Lezione N. 31 Solido del De Saint Venant: introduzione al problema

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Lezione N. 31

“Solido del De Saint Venant:

introduzione al problema”

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SOLIDO DEL De SAINT VENANT: INTRODUZIONE AL PROBLEMA

Argomenti

Il problema del de saint venant Ipotesi fondamentali

Riduzione delle equazioni

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SOLIDO DEL De SAINT VENANT: INTRODUZIONE AL PROBLEMA

Il problema del De Saint Venant

Il problema di Saint Venant è il problema elasto – statico

della teoria di studio (al primo ordine) di un solido cilindrico libero nello spazio, composto da materiale elastico lineare, isotropo ed omogeneo, in assenza di forze di massa e con azione esterna di contatto

Applicate solo sulle due basi estreme.

È uno dei pochi problemi della Teoria dell’Elasticità di cui si conosce la soluzione: questa è dovuta a Barré de Saint-Venant nel 1853, sulla base del suo celebre metodo semi-inverso.

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Lo speciale problema al contorno a cui in tal modo si perviene è stato impostato e risolto da Adhémar Jean-Claude Barré, conte di Saint-Venant, nella famosa memoria "De la torsion des prismes" presentata all'Accademia delle Scienze di Parigi nel 1853.

Il metodo proposto dal Saint-Venant, ingegnere civile e professore di meccanica all'Ècole des Ponts et Chaussées, per risolvere il problema unisce al rigore matematico l'intuizione dell'ingegnere.

L'importanza del problema è legata alla generalizzazione della soluzione operata dallo stesso De Saint Venant mediante la teoria che porta il suo nome (principio del De Saint Venant), tale da consentire una rappresentazione di una classe abbastanza ampia di problemi di Teoria della trave e meccanica strutturale.

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Problema di equilibrio

Solido elastico, omogeneo, isotropo e di forma cilindrica, ossia un solido che possiamo chiamare, almeno per la sua forma, trave

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Ipotesi generali

Il modello di trave adottato

da De Saint-Venant si basa sulle seguenti ipotesi:

1) LA FORMA DEL SOLIDO: si considera una trave prismatica (asse rettilineo e sezione retta costante). Nella sezione la dimensione minima e massima non sono troppo differenti l'una dall'altra; la lunghezza del prisma è

molto più grande delle dimensioni della sezione retta. Assumeremo un riferimento cartesiano ortogonale con coincidente con l'asse della trave e origine nel baricentro G della sezione . Su questi assi assumeremo i

versori i, j, k.

2) IL MATERIALE: si considera il materiale elastico, lineare, omogeneo, isotropo.

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2) IL MATERIALE: si considera il materiale elastico, lineare, omogeneo, isotropo.

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3) I CARICHI: si considerano le forze di massa nulle e le forze di superficie agenti solo sulle basi e . La superficie laterale del prisma risulta scarica mentre le forze di superficie costituiscono da sole un sistema equilibrato.

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4) I VINCOLI: si considera il solido non vincolato. Tuttavia, per fissare la posizione del solido nello spazio, impedendo qualunque moto rigido, supporremo che:

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5) LO STATO di TENSIONE: si assume che sugli elementi piani paralleli a x₃, caratterizzati perciò da , la tensione normale sia nulla per cui si può porre :

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Per l'arbitrarietà con cui possono essere scelte le componenti di n, purché

(ad esempio unitaria la prima e nulla la seconda, poi unitaria la seconda e nulla la prima), segue che

ossia che il tensore degli sforzi è del tipo

che descrive uno stato di tensione bi-assiale

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Il piano del vettore tensione è quello contenente i vettori

e esso è perciò parallelo all'asse del cilindro; si può facilmente provare che su questi piani la tensione tangenziale è diretta secondo x₃ .

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Come si vede il modello di Saint-Venant, nel caso più generale, comporta quindi la riduzione da 6 a 3 del numero delle incognite σ_ij .

Occorre naturalmente rendersi conto che questa "ipotesi sulle tensioni" in realtà è una previsione sulla soluzione. In realtà Saint-Venant nel proporre la sua soluzione intuì che il cilindro V, sotto l'azione delle forze superficiali applicate sulle basi si deforma in modo tale che gli elementi piani di normale

interagiscono in modo tale da trasmettere solo azioni tangenziali.

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La soluzione che troveremo effettivamente conferma questa, che, per comodità continuiamo a chiamare ipotesi.

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RIDUZIONE DELLE EQUAZIONI Equazioni di Cauchy

Essendo nulle, per ipotesi, le forze di volume, si ha:

e per le ipotesi sullo stato di tensione:

dalle prime due equazioni si deduce che la distribuzione delle tensioni tangenziali è indipendente dalla particolare sezione scelta, in quanto non dipende da x₃

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RIDUZIONE DELLE EQUAZIONI

La distribuzione delle tensioni tangenziali è identica in tutte le sezioni e quindi, derivando la terza equazione di Cauchy rispetto a si ottiene:

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Equaz. Ind. Equ.

a) σ₃₂ e σ₃₁ hanno distribuzione invariabile da sezione a sezione.

b) se τ₃ = 0 sulla base x₃ = l sarà nulla dappertutto, ossia sarà τ₃ ≠ 0 solo quando si hanno tensioni tangenziali non nulle sulle basi.

c) τ₃ = 0  σ₃₃ invariabile da sezione a sezione.

d) σ₃₃ è al più funzione lineare di x₃ .

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RIDUZIONE DELLE EQUAZIONI Condizioni al contorno

Sulla superficie che racchiude il volume V del cilindro devono risultare verificate le equazioni ai limiti:

Queste equazioni scritte per esteso sulle basi del prisma forniscono:

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Condizioni al contorno

mentre, sulla superficie laterale che, per ipotesi, è scarica si riducono a:

con

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RIDUZIONE DELLE EQUAZIONI Condizioni al contorno

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Equazioni costitutive

Le equazioni costitutive del solido elastico, lineare, isotropo scritte con riferimento alle due costanti elastiche E, modulo di elasticità normale, e  , coefficiente di contrazione trasversale,

nel caso in esame, forniscono

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Con riferimento al modulo di elasticità tangenziale  = G gli scorrimenti ₁₃ e ₃₃ hanno le seguenti espressioni:

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Fine Lezione