Modello analitico 11

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Modello analitico

Si è già accennato al fatto che si vuole poter identificare la matrice di trasferimento dinamico di un induttore conoscendone le oscillazioni di pressione e portata in ingresso ed uscita; per poter definire queste ultime è necessario conoscere il comportamento dinamico del sistema idraulico in cui si trova l'induttore. Per effettuare questo studio si è preso come riferimento la Cavitating Pump Rotordynamic Test Facility (CPRTF) di Alta SpA. La CPRTF era stata progettata per il Centrospazio nell'ambito del progetto FESTIP, allo scopo di svolgere prove su un numero piuttosto alto di turbopompe, in condizioni cavitanti e non; gli esperimenti nel circuito sono effettuati in condizioni di similitudine fluidodinamica, geometrica e termica, usando acqua come fluido di lavoro. Un grande vantaggio nel prendere a modello la CPRTF sta nel fatto che in questa sono già stati effettuati molti studi e risultano già note tutte le caratteristiche dell'impianto utili a definirne la matrice di trasferimento; inoltre lo svolgimento della simulazione dinamica in tale circuito rende possibile eseguire la successiva sperimentazione senza ulteriori analisi preliminari.

Per effettuare la simulazione della risposta dinamica del circuito idraulico si è costruito un modello analitico nel quale sono rappresentati tramite le loro matrici di trasferimento i vari elementi che lo compongono; prima di analizzare nello specifico come sono stare ottenute le varie matrici può essere utile esaminare la struttura dell'impianto idraulico e le caratteristiche dell'induttore cui si fa riferimento in questa trattazione.

1.1

Geometria del circuito idraulico

In questo capitolo viene fatta una breve descrizione della Cavitating Pump Rotordynamic Test Facility nella sua configurazione attuale; la schematizzazione usata per tale descrizione è un voluto richiamo alla struttura modulare dell’impianto: questo infatti è stato idealizzato e progettato come una struttura in grado di essere facilmente riconfigurata ed adattata a seconda delle diverse esigenze sperimentali.

I principali componenti del circuito idraulico facendo riferimento alla figura 1.1 nella quale sono evidenziati, sono:

● il serbatoio (S);

oltre che immagazzinare il fluido necessario per il funzionamento del circuito esso ha altre importanti funzioni:

○ regola, attraverso opportuni dispositivi (resistenze elettriche o scambiatori di

calore), la temperatura del fluido di lavoro;

○ assorbe le fluttuazioni di volume del fluido di lavoro, dovute alle auto-oscillazioni

del sistema in regime cavitante ed alle variazioni di densità dell’acqua con la temperatura grazie alla “camera d’aria” (CA). Quest'ultima è collegata ad un circuito di pressurizzazione-depressurizzazione attraverso cui è possibile controllare la pressione dell’acqua nel serbatoio e, quindi, quella all’ingresso della pompa;

○ permette l’evacuazione di una frazione consistente delle bolle contenute nel fluido.

Date le sue dimensioni, infatti, il serbatoio rappresenta una zona di notevole rallentamento del flusso: il tempo di permanenza dell’acqua al suo interno è quindi tale da consentire alle bolle di maggiori dimensioni di “risalire” per effetto della spinta di Archimede, fino a restare intrappolate in corrispondenza della sua sommità.

● il raddrizzatore di flusso (RF);

ha il compito di abbattere la turbolenza di grande scala che si può generare nel fluido dopo il passaggio attraverso la curva a 90°, per effetto della forza centrifuga; ciò viene ottenuto facendo “pettinare” il flusso da un tratto di honeycomb a maglia esagonale.

● i compensatori elastici (CE);

sono degli elementi di giunzione in gomma, che presentano una deformabilità tale da:

○ isolare il condotto di aspirazione della pompa per evitare la propagazione delle

notevoli vibrazioni che si prevede di avere nelle condizioni di funzionamento più gravose e garantire una parziale protezione contro eventuali “colpi d’ariete” dovuti, per esempio, ad un arresto improvviso della pompa;

○ agevolare le operazioni di montaggio dei vari elementi del circuito e compensare

● la camera di prova (CP);

è il blocco all’interno della quale si trova l'induttore.

● un accesso ottico (AO);

questo è essenzialmente un tratto di tubo trasparente che permette la visualizzazione del flusso all’ingresso della pompa.

● il motore principale (MP);

muove l’albero della pompa; è dotato di un sistema di controllo che permette di mantenere costante nel tempo il valore della velocità di rotazione Ω, ed è collegato all’albero della pompa tramite il giunto G, omocinetico e torsionalmente rigido, in modo che non si verifichino disallineamenti angolari tra l’albero del motore e quello della pompa.

● la valvola (V);

il suo compito è quello di provocare una caduta di pressione nel fluido di lavoro senza produrre nuclei cavitanti. La valvola attualmente montata nell’impianto è la Silent Throttle Valve, essa trasforma l’energia immagazzinata nel fluido sotto forma di pressione in energia interna del fluido stesso, facendogli compiere una trasformazione di laminazione.

Le tubazioni della CPRTF sono costituite da tubi commerciali elettrouniti con un buon grado di finitura superficiale interna; quelli del condotto di aspirazione hanno un diametro nominale pari a 6 pollici, mentre per quelli del condotto di scarico il diametro è di 4 pollici. Nelle zone di attacco ad elementi con diametro interno non unificato (per esempio la valvola) e per i tratti di collegamento tra due punti con diametri differenti, i tubi presentano una leggera conicità.

1.2

L'induttore

L'induttore che viene preso in considerazione è impiegato nella turbopompa LOX del propulsore Vulcan MK1, prodotto da Snecma Moteurs, Francia, per il primo stadio del lanciatore dell'ESA, Ariane 4.

Figura 1.2: induttore MK1.

Figura 1.3: disegno quotato dell'induttore MK1.

L'induttore MK1 (figura 1.2) è una pompa assiale a 4 pale, con raggio all'estremità di pala di 84 mm e raggio variabile sul mozzo (il profilo del mozzo è sagomato con raggio 36 mm in ingresso all'induttore, 58 mm all'uscita); le pale sono inclinate anteriormente, presentano bordi sottili e uno spessore e un angolo di inclinazione variabile. L'angolo all'estremità delle pale in ingresso all'induttore è pari a circa 7.7° mentre quello in uscita è 17.6°. L'induttore è costruito

in Monel, una lega Ni-Cu (63% nichel, 33% rame) con densità di 8.44 Kg/m3_{, resistenza a}

snervamento 790 MPa e resistenza a rottura 1100 MPa. Il peso totale dell'induttore risulta essere pari a 3.5 kg, ed il suo funzionamento in condizioni nominali comporta un coefficiente di flusso pari a =0.0856 . In figura 1.3 è rappresentato il disegno quotato dell'induttore.

1.2.1 Parametri adimensionali e curve caratteristiche

Può essere utile introdurre alcuni parametri adimensionali che sono generalmente impiegati nella definizione delle prestazioni delle turbomacchine ed ai quali si farà riferimento nella seguente trattazione.

Adimensionalizzando la portata volumetrica Q si ottiene il “coefficiente di flusso” φ,

= Q

A  r_T =

 Q r_T3

dove A rappresenta l’area della sezione di passaggio del flusso, rt è il raggio all'apice della

pala dell'induttore (rt = 84 mm) e Ω è la velocità si rotazione dell'induttore (nel caso

particolare che verrà studiato di seguito, Ω= 2800 rpm = π*93.3 rad/s).

Adimensionalizzando il salto di pressione ∆p subito dal fluido di lavoro viene si ottiene il

“coefficiente di prevalenza”: =  p 1 2  2 rT 2

dove ρ è in questo caso la densità del fluido di lavoro (per l’acqua, ρ= 1000 Kg/m3_).

Le prestazioni di una data pompa sono generalmente rappresentate in termini di parametri adimensionali nelle cosiddette “curve caratteristiche”, nelle quali vengono rappresentati, in funzione di φ, gli andamenti degli altri parametri. Un esempio è fornito nella rappresentazione di figura 1.4 dove sulla sinistra è mostrata la curva caratteristica di una generica pompa non cavitante; nella stessa figura sulla destra sono rappresentate schematicamente le prestazioni di una pompa in condizioni cavitanti. In questo caso la curva fornisce l’andamento del coefficiente di prevalenza ψ, per un dato valore del coefficiente di flusso φ, in funzione di un altro parametro adimensionale, il numero di cavitazione σ (usato per adimensionalizzare la pressione in ingresso alla pompa p) definito come:

=p− pvap  2rT 2

Figura 1.4: schematizzazione delle curve caratteristiche di una generica pompa operante in regime non cavitante (a sinistra) e cavitante (a destra).

Il grafico in figura 1.4 a destra mette in evidenza tre valori “notevoli” del parametro σ:

• il “numero di cavitazione di innesco”, σi : rappresenta il valore di pressione a cui la

cavitazione comincia a svilupparsi, ma il suo raggiungimento non coincide ancora con una variazione significativa delle prestazioni della macchina.

• il “numero di cavitazione critico”, σa, tipicamente definito come quel valore di σ per

cui il coefficiente di prevalenza ha subito una certa diminuzione rispetto al valore che aveva in condizioni non cavitanti (in genere, tale diminuzione è assunta pari al 3%; in alcuni casi vengono usati anche il 2% ed il 5%).

• il “numero di cavitazione di breakdown”, σb, che è il valore di σ per cui le prestazioni

1.3

Rappresentazione analitica

Sono illustrati qui di seguito i procedimenti necessari per la definizione delle matrici di trasferimento dinamico dei vari elementi del circuito idraulico. Durante le successive simulazioni non si farà più riferimento ai singoli elementi ma si considereranno le matrici di trasferimento relative a diverse "zone" del circuito idraulico. Si sono ottenute le fluttuazioni di pressione e portata presenti in pochi punti significativi come per esempio all'ingresso ed all'uscita della camera di prova dell'induttore. Le zone in cui si è reputato diviso il circuito idraulico sono:

● la zona A (figura tratto 1-2); rappresenta il condotto di aspirazione, che va dal

serbatoio (escluso) alla camera di prova, e che è interamente composta da elementi assimilabili a degli elementi di collegamento semplice;

● la camera di prova (figura tratto 2-3);

● la zona S (figura tratto 3-4); rappresenta il condotto di scarico, che va dalla camera di

prova al serbatoio. Oltre agli elementi di collegamento semplice è qui inclusa la valvola che è comunque assimilabile a un canale in quanto la sua matrice di trasferimento presenta anch'essa una semplice induttanza;

● il serbatoio (figura tratto 4-1).

Figura 1.5: rappresentazione del circuito idraulico con evidenziati il serbatoio S, la camera di prova CP, la valvola V ed i punti di rilevazione delle oscillazioni di pressione e portata che dividono il circuito in quattro

1.3.1 Matrici di trasferimento dinamico

Per semplicità di rappresentazione e per limitare l'errore di calcolo si sono impiegati dei termini adimensionali e le matrici di trasferimento sono state modificate di conseguenza; l'adimensionalizzazione è effettuata secondo il seguente modello:

p= p

 2r_T2 ; Q=

 Q  r_T3

Considerando un flusso non stazionario, incomprimibile, quasi unidimensionale nel quale si

hanno piccole oscillazioni periodiche di periodo 2

 (piccole di modo da poter trascurare i

termini superiori al primo ordine), pressione e portata possono essere scritte in forma complessa come:

p t= p p e−i  t

Qt = Q Q e−i  t

dove p e Q sono i valori stazionari di pressione e portata, per questo sono

generalmente quantità reali, mentre p e _Q _{sono le componenti oscillanti del flusso, ed in}

genere sono complesse.

Supponendo tale flusso attraversi un qualunque dispositivo, è possibile correlare le fluttuazioni di pressione e portata all'uscita dello stesso con quelle in ingresso tramite una matrice di trasferimento dinamico H :

[

]

[

]

[

]

Tale matrice è ottenibile dalle equazioni di bilancio di massa e di momento, sottraendovi la soluzione stazionaria.

1.3.2 Condotto

Considerando per esempio un semplice condotto orizzontale, per esso le equazioni di continuità di massa e di momento sono:

Q_{i n}t =Q_outt  , poutt− pi nt  =

∫





dove compaiono le aree delle sezioni di ingesso ed uscita dal condotto, g che rappresenta l'accelerazione gravitazionale calcolata tra le sezioni x1 e x2 che delimitano il condotto, il

fattore di perdita = p_t1−p_t2 1 2  2 rt 2 e la lunghezza inerziale _1=

∫

Sostituendo i parametri dipendenti dal tempo con il loro valore complesso, e sottraendo la soluzione stazionaria si ottengono le equazioni:

 Q_{i n}= Q_out ,  p_out= p_{i n}−

[





]

L'equazione della quantità di moto è quindi anche rappresentabile come 

p_out= p_{i n}−Ri  L Q_{i n} .

La matrice di trasformazione per un condotto semplice, come per esempio in un tubo o una valvola, è quindi del tipo

[

]

[

]

[

]

che si può scrivere in forma adimensionale come:

[

]

[

]

Per il calcolo della resistenza R nei condotti si è sfruttata la relazione

R=⋅ Q A2⋅ 1 A2_in− 1 A_out2 ⋅Q dove =2A 2 ⋅p Q2 =2 p r_t2 2⋅ A A_induttore 2 da cui: R=2 p  rt3 .

I valori delle cadute di pressione lungo i condotti sono tratti dai risultati sperimentali ottenuti sul circuito (figura 1.5, da Cervone, 2000).

Figura 1.6: rappresentazione delle perdite p nei condotti di aspirazione e scarico (Cervone, 2000). 1.3.3 Valvola

La valvola inserita nel circuito idraulico è assimilabile ad un semplice condotto in quanto non generando nuclei cavitanti non ha una capacità. Si è considerata l'inertanza della valvola pari a quella dei tubi del resto del condotto, mentre si è valutata a parte la resistenza: in questo modo si è potuto rappresentare la matrice di trasferimento dell'intero condotto di scarico come

se costituita da soli tubi e sommare poi alla sua resistenza quella specifica della valvola RV.

Per il calcolo di quest'ultima si è supposto che la caduta di pressione che si ha nella camera di

prova dell'induttore  pcp sia pari alla somma delle cadute di pressione che si hanno nel

restante circuito idraulico, cioè nella valvola,  pvalvola , nei condotti e nel serbatoio

p_{circuito . Si può quindi scrivere}

p_valvola=p_cp−p_circuito .

È evidente che le cadute di pressione che si verificano per attrito nei vari condotti semplici risulteranno quasi trascurabili rispetto a quella ottenibile nella valvola, tranne che per i valori più elevati della portata.

Si sono dunque definite le matrici di trasformazione dei condotti di aspirazione e di scarico, tenendo conto nel secondo della presenza della valvola, impiegando i dati riportati nella seguente tabella. Condotto di aspirazione Condotto di scarico Lunghezza 3 m 3 m

Raggio della sezione 0.05 m 0.075 m

Per semplicità di rappresentazione si sono identificate le matrici di trasferimento dei condotti di aspirazione e di scarico tramite l'uso dei pedici A ed S:

[

_]

[

0 1

]

[

]

[

1 −RSRVi  LS

0 1

]

1.3.4 Serbatoio

La matrice di trasferimento del serbatoio differisce radicalmente da quella che si ha per un condotto semplice, infatti il serbatoio presenta una certa capacità (o complianza) per cui agisce come un accumulatore di pressione. Definita la capacità del serbatoio come:

C_T= −V  p =  V  p

dove V è il volume della sacca d'aria nel serbatoio, assumendo che la trasformazione del flusso sia isoentropica e posto V = V  V e−i  t _{si può scrivere:}

p V_{=costante } p p  V  V =0  V = − V  p p

Sostituendo nell'equazione di continuità e sottraendo la soluzione stazionaria si ottiene: Qout−Qi n=−dV_{d t}  Qout= Qi ni  V = Qin−i CTp

grazie a cui si può scrivere la matrice di trasferimento dinamico per il serbatoio e la corrispondente adimensionalizzata:

[

]

[

]

[

]

= 50 l e la pressione è p=1atm nel caso di condizioni non cavitanti mentre qualora siano cavitanti è pari alla somma delle perdite nel condotto di aspirazione e della pressione media di aspirazione dell'induttore.

Per semplicità di rappresentazione si è indicata la matrice di trasferimento del serbatoio come:

[

_]

[

]

1.3.5 Induttore

Supponendo tale flusso attraversi un induttore non cavitante, si può scrivere l'equazione della continuità di massa come:



Q_{i n}= Q_out

L'equazione della quantità di moto può ottenersi con rapidi passaggi usando la definizione dei coefficienti di flusso, di pressione totale e di prevalenza:

p_t=p1 2  Q A 2  p_{t out}− p_{t i n}= p_out− p_in Q 1 A_out2 − 1 A_{i n}2 ⋅ Qi n =pt outt − pt i nt  2r_t2  pt out− pt i n= 2 rt 2d  d ⋅  p_{t out}− p_{t i n}=rt Ai n d  d ⋅ Qi n− Q 1 Aout 2 − 1 Ai n 2 ⋅ Qi n

La matrice di trasferimento dinamico di un induttore non cavitante può quindi essere scritta in una forma simile a quella che si ha per i condotti semplici:

{

}

[

]

{

}

dove la resistenza R è definita come: R=− rt Ai n d  d  Qi n 1 A_out2 − 1 A_{i n}2 

mentre l'inertanza L rappresenta l'andamento dinamico del flusso nei canali tra le pale dell'induttore.

La resistenza e l'inertanza tipiche di una pompa centrifuga non cavitante sono rappresentati nella figura 1.7, tratte da Brennen (1994), in funzione della frequenza di oscillazione imposta. Come si può osservare la resistenza tende ad aumentare con l'oscillazione mentre l'inertanza a diminuire, tendendo entrambe verso un valore asintotico.

Figura 1.7: Resistenza ed inertanza di una pompa centrifuga non cavitante. Le linee tratteggiate rappresentano l'andamento teorico mentre i cerchi individuano valori rilevati sperimentalmente (Brennen, 1994)

La figura 1.8, tratta anch'essa da Brennen (1994), mostra invece l'andamento degli elementi della matrice di trasferimento dinamico di un induttore assiale cavitante. Tale andamento risulta essere molto più complesso di quello che si ha nel caso non cavitante, e differisce per diversi valori del numero di cavitazione.

Figura 1.8: elementi della matrice di trasferimento di un induttore in presenza di cavitazione per diversi valori del numero di cavitazione (A=0.37, C=0.10, D=0.069, G=0.052, H=0.044). La parte reale e quella immaginaria

sono rappresentate dalle linee continue e tratteggiate rispettivamente (Brennen, 1994).

La matrice di trasferimento dinamico di un induttore cavitante viene infatti complicata dalla presenza di zone di vapore, la cui comprimibilità fornisce una certa capacità e la cui fluttuazione produce uno sfasamento tra le oscillazioni del flusso in ingresso ed in uscita all'induttore. L'equazione di continuità di massa diviene:

Q_outt−Q_{i n}t=−d Vc d t  Qout− Qi n=i  Vc=i  ∂V_c ∂∣ ∂V_c ∂∣ 

dove Vc rappresenta il volume cavitante all'interno della pompa, che è da definire in funzione di σ e φ.

Dalla definizione del coefficiente di prevalenza e introducendo l'inertanza L data dal percorso tra le pale si può scrivere:

 pt out− pt i n= 2 rt 2 ∂  ∂ ∣out ∂ ∂ ∣−i  L  Qout

dove si è introdotta la componente oscillante del flusso in uscita in quanto da questo, e dal numero di cavitazione, dipende il coefficiente di prevalenza in presenza di cavitazione.

La matrice di trasferimento dell'induttore cavitante assume la forma :

[

]

che risultano nella matrice adimensionale come gli elementi: S i  X = S i  X  ; Rcpi  Lcp= − r_T2 Aout ⋅∂ ∂ − 2 rT 4 ⋅ 1 Ain 2− 1 Aout 2  r_T2  M Lblade −irT  M   Q A_out2 − rT A_out⋅ ∂  ∂ i rT  Lblade= = −rT 2 A_out⋅ ∂  ∂− 2 rT 4 ⋅ 1 A_in2 − 1 A_out2  rT2   M Lblade −i  rT⋅[M r_T A_out⋅ r_T2 A_out⋅− ∂  ∂ − L_blade  ]; C_cp=− 2 r_T3⋅ ∂V_C ∂ ; M = M ;

ca=0.066 m divisa per l'area media dello stesso: L_blade≃⋅ca⋅AinAout

2 

−1

.

Si è assunto costante e nullo ∂ 

∂  , in quanto il coefficiente di prevalenza si mantiene

costante sino a valori della σ prossimi al breakdown per i quali i risultati ottenibili con tale ipotesi non sarebbero più realistici. Per l'induttore MK1 in condizioni nominali si ha il breakdown a σb =0.0075, mentre il valore minimo del numero di cavitazione considerato in

questa tesi è σ=0.052 e quindi sufficientemente grande da poter assumere valida l'ipotesi fatta

per ∂

∂  .

Dallo studio delle curve caratteristiche dell'induttore (figura 1.9) in condizioni non cavitanti si è derivato l'andamento del coefficiente di prevalenza in funzione del coefficiente di flusso, il

cui valore per il funzionamento in condizioni nominali è ∂ 

∂ =−5.2467 .

Figura 1.9: curva caratteristica dell'induttore MK1 in condizioni non cavitanti (Cervone, 2005).

Per conoscere ∂VC

∂  e

∂V_C

dell'induttore in presenza di cavitazione; con riferimento all'induttore MK1 si soni impiegati i risultati ottenuti da Brennen (1994) per la stima del volume cavitante di un generico induttore assiale nelle diverse condizioni di flusso:

Vc=a₁∗−_c4a₂∗−_c3a₃∗−_c2a₄∗−_cVc _c

dove Vc(σc) è il volume cavitante in condizioni di bloccaggio e c è il numero di

cavitazione di bloccaggio (choked cavitation number). Questa relazione risulta valida per σ non superiore a 0.1, e per valori superiori a questo è stato necessario impiegare una diversa funzione di cui verrà trattato in seguito.

Per la definizione del numero di cavitazione di bloccaggio si è fatto ricorso ad un'altra relazione fornita da Brennen (1977):

c≃ b−b2d ,

dove compaiono l'angolo di incidenza =b−atan ed il coefficiente d che è pari al

rapporto tra lo spessore della pala (=0.0022 m) e lo spazio totale tra due pale adiacenti (= ½ π*rt*cos(βb)), definiti a loro volta in funzione dell’angolo βb tra la velocità relativa nel piano

meridiano ed un piano perpendicolare all’asse di rotazione (figura 1.10)

Figura 1.10: rappresentazione del triangolo delle velocità sulla superficie aperta della palettatura di una turbomacchina.

Nelle condizioni nominali di funzionamento dell'induttore si ha σC = 0.0045 rad2; α = 0.0486 rad;

d = 0.0168;

I coefficienti a1, a2, a3 e a4 che compaiono nella definizione del volume cavitante sono stati

calcolati sfruttando la relazione che intercorre tra questo stesso e la complianza dell'induttore: facendo riferimento ai risultati sperimentali ottenuti da Brennen (1994) che sono riportati in figura 1.8, i coefficienti sono risultati pari a:

a1 = 10.15 ,

a2 = -39.45,

a3 = 1.284,

a4 = 0.2599.

Il volume cavitante in condizioni di bloccaggio Vc(σc) è definito come il prodotto del volume

del fluido intotno all'induttore per la percentuale di cavitazione α0:

V_c_c=V_b∗₀ .

Il volume di fluido attorno all'induttore è stato calcolato come la differenza tra il volume totale dell'induttore e il volume del suo mozzo, trascurando quindi lo spessore delle pale. Per il calcolo del volume del mozzo si è fatto ricorso all'equazione, tratta da d'Agostino et al. (2008a; 2008b), che caratterizza il profilo del mozzo definendone il raggio in funzione dell'ascissa lungo l'asse di simmetria z:

rh=



dove rh è il raggio del mozzo, che è valutato all'ingresso (pedice le) e all'uscita (pedice te)

dall'induttore , e rt il raggio misurato all'apice della paletta per i cui valori si può fare

riferimento alla figura 1.3.

Figura 1.11: schematizzazione di un induttore con la relativa nomenclatura. I pedici indicano: T l'apice della pala,

H il mozzo, le la sezione d'ingresso (1), te la sezione d'uscita (2).

Nella precedente relazione B(z) è una funzione compresa tra 0 ed 1 definita come



B  z = B_leB_te−B_le⋅z

ca

B_te=1− 2 2  r_t

N cos te

=0.9955

dove N è il numero di pale dell'induttore, δ lo spessore di spostamento eγte l'angolo della pala

all'uscita dall'induttore. Per la valutazione dello spessore di spostamento si sono ripetute le considerazioni fatte in d'Agostino et al. (2008), correlando δ allo spessore della quantità di moto θ definita a sua volta in funzione della corda della palettatura c e del fattore diffusione D (definito in Brennen, 1994) tramite la relazione:



c= f  D che è rappresentata in figura 1.12.

Figura 1.12: rapporto tra momento della quantità di moto θ e la corda della palettatura c in funzione del fattore di diffusione (Brennen 1994).

La percentuale di fluido cavitante è stata calcolata tramite la relazione:

 = 02−0⋅

2

21−₀2sin2 _b .

Conoscendo per via empirica il coefficiente di prevalenza di breakdown  ≃0.23 e

l'angolo della paletta in ingresso all'induttore _b=7.7°=0.134 rad, si è quindi calcolato:

0=1−



2 2sin2

 b⋅ 2

= 0.5284 .

Con i risultati precedentemente ottenuti si ottiene intorno all'induttore in condizioni di bloccaggio un volume cavitante pari a circa 9.0402 x 10-4 _m3 _{cioè circa 0.9 litri.}

Come si è già accennato, la relazione così caratterizzata per il volume cavitante è valida solo per valori del coefficiente di cavitazione inferiori a 0.1, ed è quindi stato necessario individuare una funzione che rappresenti il comportamento fisico di tale volume per σ

crescenti. Tale funzione oltre che essere continua ed avere lo stesso andamento di quella definita in Brennen per σ=0.1, deve essere tale che, per alti valori della  , il comportamento del sistema tenda a quello che si avrebbe in condizioni non cavitanti. Il volume cavitante dovrebbe tendere a zero quando  1 , mentre le sue derivate parziali rispetto al coefficiente di flusso ∂VC

∂  e di cavitazione

∂V_C

∂  dovrebbero tendere a zero

con un andamento crescente. La definizione di una funzione che soddisfi puntualmente queste condizioni mantenendo un andamento regolare è risultata impossibile, per cui si sono fatte

delle ragionevoli approssimazioni. Poiché il volume cavitante VC non compare direttamente

nella rappresentazione degli elementi delle matrici di trasferimento, compaiono infatti solo le sue derivate, si è accettata una funzione che non giunge a zero per σ=1 ma che tende ad un valore molto piccolo con un andamento monotonico decrescente, e quindi fisicamente coerente. Simili considerazioni si sono fatte per le derivate della funzione Vc, scegliendo di rappresentare con maggiore accuratezza l'andamento di quella effettuata rispetto alla σ i cui effetti fisici sul sistema idraulico sono i più rilevanti.

In figura 1.13 sono rappresentate, al variare del numero di cavitazione, le funzioni del volume cavitante: fino a =0.1 l'andamento è quello indicato da Brennen (1994), per valori superiori si ha la funzione approssimata che tende alle condizioni non cavitanti.

E' evidente che la funzione ∂VC

∂ non presenta un andamento "morbido" ed assume un

valore costante a partire da σ =0.1, ma le modifiche alla rappresentazione del volume cavitante necessarie per migliorare tale curva comporterebbero cambiamenti forti (e fisicamente non coerenti) per la funzione ∂VC

∂ che, come già detto, ha un peso decisamente maggiore nella matrice di trasferimento dell'induttore. Si è deciso di accettare le funzioni del volume cavitante come rappresentate in figura 1.13 e per giustificare questa

scelta si è provato a modificare solo e direttamente la funzione ∂VC

∂ facendole avere un

andamento che mantenga l'inclinazione della curva in σ =0.1, come rappresentato nella figura 1.14, e si è verificato che questa modifica, per quanto sostanziale, non comporta variazioni sensibili negli elementi delle matrici di trasferimento.

Figura 1.13: rappresentazione dell'andamento delle funzioni VC , ∂VC ∂  e ∂VC ∂  in funzione della  . Figura 1.14: Funzione ∂VC ∂  modificata.

In figura 1.15 sono mostrati i valori degli elementi della matrice di trasferimento dell'induttore in funzione della frequenza adimensionalizzata seguendo una rappresentazione analoga a quella di Brennen riportata in figura 1.8. I grafici sulla destra sono in perfetto accordo con quelli di Brennen mentre quelli sulla sinistra mostrano un unico andamento per tutti i valori delle σ: gli elementi Cp12 e Cp22 infatti dipendono entrambi dalla derivata del volume

cavitante rispetto alla portata la cui variazione in funzione della σ è molto piccola, dell'ordine

di 10-5 _{circa. Si nota inoltre che l'andamento della parte immaginaria dell'elemento Cp12 è}

opposto a quello che si aveva in Brennen, questo è dovuto ad una diversa convenzione di rappresentazione.

Figura 1.15: elementi della matrice di trasferimento dell'induttore in presenza di cavitazione per diversi valori del numero di cavitazione (σ=0.075 in blu, σ=0.1 in verde σ=0.25 in rosso). La parte reale e quella immaginaria sono

rappresentate dalle linee continue e tratteggiate rispettivamente.

Con le ipotesi fatte si sono quindi individuati i parametri necessari alla definizione degli elementi della matrice di trasferimento dinamico dell'induttore che per semplicità di rappresentazione saranno indicati come:

[

_]

[

1.3.6 Circuito idraulico

Per rappresentare la matrice di trasferimento di un certo tratto di circuito comprendente più elementi è sufficiente moltiplicare tra loro le matrici dei singoli componenti, similmente è possibile rappresentare l'intero circuito idraulico in un'unica matrice. Ovviamente questa matrice che mette in relazione le oscillazioni di un punto qualunque del circuito con se stesse, sarà pari alla matrice identica.

Effettuando un'apertura ideale subito dopo il serbatoio è possibile scrivere la matrice di trasferimento dell'intero circuito come:

[H ] = [ H_A]⋅[H_cp]⋅[H_S]⋅[H_T]=

[

h21 h22

]

con

h₁₁=t_cp11−t_cp21⋅R_Ai  L_A[t_cp12−t_cp22⋅R_Ai  L_A−t_cp11−t_cp21⋅R_Ai  L_A⋅R_si  L_s]⋅t_T; h₁₂=t_cp12−t_cp22⋅R_Ai  L_A−t_cp11−t_cp21⋅R_Ai  L_A⋅R_si  L_s;

h₂₁=t_cp21[t_cp22−t_cp21⋅R_si  L_s]⋅t_T; h₂₂=t_cp22−t_cp21⋅R_si  L_s; secondo la nomenclatura precedentemente indicata.