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Analisi Matematica 2 – 2019 Fisica–Astronomia

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Academic year: 2022

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Analisi Matematica 2 – 2019 Fisica–Astronomia

Programma finale del corso

1) Serie numeriche. Serie geometrica. Serie telescopiche. Serie armonica gener- alizzata. Criterio della radice e del rapporto per serie reali. Convergenza assoluta di serie reali e complesse. Serie reali a segno alterno. Criterio di Leibniz. Criterio del confronto asintotico.

2) Integrali generalizzati. Criteri del confronto e del confronto asintotico, con- vergenza assoluta. Criterio di convergenza per integrali oscillanti. Convergenza di serie ed integrali. Funzione Γ di Eulero.

3) Spazi metrici. Definizioni, insiemi aperti, chiusi, interno, chiusura, frontiera.

Topologia di uno spazio metrico. Funzioni continue. Limiti in pi`u variabili. Spazi metrici compatti e teorema di Weierstrass. Spazi metrici completi e teorema e delle contrazioni.

4) Serie di funzioni. Successioni e serie di funzioni. Convergenza uniforme. Cri- terio di Weierstrass. Serie di potenze, raggio di convergenza. Funzione esponenziale in campo reale e complesso. Logaritmo complesso. Cenni sulle funzioni olomorfe.

5) Calcolo differenziale in pi`u variabili. Derivate parziali e derivate direzionali in Rn. Funzioni differenziabili. Gradiente e matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta. Funzioni di classe C1. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz e matrice Hessiana. Punti critici, massimi e minimi locali. Formula di Taylor in pi`u variabili al secondo ordine. Richiami sulle forme quadratiche. Massimi e minimi locali in pi`u variabili. Cenni sulle funzioni convesse.

6) Curve e 1-forme differenziali in RnCurve e curve regolari, versore tangente, parametrizzazione. Curve rettificabili e formula della lunghezza. Curve in coordinate polari. Integrali curvilinei. Forme differenziali chiuse ed esatte. Integrazione di 1- forme. Caratterizzazione delle forme esatte. Insiemi contraibili, stellati e connessi.

Teorema di Poincar`e (senza dimostrazione).

7) Esercizi. Esercizi su tutti gli argomenti. Quaderno degli esercizi settimanali.

Padova, 17 giugno 2019 Roberto Monti

Riferimenti

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