(a) Si mostri che X è un processo gaussiano

III Appello di Analisi Stocastica 2009/10 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

29 giugno 2010 Matricola:

Esercizio 1. Siano B = {B_t}_t∈[0,∞) e β = {β_t}_t∈[0,∞) due moti browniani reali indipendenti, definiti su uno spazio di probabilità completo (Ω, F , P) (in particolare, le variabili aleatorie B_te β_s sono indipendenti, per ogni s, t ≥ 0). Consideriamo il processo reale X = {X_t}_t∈[0,∞) definito da

X_t := B2 3t− β1

3t. (a) Si mostri che X è un processo gaussiano.

(b) Si mostri che X è un moto browniano reale.

Definiamo ora il processo reale Y = {Y_t}_t∈[0,∞) ponendo Yt := β²

3t+ B¹

3t.

(c) Si mostri che, per ogni t ∈ [0, ∞), le variabili aleatorie X_t e Y_t sono scorrelate, cioè Cov(Xt, Yt) = 0. Esse sono indipendenti?

(d) Si mostri che, per ogni 0 < s < t < ∞, le variabili aleatorie X_s e Y_t non sono indipendenti.

[Sugg.: si considerino separatamente i due casi s <₂^t e ₂^t ≤ s < t.]

(e) Si mostri che, per ogni (a, b) ∈ R² con a²+ b² = 1, il processo Z = {Zt}_t∈[0,∞) definito da Z_t:= aX_t+ bY_t è un moto browniano reale.

(f) Il processo {(X_t, Y_t)}_t∈[0,∞) a valori in R² è un moto browniano bidimensionale?

Soluzione 1. (a) X è un moto browniano perché le sue componenti sono funzioni lineari delle componenti dei due processi gaussiani indipendenti B e β.

Più esplicitamente, dobbiamo mostrare che ogni combinazione lineare delle componenti di X è una variabile aleatoria normale. Per ogni scelta di n ∈ N, t1, . . . , tn ∈ [0, ∞) e a₁, . . . , a_n∈ R possiamo scrivere

n

X

i=1

aiXti =

n

X

i=1

aiB²

3ti

!

−

n

X

i=1

aiβ¹

3ti

! .

Le due variabili che compaiono tra parentesi sono indipendenti, perché i processi B e β sono indipendenti; inoltre ciascuna variabile è normale, perché combinazione lineare delle componenti di un processo gaussiano. Segue chePn

i=1aiXti è normale in quanto differenza di variabili normali indipendenti. Il processo X è dunque gaussiano.

(b) Notiamo che X ha q.c. traiettorie continue, poiché le traiettorie di B e β sono q.c. continue.

Inoltre E(X_t) = E(B²

3t) − E(β¹

3t) = 0 per ogni t ≥ 0, mentre per s < t Cov(X_s, X_t) = Cov(B²

3s, B²

3t) − Cov(B²

3s, β¹

3t) − Cov(β¹

3s, B²

3t) + Cov(β¹

3s, β¹

3t)

= min 2 3s,2

3t



− 0 − 0 + min 1 3s,1

3t



= 2 3s +1

3s = s = min{s, t} . Dato che X è un processo gaussiano per il punto precedente, segue da una nota caratterizza- zione (Teorema 2.8 delle dispense) che X è un moto browniano.

(c) Analogamente al punto (a), X_t e Y_t sono congiuntamente normali perché una qualunque loro combinazione lineare è normale: infatti per a, b ∈ R possiamo scrivere aXt+ bY_t = a(B2

3t+ B1

3t) + b(β2 3t− β1

3t) e le due variabili tra parentesi sono normali indipendenti.

2

Essendo congiuntamente normali, le variabili aleatorie X_t e Y_t sono indipendenti se e solo se sono scorrelate. La verifica che sono effettivamente scorrelate è immediata:

Cov(Xt, Yt) = Cov(B²

3t, β²

3t) + Cov(B²

3t, B¹

3t) − Cov(β¹

3t, β²

3t) − Cov(β¹

3t, B¹

3t)

= 0 + min 2 3t,1

3t



− min 1 3t,2

3t



− 0 = 1 3t − 1

3t = 0 .

(d) Basta mostrare che X_s e Y_tper 0 < s < t < ∞ non sono scorrelate, cioè Cov(X_s, Yt) 6= 0.

Cov(X_s, Y_t) = Cov(B2 3s, β2

3t) + Cov(B2 3s, B1

3t) − Cov(β1 3s, β2

3t) − Cov(β1 3s, B1

3t)

= 0 + min 2 3s,1

3t



− min 1 3s,2

3t



− 0 = min 2 3s,1

3t



− min 1 3s,2

3t

 . Dato che per ipotesi s < t si ha a maggior ragione ¹₃s < ²₃t e dunque min₁

3s,²₃t = ¹₃s.

Distinguiamo ora due casi:

• se s < ₂^t allora min₂

3s,¹₃t = ²₃s e quindi Cov(X_s, Y_t) = ²₃s − ¹₃s = ¹₃s 6= 0;

• se s ≥ ₂^t allora min₂

3s,¹₃t = ¹₃t e quindi Cov(X_s, Y_t) = ¹₃t − ¹₃s = ¹₃(t − s) 6= 0.

In ogni caso Cov(X_s, Yt) 6= 0 per 0 < s < t < ∞, come volevasi dimostrare.

(e) Ragionando come al punto (a) si ha che Z è un processo gaussiano. Le traiettorie di Z sono q.c. continue, perché lo sono le traiettorie di B e β. Si noti che

Z_t= aB2

3t+ bB1

3t− aβ1

3t+ bβ2

3t, (1)

da cui segue che E(Z_t) = 0 per ogni t ≥ 0, perché B e β sono due moti browniani e dunque le loro componenti hanno media nulla. Infine, ricordando che le componenti di B e quelle di β sono indipendenti e dunque scorrelate, dalla relazione (1) otteniamo che, per 0 ≤ s < t, Cov(Z_s, Z_t) = a²Cov(B2

3s, B2

3t) + ab Cov(B2 3s, B1

3t) + ab Cov(B1 3s, B2

3t) + b²Cov(B1 3s, B1

3t) + a²Cov(β¹

3s, β¹

3t) − ab Cov(β¹

3s, β²

3t) − ab Cov(β²

3s, β¹

3t) + b²Cov(β²

3s, β²

3t)

= a²2

3s + ab min 2 3s,1

3t

 + ab1

3s + b²1

3s + a²1

3s − ab1

3s − ab min 2 3s,1

3t

 + b²2

3s

= (a²+ b²)s = s = min{s, t} .

Per la già citata caratterizzazione del moto browniano come processo gaussiano (Teorema 2.8 delle dispense) si ha dunque che Z è un moto browniano.

(f) No. Se lo fosse, le sue componenti X = {X_t}_t∈[0,∞) e Y = {Y_t}_t∈[0,∞) sarebbero due moti browniani reali indipendenti e dunque ogni componente di X sarebbe indipendente da ogni componente di Y : ma così non è, per quanto mostrato nel punto (d).

3

Esercizio 2. Sia (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) uno spazio di probabilità filtrato standard su cui è defi- nito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:





 dX_t =

p1 + X_t²

1 + |X_t| dB_t + X_t (1 + |X_t|)²dt X0 = 0

. (?)

(a) Si mostri che, per ogni T > 0, esiste un processo continuo e adattato {X_t}_{t∈[0,T ]} definito su Ω che risolve l’equazione (?) e che tale processo è unico a meno di indistinguibilità.

Supporremo d’ora in avanti che la soluzione X = {X_t}_t∈[0,∞) dell’equazione (?) sia definita per ogni t ∈ [0, ∞). Definiamo il processo M = {M_t}_t∈[0,∞) ponendo

Mt := arctan(Xt) . Si osservi che M è un processo limitato: |M_t| ≤ ^π₂ per ogni t ≥ 0.

(b) Si mostri che M è un processo di Itô e se ne calcoli il differenziale stocastico. Si concluda che M è una martingala (non solo una martingala locale).

Definiamo ora, per a, b > 0 fissati, le variabili aleatorie ˆ

τa := inf{t ≥ 0 : Xt≤ −a} , τ_b := inf{t ≥ 0 : Xt≥ b} , τ := inf{t ≥ 0 : X_t∈ (−a, b)^c} = min{ˆτ_a, τ_b} , con l’abituale convenzione inf ∅ = +∞. Assumeremo che P(τ < ∞) = 1.

(c) Si mostri che ˆτa, τ_b e τ sono tempi d’arresto e che vale la relazione E(M_τ) = 0.

(d) Si deduca che P(τ_b < ˆτ_a) = arctan(a) arctan(a) + arctan(b).

[Sugg.: si considerino i valori che può assumere la variabile aleatoria Mτ: sull’evento {τb < ˆτa} si ha Mτ = arctan(b), mentre sull’evento complementare {τb> ˆτa} . . . ]

(e) Si spieghi perché {τ_b< ∞} =S

a∈N{τ_b< ˆτ_a}. Si deduca che P(τ_b< ∞) = π/2 arctan(b) + π/2. (f) (*) Si deduca che P(sup_t≥0Xt= +∞) = ¹₂.

Soluzione 2. (a) Le funzioni b(x) := _(1+|x|)^x ₂ e σ(x) :=

√ 1+x²

1+|x| sono continue in R e derivabili in R \ {0}: la derivata è data, per x 6= 0, da

b⁰(x) = (1 + |x|)²− 2x(1 + |x|) sign(x)

(1 + |x|)⁴ , σ⁰(x) = x(1 + |x|) − (1 + x²) sign(x)

√1 + x²(1 + |x|)² . Esaminando l’ordine polinomiale di numeratore e denominatore, si ha che lim_x→±∞b⁰(x) = limx→±∞σ⁰(x) = 0; inoltre lim_x→0^±b⁰(x) = 0 mentre lim_x→0⁺σ⁰(x) = −1, lim_x→0⁻σ⁰(x) = 1.

Si noti che b⁰ e σ⁰ sono funzioni continue in R \ {0}. Da queste considerazioni segue che b⁰ e σ⁰ sono limitate in R \ {0}, cioè esiste L ∈ (0, ∞) tale che |b⁰(x)| ≤ L e |σ⁰(x)| ≤ L per ogni x 6= 0. Per il teorema di Lagrange, se 0 ≤ x < y oppure x < y ≤ 0 possiamo scrivere b(y)−b(x) = b⁰(ξ)(y−x), per un opportuno ξ ∈ (x, y), quindi |b(y)−b(x)| ≤ L|y−x|. Se invece x < 0 < y, per la disuguaglianza triangolare si ha |b(y) − b(x)| ≤ |b(y) − b(0)| + |b(0) − b(x)| ≤ L|y| + L|x| = L|y − x|. Ragionando analogamente per σ, abbiamo mostrato che per ogni x, y ∈ R

|b(y) − b(x)| ≤ L|y − x| , |σ(y) − σ(x)| ≤ L|y − x| . (2) Da ciò segue che sono soddisfatte le ipotesi standard del teorema di esistenza di soluzioni forti e di unicità per traiettorie per equazioni differenziali stocastiche.

(Per la disuguaglianza triangolare, dalla relazione (2) si ha infatti |b(x)|² ≤ 2(|b(0)|²+ |b(x) − b(0)|²) ≤ 2(|b(0)|²+ L²|x|²) ≤ M (1 + |x|²), dove M := 2(|b(0)|²+ L²), e analogamente per σ.)

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(b) M è un processo di Itô perché funzione C² (in effetti C^∞) del processo di Itô X: infatti Mt = Φ(Xt) con Φ(x) = arctan(x). Dato che Φ⁰(x) = _1+x¹ 2 e Φ⁰⁰(x) = −_(1+x^2x2)², per la formula di Itô si ha

dM_t = 1 1 + X_t²

p1 + X_t²

1 + |Xt| dB_t + 1 1 + X_t²

X_t

(1 + |Xt|)²dt − X_t (1 + X_t²)²

1 + X_t² (1 + |Xt|)²dt

= 1

(1 + |X_t|)p

1 + X_t² dB_t,

da cui è chiaro che M è una martingala locale. Dato che ϕ_t := 1/((1 + |Xt|)p

1 + X_t²) è un processo limitato — quindi in M² — segue che M è una vera martingala (di quadrato integrabile). La stessa conclusione si poteva ottenere osservando che M è un processo limitato e una martingala locale limitata è una vera martingala.

(c) Per un risultato visto a lezione (Lemma 3.19), le variabili aleatorie ˆτ_a, τ_b e τ sono tempi d’arresto in quanto tempi di ingresso del processo continuo e adattato X in un insieme chiuso.

Dato che per ipotesi τ è q.c. finito e M è una martingala limitata, possiamo applicare il teorema d’arresto (Corollario 4.13) ottenendo che E(M_τ) = E(M0) = 0.

(d) Sull’evento {τ_b < ˆτa} si ha M_τ = arctan(b), mentre sull’evento complementare {τb > ˆτa} si ha M_τ = arctan(−a) = − arctan(a). Di conseguenza, sull’evento {τ < ∞} = {τ_b < ˆτ_a} ∪ {τ_b >

ˆ

τ_a} possiamo scrivere

Mτ = arctan(b) 1{τ_b<ˆτa} − arctan(a) 1_{τb>ˆτa}. Dato che P(τ_b > ˆτa) = 1 − P(τb < ˆτa), dalla relazione E(Mτ) = 0 si ha

0 = arctan(b) P(τb < ˆτa) − arctan(a) (1 − P(τb < ˆτa)) ,

da cui si ricava la relazione cercata P(τ_b < ˆτa) = arctan(a)/(arctan(a) + arctan(b)).

(e) Se ω ∈ {τ_b < ˆτa}, cioè se τ_b(ω) < ˆτa(ω), si ha chiaramente τ_b(ω) < ∞, cioè ω ∈ {τ_b < ∞}.

Viceversa, se ω ∈ {τ_b < ∞}, cioè se τ_b(ω) < ∞, per la continuità delle traiettorie di X si ha che C(ω) := inf_{0≤t≤τb(ω)}Xt(ω) > −∞; in particolare, ˆτa(ω) > τb(ω) per ogni a > |C(ω)| (si noti che C(ω) ≤ 0 e si ricordi la definizione di ˆτa) e dunque ω ∈S

a∈N{ˆτa> τ_b}. Abbiamo mostrato che {τ_b < ∞} =S

a∈N{τ_b < ˆτ_a}.

Dato che, per b fissato, gli eventi {τ_b < ˆτa} sono crescenti in a, per la continuità dal basso della probabilità si ha che

P(τ_b < ∞) = lim

a→+∞ P(τ_b < ˆτa) = lim

a→+∞

arctan(a)

arctan(a) + arctan(b) = π/2

π/2 + arctan(b). (f) Con argomenti analoghi al punto precedente si mostra che vale l’uguaglianza di eventi

{sup_t≥0X_t = +∞} =T

b∈N{τ_b < ∞}. Dato che gli eventi {τ_b < ∞} sono decrescenti in b, per continuità dall’alto della probabilità si ottiene

P

 sup

t≥0

Xt= +∞



= lim

b→+∞ P(τ_b < ∞) = lim

b→+∞

π/2

π/2 + arctan(b) = 1 2.