1) Supponiamo che un campione di 50 valori sperimentali abbia dato il valore b = 29:5

Esercizio. Supponiamo che il numero N di chiamate ricevute da un centralino nell’arco di un generico minuto sia una v.a. di Poisson, di parametro incognito. Sia N1; :::; Nn un campione sperimentale; useremo lo stimatore N_n = ^N1+:::+N_n ⁿ per stimare . [Si ricordi che E [N ] = V ar [N ] = .]

1) Supponiamo che un campione di 50 valori sperimentali abbia dato il valore b = 29:5.

Dare un intervallo di …ducia al 90%, con un metodo approssimato ma e¢ cace. Alla …ne dei calcoli, dove serve il valore incognito di , si usi la sua approssimazione b. [Non si possono usare formule preconfezionate.]

2) Dopo numerose misurazioni, si decide che un valore credibile per è 30. Un anno dopo, però, sembra che il tra¢ co di chiamate sia aumentato. Si raccoglie un nuovo cam- pione sperimentale di 50 valori, che produce il valore b = 32. Quanti…care la stranezza di questo risultato, se il valore vero fosse = 30. Per svolgere il calcolo, usare nuovamente una strategia approssimata ma e¢ cace. [Non si possono usare formule preconfezionate.]

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3) Volendo invece impostare una strategia di test più tradizionale, unilatera, cioè basata sull’ipotesi 30, identi…care una regione critica di livello = 0:1. Si utilizzi sempre un metodo approssimativo di calcolo. [Non si possono usare formule preconfezionate.]

Nota: Si ricordi la seguente versione un poì più generale del TLC: se X1; :::; Xn

sono v.a. indipendenti con la stessa legge, con momento secondo …nito, detta la sper- anza di X₁ e la deviazione standard, per ogni a < b (anche in…niti) la probabilità P a ^X1+:::+Xpn ^{n n} b tende a (b) (a), per n ! 1.

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1 Soluzioni

1.

P N_n > = P N1+ ::: + Nn

n > = P N1+ ::: + Nn n pnp >

pn p P jZj >

pn

p = 2 2

pn

p = 0:1

pn

p = 1 0:05 = 0:95 pn

p = q_0:95= 1:64

= 1:64p

=p

50 1:64p 29:5=p

50 = 1:259:

L’intervallo è

[29:5 1:3; 29:5 + 1:3] = [28:2; 30:8] : 2.

P ⁼³⁰ Nn 32 = P ⁼³⁰ N1+ ::: + Nn

n 32 = P ⁼³⁰ N1+ ::: + Nn 30n

n 32 30

= P ⁼³⁰ N1+ ::: + Nn 30n pnp

30

2p p n

30 P Z 2p

p50 30

!

= 1 (2:582) = 1 0:995 = 0:005:

3. La regione avrà la forma D = N_n d . Contando per un momento sull’utilizzo di un certo teorema che discuteremo dopo, imponiamo l’equazione

P ⁼³⁰ N_n d = 0:1:

Coi soliti calcoli, abbiamo

P ⁼³⁰ N_n d = P ⁼³⁰ N₁+ ::: + N_n n

pnp (d )pn

p P Z (d 30)p

p 50 30

!

= 1 (d 30)p

p 50 30

!

= 0:1

da cui ^{(d 30)}

p50

p30 = 0:9, ^{(d 30)}

p50

p30 = q0:9 = 1:28, d = 30 + 1:28p 30=p

50 = 30:991. La regione di ri…uto è

D = Nn 30:991 : 3

Il teorema in questione a¤ermerebbe che P N_n d P ⁼³⁰ N_n d per 30 se il rapporto di verosimiglianza è crescente rispetto a Nn. La verosimilgianza è

L ( ; k1; :::; kn) = e ⁿ

k1+:::+kn

k₁! k_n! quindi se 2 > 1, abbiamo

L ( 2; k1; :::; kn)

L ( ₁; k₁; :::; kn) = ²

1

n^k1+:::+kn_n

quindi è crescente rispetto a Nn.

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