recupero OFA
Cognome... Nome...
a) Siano A, B, C insiemi qualsiasi. Dire se le seguenti uguaglianze sono vere per ogni A, B, C.
(1) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C).
(2) (A ∩ B) ∩ C = A ∪ (B ∪ C).
(3) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C).
(4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
(5) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
b) Siano A, B, C insiemi qualsiasi. Dire se le seguenti affermazioni sono vere per ogni A, B, C.
(1) se A ∪ C = B ∪ C allora A = B.
(2) se A ∩ C = B ∩ C allora A = B.
(3) se A ∩ ∅ = B ∩ ∅ allora A = B.
(4) se A ∪ ∅ = B ∪ ∅ allora A = B.
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a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 b 1 b 2 b 3 b 4 totale
30 Gennaio 2018
Parte comune ING-MAT-FIS (versione A)
Cognome... Nome...
1) In V
4(R) sono dati i punti:
P
1= (1, 1, 0, 0) P
2= (1, 0, 1, 1) P
3= (2, 1, 1, 1) P
4= (0, 0, 0, 1).
Sia A il sottospazio affine generato da P
1, P
2, P
3e sia B il sottospazio affine generato da P
2, P
3, P
4.
a) Determinare la direzione di A.
b) Determinare equazioni cartesiane di A.
c) A e’ un sottospazio vettoriale?
d) P
4appartiene ad A?
e) Determinare la dimensione, la direzione e una base geometrica di A ∩ B.
2) Sia f : R
3→ R
3la funzione definita da.
f (a, b, c) = (ka + b + k, b − kc, a − b − c) con k parametro.
a) Determinare l’unico valore di k per cui f e’ un’applicazione lineare.
b) Per tale valore di k, trovare la matrice di f rispetto alla base canonica (=
base dei versori).
c) Per tale valore di k, trovare una base di ker(f ).
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1 a 1 b 1 c 1 d 1 e 2 a 2 b 2 c totale
30 Gennaio 2018 solo ING (versione A)
Cognome... Nome...
3) Dato il punto Q = (0, 1, 1, 1) di V
4(R)
a) Determinare la distanza di Q dall’origine.
b) Determinare le equazioni parametriche di una retta passante per Q e dis- tante √
3 dall’origine.
4) Sia g l’endomorfismo di V
4(R) la cui matrice associata, rispetto alla base B = {e
1, e
2, e
3, e
4}, e’:
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
a) Determinare gli autovalori di g e la dimensione dei relativi autospazi.
b) g e’ diagonalizzabile?
30 Gennaio 2018
Parte comune ING-MAT-FIS (versione B)
Cognome... Nome...
1) In V
4(R) sono dati i punti:
P
1= (0, −1, 1, 1) P
2= (1, 0, 1, 1) P
3= (2, 1, 1, 1) P
4= (0, 0, 1, 0).
Sia A il sottospazio affine generato da P
1, P
2, P
3e sia B il sottospazio affine generato da P
2, P
3, P
4.
a) Determinare la direzione di A.
b) Determinare equazioni cartesiane di A.
c) A e’ un sottospazio vettoriale?
d) P
4appartiene ad A?
e) Determinare la dimensione, la direzione e una base geometrica di A ∩ B.
2) Sia f : R
3→ R
3la funzione definita da.
f (a, b, c) = (ka + b, b − kc, a − b − c + k) con k parametro.
a) Determinare l’unico valore di k per cui f e’ un’applicazione lineare.
b) Per tale valore di k, trovare la matrice di f rispetto alla base canonica (=
base dei versori).
c) Per tale valore di k, trovare una base di ker(f ).
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1 a 1 b 1 c 1 d 1 e 2 a 2 b 2 c totale
30 Gennaio 2018 solo ING (versione B)
Cognome... Nome...
3) Dato il punto Q = (0, 1, 1, 0) di V
4(R)
a) Determinare la distanza di Q dall’origine.
b) Determinare le equazioni parametriche di una retta passante per Q e dis- tante √
2 dall’origine.
4) Sia g l’endomorfismo di V
4(R) la cui matrice associata, rispetto alla base B = {e
1, e
2, e
3, e
4}, e’:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
a) Determinare gli autovalori di g e la dimensione dei relativi autospazi.
b) g e’ diagonalizzabile?
13 Febbraio 2018
Parte comune ING-MAT-FIS (versione A)
Cognome... Nome...
1) In V
3(R) sono dati i punti:
P
1= (1, 1, 1) P
2= (1, 1, 2) P
3= (0, −1, 0).
Sia A il sottospazio affine generato da P
1, P
2, P
3. Sia B il sottospazio VETTORI- ALE generato da P
1, P
2.
a) Determinare un’equazione cartesiana di A.
b) Determinare un punto di A, diverso dai precedenti.
c) A e’ un sottospazio vettoriale?
d) Determinare la dimensione, la direzione e una base geometrica di A ∩ B.
2) Sia R[t]
2lo spazio dei polinomi di grado ≤ 2, con base canonica B = {1, t, t
2}.
Sia f : R[t]
2→ R[t]
2l’endomorfismo definito da:
f (a + bt + ct
2) = (c + bt + at
2).
a) Determinare la matrice di f rispetto a B.
b) f e’ iniettiva? f e’ suriettiva?
c) Determinare f
−1(1 + t + t
2) . d) Determinare un autovettore di f .
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1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c 2 d totale
13 Febbraio 2018 solo ING (versione A)
Cognome... Nome...
3) In V
4(R) e’ data la retta r di equazioni:
x = t y = 2t z = t − 1 w = 2t
a) Trovare DUE punti di r la cui distanza dall’origine e’ 1.
b) Determinare le equazioni parametriche di un piano π ortogonale a r e pas- sante per l’origine.
c) Esiste un piano ortogonale a π e contenente r?
d) Esiste un IPERPIANO parallelo a π e contenente r?
4) Sia M la matrice
0 0 0 −1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
a) Trovare gli autospazi e discutere la diagonalizzabilita’ di M SUL CAMPO C.
b) Trovare l’inversa della matrice M .
13 Febbraio 2018
Parte comune ING-MAT-FIS (versione B)
Cognome... Nome...
1) In V
3(R) sono dati i punti:
P
1= (2, 3, 0) P
2= (1, 1, 2) P
3= (1, 1, 1).
Sia A il sottospazio affine generato da P
1, P
2, P
3. Sia B il sottospazio VETTORI- ALE generato da P
2, P
3.
a) Determinare un’equazione cartesiana di A.
b) Determinare un punto di A, diverso dai precedenti.
c) A e’ un sottospazio vettoriale?
d) Determinare la dimensione, la direzione e una base geometrica di A ∩ B.
2) Sia R[t]
2lo spazio dei polinomi di grado ≤ 2, con base canonica B = {1, t, t
2}.
Sia f : R[t]
2→ R[t]
2l’endomorfismo definito da:
f (a + bt + ct
2) = (b + at + ct
2).
a) Determinare la matrice di f rispetto a B.
b) f e’ iniettiva? f e’ suriettiva?
c) Determinare f
−1(1 + t + t
2) . d) Determinare un autovettore di f .
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1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c 2 d totale
13 Febbraio 2018 solo ING (versione B)
Cognome... Nome...
3) In V
4(R) e’ data la retta r di equazioni:
x = s + 1 y = 2s z = s w = 2s
a) Trovare DUE punti di r la cui distanza dall’origine e’ 1.
b) Determinare le equazioni parametriche di un piano π ortogonale a r e pas- sante per l’origine.
c) Esiste un IPERPIANO ortogonale a π e contenente r?
d) Esiste un piano parallelo a π e contenente r?
4) Sia M la matrice
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
−1 0 0 0
a) Trovare gli autospazi e discutere la diagonalizzabilita’ di M SUL CAMPO C.
b) Trovare l’inversa della matrice M .
Parte comune ING-MAT-FIS
Cognome... Nome...
1) In V
4(R) sono dati i punti:
A = (1, 0, 1, 0) B = (0, 1, 0, 1) C = (1, 1, 0, 0) D = (0, 0, 1, 1).
a) Determinare la posizione reciproca delle rette Af f (A, B) e Af f (C, D).
b) Determinare la dimensione dello spazio S affine generato dalle due rette precedenti.
c) S e’ un sottospazio vettoriale?
d) Determinare equazioni cartesiane per il sottospazio affine generato da A, B, C.
2) Sia f : R
3→ R
3l’applicazione lineare associata (risp. alla base dei versori) alla matrice:
M =
1 −1 −1
1 1 1
1 0 0
a) Determinare una base di Ker(f ).
b) Determinare la dimensione e un vettore di Im(f ).
c) Determinare un autovalore e un autovettore di f .
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1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c totale
1
18 Giugno 2018 versione A solo ING
Cognome... Nome...
3) Con riferimento ai punti A, B dell’esercizio 1:
a) Determinare la distanza della retta r = Af f (A, B) dall’origine O.
b) Determinare un punto P 6= O la cui distanza da r e’ uguale a d(r, O).
4) Con riferimento all’applicazione lineare f dell’esercizio 2:
a) Determinare una base ortonormale di Im(f ).
b) Discutere la diagonalizzabilita’ di f su R e su C.
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3 a 3 b 4 a 4 b totale
18 Giugno 2018 versione B Parte comune ING-MAT-FIS
Cognome... Nome...
1) In V
4(R) sono dati i punti:
A = (1, 0, 1, 0) B = (0, 1, 0, 1) C = (1, 1, 0, 0) D = (0, 0, 1, 1).
a) Determinare la posizione reciproca delle rette Af f (A, D) e Af f (B, C).
b) Determinare la dimensione dello spazio S affine generato dalle due rette precedenti.
c) S e’ un sottospazio vettoriale?
d) Determinare equazioni cartesiane per il sottospazio affine generato da B, C, D.
2) Sia f : R
3→ R
3l’applicazione lineare associata (risp. alla base dei versori) alla matrice:
M =
−1 −1 1
1 1 1
0 0 1
a) Determinare una base di Ker(f ).
b) Determinare la dimensione e un vettore di Im(f ).
c) Determinare un autovalore e un autovettore di f .
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1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c totale
18 Giugno 2018 versione B solo ING
Cognome... Nome...
3) Con riferimento ai punti A, D dell’esercizio 1:
a) Determinare la distanza della retta r = Af f (A, D) dall’origine O.
b) Determinare un punto P 6= O la cui distanza da r e’ uguale a d(r, O).
4) Con riferimento all’applicazione lineare f dell’esercizio 2:
a) Determinare una base ortonormale di Im(f ).
b) Discutere la diagonalizzabilita’ di f su R e su C.
Non scrivete in questo riquadro!
3 a 3 b 4 a 4 b totale
Parte comune ING-MAT-FIS
Cognome... Nome...
1) In V
4(R) ´ e data la retta R di equazioni parametriche:
x
1= t + 1 x
2= t + 2 x
3= t + 3 x
4= t + 4 a) Determinare una base geometrica di R.
b) R ´ e un sottospazio vettoriale?.
c) Determinare equazioni cartesiane di un piano π, parallelo a R, che sia un sottospazio vettoriale.
d) Determinare una retta parallela a R e contenuta in π.
2) Sia f : R
3→ R
3l’applicazione lineare associata (risp. alla base dei versori) alla matrice:
M =
0 −1 0
−1 0 1
0 1 0
a) Determinare una base di Ker(f ).
Dato poi il sottospazio W = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)):
b) Determinare generatori di f (W ).
c) Determinare una base di W ∩ Im(f ).
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1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c totale
1
13 Luglio 2018 versione A solo ING
Cognome... Nome...
3) Con riferimento alla retta R dell’esercizio 1:
a) Determinare la posizione reciproca fra R e il sottospazio affine R
0di equazioni
x
1− x
2= 0 x
2− x
3= 0 x
3− x
4= 0
b) Determinare la distanza fra R e R
0.
4) Con riferimento all’applicazione lineare f dell’esercizio 2:
a) Determinare una base ortonormale di Im(f ).
b) Dire se f ´ e diagonalizzabile su R ed ´e diagonalizzabile su C.
13 Luglio 2018 versione B Parte comune ING-MAT-FIS
Cognome... Nome...
1) In V
4(R) ´ e data la retta R di equazioni parametriche:
x
1= t + 2 x
2= t + 4 x
3= t + 1 x
4= t + 3 a) Determinare una base geometrica di R.
b) R ´ e un sottospazio vettoriale?.
c) Determinare equazioni cartesiane di un piano π, parallelo a R, che sia un sottospazio vettoriale.
d) Determinare una retta parallela a R e contenuta in π.
2) Sia f : R
3→ R
3l’applicazione lineare associata (risp. alla base dei versori) alla matrice:
M =
0 1 0
1 0 −1
0 −1 0
a) Determinare una base di Ker(f ).
Dato poi il sottospazio W = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)):
b) Determinare generatori di f (W ).
c) Determinare una base di W ∩ Im(f ).
Non scrivete in questo riquadro!
1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c totale
13 Luglio 2018 versione B solo ING
Cognome... Nome...
3) Con riferimento alla retta R dell’esercizio 1:
a) Determinare la posizione reciproca fra R e il sottospazio affine R
0di equazioni
x
1− x
4= 0 x
2− x
3= 0 x
3− x
1= 0
b) Determinare la distanza fra R e R
0.
4) Con riferimento all’applicazione lineare f dell’esercizio 2:
a) Determinare una base ortonormale di Im(f ).
b) Dire se f ´ e diagonalizzabile su R ed ´e diagonalizzabile su C.
Parte comune ING-MAT-FIS
Cognome... Nome...
1) In V
5(R) sono dati i punti:
P
1= (1, 1, 0, 0, 0), P
2= (1, 0, 0, 0, 1), P
3= (0, 0, 1, 1, 0).
Sia A = Af (P
1, P
2, P
3) il sottospazio affine da loro generato.
a) Determinare equazioni cartesiane di A.
b) Determinare una retta passante per P
3e parallela alla retta P
1P
2.
c) Determinare una base geometrica dell’intersezione fra il sottospazio vetto- riale L(P
1, P
2) e il sottospazio vettoriale L(P
2, P
3).
2) Sia f : R
3→ R
5l’applicazione lineare che manda i tre versori canonici rispet- tivamente in P
1, P
2, P
3.
a) f ´ e iniettiva? f ´ e suriettiva?
b) Determinare i valori del parametro k per cui la controimmagine f
−1(k, 1, 1, 1, 1) non ´ e vuota.
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1 a 1 b 1 c 2 a 2 b totale
1
3 Settembre 2018 versione A solo ING
Cognome... Nome...
3) Con riferimento ai punti P
1, P
2, P
3dell’esercizio 1:
a) Determinare l’area del triangolo P
1P
2P
3.
b) Determinare una base ortonormale del sottospazio vettoriale L(P
1, P
2, P
3).
4) Sia g : R
5→ R
3l’applicazione lineare definita da: g(a, b, c, d, e) = (a, b, c) e sia f l’applicazione lineare dell’esercizio 2.
a) Determinare la matrice di gof rispetto alla base canonica dei versori.
b) gof ´ e diagonalizzabile? Perch´ e?
Parte comune ING-MAT-FIS
Cognome... Nome...
1) In V
3(R) sono dati i punti:
P
1= (1, 0, 1), P
2= (0, 1, 1), P
3= (0, 2, 0), P
4= (1, −1, 2).
Sia A = Af (P
1, P
2, P
3, P
4) il sottospazio affine da loro generato.
a) Determinare la dimensione di A.
b) Determinare una base geometrica di A.
c) A ´ e un sottospazio vettoriale?
d) Determinare le equazioni cartesiane di un piano passante per l’origine e parallelo ad A.
2) Sia f : R
3→ R
3l’endomorfismo la cui matrice M (rispetto alla base canonica dei versori) ha per colonne le coordinate di P
2, P
3, P
4, nell’ordine.
a) f ´ e iniettiva? f ´ e suriettiva?
b) Determinare la controimmagine del vettore (0, 1, 0).
c) Determinare un autovalore di f .
Non scrivete in questo riquadro!
1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 2 b 2 c totale
1
