametro fornisca tutte o

quasi le soluzioni dell’equazione differenziale.

La ricerca dell’integrale generale può essere molto difficile se non impossibile.

Per fortuna, in molti casi concreti non interessa la ricerca di tutte le soluzioni ma solo di quella/quelle che soddisfano ulteriori condizioni, come (tipicamente) l’assumere un valore assegnato in un punto

assegnato.

Un esempio di questi problemi è il “Problema di Cauchy”

� y ^� = f (t, y)

y(t 0 ) = y 0

tale che:

Un “Problema di Cauchy” è l’accoppiamento di una equazione differenziale e di una “condizione iniziale” che consiste nell’assegnazione del valore della soluzione (o di sue derivate) in un punto.

� y ^� = f (t, y) y(t ₀ ) = y ₀

equazione differenziale

condizione iniziale

tale che:

Equazioni differenziali del primo ordine

� y ^� = f (t, y) y(t 0 ) = y 0

Si definisce soluzione di un “Problema di Cauchy” una funzione

t �→ y(t)

definita e derivabile all’interno di un intervallo I che contiene il punto t

La grandezza (massima) dell’intervallo I dipende dall’equazione e in genere anche dai dati iniziali t

e y

.

� y

= f (t, y(t)) per ogni t ∈ I

y(t

) = y

tale che:

Modello di Malthus di dinamica di una popolazione.

N ^� = (σ − µ)N

Tutte le infinite funzioni definite come:

N : R → R, N (t) := Ce ^{(σ −µ)t}

sono soluzioni dell’equazione differenziale. Infatti:

N ^� (t) ≡ (σ − µ)Ce ^{(σ −µ)t} = (σ − µ)N(t)

per ogni t reale.

Esempio 1

Modello di Malthus: N ^� = (σ − µ)N

Sono soluzioni tutte le infinite funzioni definite come:

N : R → R, N (t) := Ce ^{(σ −µ)t}

�1.0 �0.5 0.5 1.0

1 2 3 4

i cui grafici sono del tipo

N ^� = (σ − µ)N + b b ∈ R

Tutte le soluzioni sono del tipo:

verifica esplicita:

N : R → R, N (t) := Ce ^{(σ −µ)t} − b σ − µ

per ogni t reale.

N ^� (t) ≡ (σ − µ)Ce ^(σ−µ)t

= (σ − µ)(Ce ^(σ−µ)t − b

σ − µ ) + b

= (σ − µ)N(t) + b

Esempio 2

N ^� = (σ − µ)N + b b ∈ R

Tutte le soluzioni sono del tipo:

N : R → R, N (t) := Ce ^{(σ −µ)t} − b σ − µ

�2 �1 1 2

�8

�6

�4

�2 2 4 6

�2 �1 1 2

�6

�4

�2 2 4 6 8

Tipicamente l’andamento delle soluzioni è:

σ − µ > 0 σ − µ < 0

σ − µ = q

N ^� = qN + b(t) b : R → R

Poniamo, per semplicità: e supponiamo “b” non costante

Allora, per qualsiasi “C” reale le funzioni :

N (t) := Ce ^qt + e ^qt

�

b(t)e ^−qt dt N : R → R :

sono soluzioni. Infatti :

N ^� (t) ≡ qCe ^qt + qe ^qt

�

b(t)e ^−qt dt + e ^qt b(t)e ^−qt

= q(Ce ^qt + e ^qt

�

b(t)e ^−qt dt) + b(t)

= qN + b(t)

Esempio 3

N ^� = qN + b(t) b : R → R

Allora, sono soluzioni :

N : R → R :

Infatti :

Alternativamente le soluzioni possono essere scritte utilizzando una funzione integrale piuttosto che una primitiva :

N (t) := Ce ^qt + e ^qt

� t t

b(s)e ^−qs ds

N ^� (t) ≡ qCe ^qt + qe ^qt

� t t

b(s)e ^−qs ds + e ^qt b(t)e ^−qt

= q(Ce ^qt + e ^qt

� t t

b(s)e ^−qs ds) + b(t)

= qN (t) + b(t)

N ^� = qN + b(t)

L’integrale generale di

N (t) := Ce ^qt + e ^qt

� t t

b(s)e ^−qs ds

è comodo per scrivere l’unica soluzione del Problema di Cauchy

� N ^� = qN + b(t) N (t ₀ ) = N ₀

Infatti N (t 0 ) = Ce ^qt

infatti

dà

C = N 0 e ^−qt

t �→ N(t) := N 0 e ^{q(t −t}

⁾ + e ^qt

� t t

b(s)e ^−qs ds

nella forma

e la condizione N (t ₀ ) = N ₀

Esempio 4

Modello logistico :

N ^� (t) = qN (t)

�

1 − N (t) M

�

tutte le soluzioni sono della forma :

t �→ N(t) := CM e ^qt M − C + Ce ^qt

osserva che

t �→ M

è l’unica soluzione costante che si ottiene per C=M.

Modello logistico : N

(t) = qN (t) 1 − N (t) M le soluzioni sono: t �→ N(t) := CM e ^qt

M − C + Ce ^qt

5 10 15

5 10 15 20 25 30

q=1; M=20

5 10 15

5 10 15 20 25 30

q=1; M=20

q=0,5 ; M=20

q=1; M=20

Equazioni differenziali

y ^� = y ²

Si verifica che sono soluzioni le funzioni:

t �→ y(t) := 1

c − t per t < c

per c < t oppure:

oppure:

t �→ y(t) := 1 c − t

t �→ y(t) = 0

Tutte le soluzioni, tranne quella identicamente nulla sono definite (al più) su semirette. Inoltre il dominio massimale di definizione di ciascuna soluzione dipende dalla soluzione.

Osserviamo che le funzioni : t �→ y(t) := 1 c − t

sono naturalmente definite su tutta la retta meno un punto. Invece, come

soluzioni dell’equazione differenziale vanno pensate definite su una semiretta.

q=1; M=20

� y ^� = y ² y(0) = y 0

In particolare, se consideriamo il Problema di Cauchy, il dominio di definizione delle soluzioni dipende dal dato iniziale assegnato.

ha l’unica soluzione

t �→ y(t) := y

1 − ty

definita in _{( −∞, y}

_{) se y}

_{> 0}

oppure definita in (y

, + ∞) se y

< 0

L’unica soluzione definita su tutti i reali è t �→ y(t) := 0 se y

= 0

q=1; M=20

Equazioni differenziali

� y

= y

y(0) = y

In particolare, se consideriamo il Problema di Cauchy, il dominio di definizione delle soluzioni dipende dal dato iniziale assegnato.

�10 �8 �6 �4 �2 0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

�2 2 4 6 8

�3

�2

�1 1 2 3

y

= 1

y

= −0.5

q=1; M=20

Un’equazione differenziale del tipo y

= f (t, y)

può essere interpretata come l’assegnazione di un campo di direzioni nel piano (t,y) e la sua soluzione come la ricerca delle curve nel piano che siano punto per punto tangenti alle direzioni assegnate.

Esempio:

�2 �1 0 1 2

�2

�1 0 1 2

�2 �1 0 1 2

�2

�1 0 1 2

y

= y

q=1; M=20

Equazioni differenziali-interpretazione geometrica Consideriamo l’equazione

y

= ty

i corrispondenti campi di direzione e di flusso sono:

�2 �1 0 1 2

�2

�1 0 1 2

�2 �1 0 1 2

�2

�1 0 1 2

Osserviamo che il disegno di destra è una rappresentazione

grafica dell’integrale generale dell’equazione differenziale.

q=1; M=20

La soluzione del problema di Cauchy

ha la seguente rappresentazione:

�3 �2 �1 0 1 2 3

�3

�2

�1 0 1 2 3

� y

= ty

y(0) = 1

q=1; M=20

Equazioni differenziali-interpretazione geometrica Lo studio del segno e degli zeri della funzione f(t,y) può consentire un’analisi qualitativa dell’andamento delle soluzioni dell’equazione differenziale

y

= f (t, y) Esempi:

�3 �2 �1 0 1 2 3

�3

�2

�1 0 1 2 3

�2 �1 0 1 2

�2

�1 0 1 2

y

= t

1 + y

y

= ty(y − 1)

q=1; M=20

�2 �1 0 1 2

�2

�1 0 1 2

�3 �2 �1 0 1 2 3

�3

�2

�1 0 1 2 3

y = 2t + 2y − 1 y

= 2t y − 1

Osserviamo per esempio che le linee di zero di f(t,y)

corrispondono (di solito) a punti di massimo o minimo delle

soluzioni. Le zone di positività o negatività sono zone dove le

soluzioni sono crescenti o decrescenti.

q=1; M=20

Ricerca di integrali generali: equazioni a variabili separabili

y

= g(x)h(y) Equazioni a variabili separabili. Sono del tipo:

Si suppongono ipotesi di regolarità sulle funzioni g ed h. Per la maggior parte di quanto segue la continuità sarà sufficiente.

Osservazione 1: i punti di zero di h(y) corrispondono a soluzioni costanti dell’equazione

Osservazione 2: in un intervallo I in cui una soluzione y=y(x) non fa annullare h(y(x)) l’equazione differenziale è equivalente a

h(y

) = 0 = ⇒ x �→ y(x) := y

y

(x)

h(y(x)) = g(x)

q=1; M=20

y = g(x)h(y)

h(y

) = 0 = ⇒ x �→ y(x) := y

y

(x) h(y(x)) = g(x)

� y

(x) h(y(x)) dx =

� g(x) dx

� 1

h(y) dy =

� y

(x) h(y(x)) dx =

� g(x) dx Se h(y(x)) �= 0 per x ∈ I

Se y �→ H(y) `e una primitiva di 1

h(y) e x �→ G(x) `e primitiva di g(x)

allora si ricava H(y(x)) = G(x)

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche y

= g(x)h(y)

h(y

) = 0 = ⇒ x �→ y(x) := y

y

(x) h(y(x)) = g(x)

� y

(x) h(y(x)) dx =

� g(x) dx

� 1

h(y) dy =

� y

(x) h(y(x)) dx =

� g(x) dx Se h(y(x)) �= 0 per x ∈ I

Se y �→ H(y) `e una primitiva di 1

h(y) e x �→ G(x) `e primitiva di g(x) allora si ricava H(y(x)) = G(x)

che pu` o consentire di ottenere un’espressione analitica della soluzione x �→ y(x)

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Ricerca di integrali generali: equazioni a variabili separabili Ricerca di integrali generali

q=1; M=20

y = g(x)h(y) Esempio1

y

= y

+ 1 y

y

+ 1 = 1

� y

(x) y

(x) + 1 dx =

� 1 dx

arctan(y(x)) = x + C e infine otteniamo l’integrale generale:

x �→ y(x) := tan(x + C)

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche y

= g(x)h(y)

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Ricerca di integrali generali: equazioni a variabili separabili Ricerca di integrali generali

Esempio2

Però le situazioni possono complicarsi rapidamente. L’esempio seguente è simile al precedente

y

= y

+ 1

� y

(x) y

(x) + 1 dx =

� 1 dx y

(x)

y(x)

+ 1 = 1

che produce:

√ 2

8 ln y

+ √ 2y + 1 y

− √

2y + 1 +

√ 2 4

� arctan(y √

2 + 1) + arctan(y √ 2 − 1) �

= x + C

che produce:

non facilmente utilizzabile per ottenere una espressione come :

x �→ y(x)

q=1; M=20

y = g(x)h(y)

Esempio2

Però le situazioni possono complicarsi rapidamente. L’esempio seguente è simile al precedente

y

= y

+ 1

� y

(x) y

(x) + 1 dx =

� 1 dx y

(x)

y(x)

+ 1 = 1

che produce:

√ 2

8 ln y

+ √ 2y + 1 y

− √

2y + 1 +

√ 2 4

� arctan(y √

2 + 1) + arctan(y √ 2 − 1) �

= x + C

che produce:

non facilmente utilizzabile per ottenere una espressione come :

x �→ y(x)

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche

y

= a(x)y + b(x)

Esiste una formula esplicita che dà l’integrale generale (caso pressochè unico!) x �→ y(x) := e

+ e

�

b(x)e

dx Ricerca di integrali generali: equazioni lineari del primo ordine

Si suppone che a(x) e b(x) siano funzioni continue definite in un comune intervallo I

q=1; M=20

y

= a(x)y + b(x)

Esiste una formula esplicita che dà l’integrale generale (caso pressochè unico!) x �→ y(x) := e

+ e

�

b(x)e

dx Oppure in termini di funzioni integrali invece che di primitive

Si suppone che a(x) e b(x) siano funzioni continue definite in un comune intervallo I

x �→ y(x) := c e

+ e

�

b(t)e

dt

= c e

+

�

b(t)e

e

dt

= c e

+

�

b(t)e

dt

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche

y

= a(x)y + b(x) Nella formula

x �→ y(x) := e

+ e

�

b(x)e

dx

la costante appare appare esplicitamente.

Ricerca di integrali generali

la costante libera è “nascosta” nelle costanti di integrazione. Invece nella formulazione

Ricerca di integrali generali: equazioni lineari del primo ordine

x �→ y(x) := c e

+

�

b(t)e

dt

q=1; M=20

y

= a(x)y + b(x) 1) Osserviamo che nella formula

x �→ y(x) := c e

+

�

b(t)e

dt il primo addendo

x �→ c e

�_x

x0a(t) dt

è l’integrale generale dell’equazione “omogenea”, cioè dell’equazione y

= a(x)y

invece il secondo

è un integrale dell’equazione completa.

x �→

�

b(t)e

dt

2) Osserviamo che le soluzioni esistono sempre in tutto l’intervallo I in cui

sono definite a(x) e b(x)

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche

L’unica soluzione del problema di Cauchy

che si verifica facilmente soddisfare sia l’equazione che la condizione iniziale.

Ricerca di integrali generali

Ricerca di integrali generali: equazioni lineari del primo ordine

� y

= a(x)y + b(x) y(x

) = y

si scrive immediatamente utilizzando la seconda formula:

x �→ y(x) := y

e

+

�

b(t)e

dt

q=1; M=20

E’ spesso impossibile risolvere un’equazione differenziale con metodi analitici

“Problema 85: Data un’arbitraria equazione differenziale, trovare una buona approssimazione per il suo integrale” (L. Euler: Institutiones Calculi Integralis - Volumen Primum - (1769))

Metodo di Eulero

� y

= f (x, y) y(x

) = y

Fissiamo h>0 (piccolo) e sostituiamo la soluzione nell’intervallo (x

,x

+h) con la sua tangente nel punto (x

,y

)

x �→ t

(x) := y

+ f (x

, y

)(x − x

)

x

:= x

+ h t

(x

) = y

+ f (x

, y

)h → y

Nel punto

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Ricerca di integrali generali Soluzioni numeriche

� y

= f (x, y) y(x

) = y

Fissiamo h>0 (piccolo) e sostituiamo la soluzione nell’intervallo (x

,x

+h) con la sua tangente nel punto (x

,y

)

(x

, y

) → (x

, y

) := (x

+ h, y

+ f (x

, y

)h)

q=1; M=20

y = f (x, y) y(x

) = y

Fissiamo h>0 (piccolo) e sostituiamo la soluzione nell’intervallo (x

,x

+h) con la sua tangente nel punto (x

,y

)

(x

, y

) → (x

, y

) := (x

+ h, y

+ f (x

, y

)h)

Ripetiamo l’operazione e sostituiamo la soluzione nell’intervallo (x

,x

+h) con la sua tangente nel punto (x

,y

)

x �→ t

(x) := y

+ f (x

, y

)(x − x

)

x

:= x

+ h t

(x

) = y

+ f (x

, y

)h → y

(x

, y

) → (x

, y

) := (x

+ h, y

+ f (x

, y

)h) e quindi, ponendo

e si ottiene il punto successivo

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Ricerca di integrali generali Soluzioni numeriche

� y

= f (x, y) y(x

) = y

Abbiamo quindi definito il seguente processo ricorsivo:

� (x

, y

) = (x

+ h, y

+ f (x

, y

)h)

(x

, y

) assegnato

q=1; M=20

y = f (x, y) y(x

) = y

Abbiamo quindi definito il seguente processo ricorsivo:

� (x

, y

) = (x

+ h, y

+ f (x

, y

)h) (x

, y

) assegnato

La poligonale con vertici nei punti (x

,y

) è un’approssimazione della

soluzione del problema di Cauchy. In ipotesi molto generali sulla funzione

f(x,y), questa approssimazione diventa sempre migliore per h tendente a

zero.

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Ricerca di integrali generali Soluzioni numeriche

� y

= x

+ y

y(0) = 0

�0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

�0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

�0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

�0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

h = 0.5 h = 0.2

q=1; M=20

Caduta di un grave

t �→ y(t) rappresenta l’altezza dal suolo (di un punto materiale) e soddisfa l’equazione

y

= −g Le cui soluzioni sono

t �→ y(t) := − g

2 t

+ c

t + c

Le costanti arbitrarie c

e c

rappresentano

c

= y(0)

c

= y

(0)

è la posizione all’istante t=0

è la posizione all’istante t=0

è la velocità all’istante t=0

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Equazioni del secondo ordine- Esempio 1 Ricerca di integrali generali

è la posizione all’istante t=0 Il problema di Cauchy:

 



  y

= −g y(0) = h

y

(0) = v

ha l’unica soluzione:

t �→ y(t) = −

t

+ v

t + h

1 2 3 4 5

�20 20 40 60 80 100

100.

95.1 80.4 55.9 21.6

h

= y(1) = y(2) = y(3) = y(4) =

equazione del secondo ordine

con due condizioni iniziali

q=1; M=20 è la posizione all’istante t=0

Caduta di un grave con resistenza dell’aria. Problema del paracadutista.

t �→ y(t) rappresenta l’altezza dal suolo e soddisfa l’equazione y

= −g − βy

è un coefficiente positivo che dipende dalla forma dell’oggetto che cade (“grande” per un paracadutista)

β

Tutte le soluzioni sono della forma:

t �→ y(t) := c

− g β t + c

β

(e

− 1)

c

= y(0), c

= −βy

(0) − g

q=1; M=20

0 50 100 150

500 1000 1500 2000

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Equazioni del secondo ordine- Esempio 2 Ricerca di integrali generali

è la posizione all’istante t=0 Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy

 



 

y

= −g − βy

y(0) = h

y

(0) = v

è la funzione:

t �→ y(t) := h

−

t −

(e

− 1)

0 1 2 3 4 5

1920 1940 1960 1980 2000

β = 0.5 e β = 0.8

q=1; M=20 è la posizione all’istante t=0

Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m

t �→ x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l’equazione m x

(t) = −k x(t) dove “k” è positivo ed è un coefficiente di elasticità.

L’equazione precedente viene abitualmente scritta come

x

= −ω

x dove ω := �

k

> 0 Tutte le soluzioni sono della forma

t �→ x(t) := c

cos(ωt) + c

sin(ωt) per t ∈ R.

c

= x(0)

c

ω = x

(0)

posizione per t=0

velocità per t=0

q=1; M=20

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analitiche Equazioni del secondo ordine- Esempio 3 Ricerca di integrali generali

è la posizione all’istante t=0 Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy

 



 

x

= −ω

x x(0) = x

x

(0) = v

è la funzione t �→ x(t) := x

cos(ωt) +

sin(ωt)

= A cos(ωt + ω

)

q=1; M=20 è la posizione all’istante t=0 Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy

 



 

x

= −ω

x x(0) = x

x

(0) = v

è la funzione t �→ x(t) := x

cos(ωt) +

sin(ωt)

= A cos(ωt + ω

)

A =

�

x

+

è l’ ampiezza del moto

ω

= arccos �

A

� è la fase del moto.

Nota che A>0 tranne che nel caso in cui P sia fermo nell’origine.