Dinamica Rotazionale

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Dinamica Rotazionale

• Richiamo: cinematica rotazionale, velocit`a e accelerazione angolare

• Energia cinetica rotazionale: momento d’inerzia

• Equazione del moto rotatorio: momento angolare e delle forze

• Leggi di conservazione per il moto rotatorio

• Moto di puro rotolamento

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Posizione angolare

Come possiamo descrivere la posizione angolare in un moto di rotazione di un corpo rigido? Prendiamo per semplicit`a il caso di un disco.

• Si sceglie una linea di riferimento

• Un punto P a distanza r dall’origine ruoter`a attorno all’origine in un cerchio di raggio r

• Ogni particella nel corpo rigido percorre un moto circolare attorno all’origine O

• Conviene usare coordinate polari per rappresentare la posizione di P (o di altri punti): P = (r, θ), dove r `e la distanza dall’origine a P e θ `e misurato dalla linea di riferimento in senso antiorario

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Posizione angolare (2)

• Se la particella si muove, la sola coordinata che cambia `e θ

• Se la particella ruota di θ, percorre un arco di lunghezza s, legato a r da s = rθ

• Possiamo associare l’angolo θ all’intero corpo rigido come pure alle particelle individuali che lo compongono

Ricordate che ogni particella dell’oggetto ruota dello stesso angolo

• La posizione angolare del corpo rigido `e l’angolo θ fra la linea di riferimento sul corpo e la linea fissa di riferimento nello spazio

La linea fissa di riferimento nello spazio `e spesso presa come asse x

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Spostamento angolare

• Lo spostamento angolare `e definito come l’angolo di rotazione dell’oggetto in un intervallo di tempo finito:

∆θ = θ_f − θ_i

• E’ l’angolo spazzato dalla linea di riferimento di lunghezza r

• La velocit`a angolare media ω di un corpo rigido in rotazione `e il rapporto fra spostamento angolare e intervallo di tempo:

ω = θ_f − θ_i

t_f − t_i = ∆θ

∆t

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Velocit` a angolare

• La velocità angolare istantanea ω è definita come il limite della velocità angolare media ω quando l’intervallo di tempo tende a zero:

ω = lim

∆t→0

∆θ

∆t = dθ dt

• Unit`a della velocit`a angolare: radianti/s, o anche s⁻¹ (i radianti non hanno dimensione)

• La velocit`a angolare `e positiva se θ aumenta (rotazione in senso antiorario), negativa se θ diminuisce (rotazione in senso orario)

• Notare l’analogia fra velocit`a per il moto lineare e velocit`a angolare per il moto rotazionale

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Accelerazione angolare

• L’accelerazione angolare media, α, di un corpo `e definita come il rapporto fra variazione della velocit`a angolare e il tempo richiesto per la variazione:

α = ω_f − ω_i

t_f − t_i = ∆ω

∆t

L’accelerazione angolare istantanea α `e il limite dell’accelerazione angolare media ω quando l’intervallo di tempo tende a zero:

α = lim

∆t→0

∆ω

∆t = dω

dt = d²θ dt²

• Le unit`a dell’accelerazione angolare sono radianti/s², oppure s⁻² (giacch´e i radianti non hanno dimensioni)

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Direzione e verso

• Velocit`a e accelerazione angolare possono essere definiti come vettori

~

ω e ~α, rispettivamente di modulo ω e α, diretti lungo l’asse di rotazione

• Il verso di ~ω `e dato dalla regola della mano destra

• ~α è diretto come ~ω se la velocità angolare aumenta, in senso opposto se la velocità angolare diminuisce

Con questa definizione, la velocità di un punto del corpo rigido può essere scritta in generale come ~v = ~ω × ~r , ovvero v = ωr_⊥, dove r_⊥ è la distanza dall’asse. Questa è l’espressione da usare in tre dimensioni.

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Velocit` a e accelerazione

La velocità in un corpo che ruota attorno ad un asse, ~v = ~ω × ~r, è sempre tangente al percorso: v = v_T (velocità tangenziale).

L’accelerazione,

~a = d~v

dt = d~ω

dt × ~r + ~ω × d~r dt,

ha una componente tangenziale e una radiale, o centripeta:

a_T = dv

dt = r_⊥α, a_c = v²

r = r_⊥ω² con |~a| = pa²_T + a²_c = r_⊥√

α² + ω⁴

(dimostrazione: sostituire d~r/dt = ~v = ~ω × ~r, notare che ~ω × (~ω × ~r) = ~ω(~ω · ~r) − ~rω² = −ω²~r_⊥)

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Cinematica Rotazionale

Per accelerazione angolare costante (in modulo, direzione e verso!) si pu`o descrivere il moto del corpo rigido usando delle equazioni cinematiche: l’analogo rotazionale delle equazioni cinematiche del moto lineare. Matematicamente:

ω(t) = ω₀ + αt , θ(t) = θ₀ + ω₀t + 1

2αt² La relazione fra quantit`a lineari ed angolari `e semplicemente

s(t) = θr_⊥ , v(t) = ωr_⊥ , a_t = αr_⊥

dove a_t `e l’accelerazione tangenziale e r_⊥ la distanza dall’asse di rotazione (attenzione: non dall’origine!)

Notare che tutti i punti del corpo ruotante hanno lo stesso moto angolare, ma hanno moto lineare differente.

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Energia Cinetica Rotazionale

Un corpo ruotante con velocit`a angolare ω possiede un’energia cinetica rotazionale. Ogni particella del corpo ha energia cinetica K_i = 1

2m_iv_i², dove v_i = ωr_⊥i. L’energia cinetica rotazionale `e la somma di tali energie:

K_R = X

i

K_i = X

i

1

2m_iv_i² = 1 2

X

i

m_ir_⊥i²

!

ω² ≡ 1

2Iω² dove la quantit`a I `e nota come momento d’inerzia.

Notare l’analogia fra energie cinetiche associate al moto lineare:

K = 1

2mv², e associate al moto rotazionale, K_R = 1

2Iω².

L’energia cinetica rotazionale non `e un nuovo tipo di energia! E’ energia cinetica e si misura nelle stesse unit`a, joule (J)

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Energia Cinetica Rotazionale (2)

In generale la velocità di un punto può essere scritta come ~v_i = ~V_CM+~u_i, dove ~V_CM è la velocità del centro di massa (CM), ~u_i la velocità nel sistema di riferimento del CM. L’energia cinetica diventa quindi

K = X

i

1

2m_iv_i² = X

i

1

2m_iV_CM² + 1

2m_iu²_i + m_i~u_i · ~V_CM

ma il terzo termine `e nullo perch´e P

i m_i~u_i = 0 per definizione.

L’energia cinetica `e quindi la somma dell’energia cinetica del CM, pi`u l’energia cinetica rispetto al CM. Per un corpo che trasla e ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa, possiamo quindi scrivere

K = K_CM + K_R = 1

2M V_CM² + 1

2Iω²

con il moto del CM determinato unicamente dalle forze esterne.

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Momento d’inerzia

Definizione del momento d’inerzia: I = X

i

m_ir_⊥i² (Unit`a SI: kg·m²).

• Il momento d’inerzia dipende dall’asse di rotazione! (ma pu`o essere calcolato rispetto a qualunque origine, purch´e sull’asse di rotazione).

• Si pu`o calcolare il momento d’inerzia di un corpo dividendolo in piccoli elementi di volume, ognuno di massa ∆m_i. Nel limite continuo:

I = lim

∆m_i→0

X

i

∆m_ir_⊥i² = Z

r_⊥² dm.

• Come per il centro di massa, tale integrale `e in generale complicato, salvo per corpi di densit`a ρ costante (in tal caso, dm = ρdV e ci si riduce a un integrale di volume), oggetti di forma semplice, asse di rotazione simmetrico.

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Momento d’inerzia, esempi semplici

• Modello di una molecola biatomica omonucleare: due atomi di massa M a distanza d, rispetto ad un asse passante per il centro:

I = M d 2

²

+ M −d 2

²

= 1

2M d²

• ... e se la molecola biatomica `e eteronucleare? per due atomi di massa M₁ e M₂ a distanza d, che ruotano rispetto ad un asse passante per il centro di massa:

I = M₁d²₁ + M₂d²₂ = M₁M₂

M₁ + M₂d² ≡ µd² perch´e d₁ = M₂d/(M₁ + M₂), d₂ = M₁d/(M₁ + M₂).

La quantit`a µ `e nota come massa ridotta.

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Momento d’inerzia, esempi semplici

• Momento d’inerzia di un cilindro omogeneo attorno al suo asse: poniamo ρ = M/(πR²L), dm = ρ(2πrL)dr.

I =

Z R 0

r²ρ(2πrL)dr = 2M R²

Z R 0

r³dr

= 2M

R²

R⁴

4 = M R² 2

(da notare che vale anche per un disco)

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Momento d’inerzia per vari corpi rigidi

Guscio cilindrico sottile:

I = M R²

Sfera:

I = 2

5M R²

Sbarra sottile, asse passante per il centro:

I = 1

12M L²

Sbarra sottile, asse passante per un estremo:

I = 1

3M L²

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Momento d’inerzia di una sfera

Suddividiamo la sfera in dischi infinitesimi di raggio y e spessore dz (vedi figura):

I =

Z R

−R

ρπy² 2

y²dz = ρπ

Z R 0

y⁴dz (la funzione integrata `e pari: R R

−R = 2 R R 0 )

dove la quantit`a fra parentesi `e il momento d’inerzia di ogni disco;

ρ = 3M/4πR³ `e la densit`a di una sfera di massa M e raggio R.

Da y² + z² = R² si ottiene I = 3M 4R³

Z R 0

(R² − z²)²dz e infine

I = 3M 4R³

Z R 0

(R⁴+z⁴−2R²z²)dz = 3M 4R³

R⁴z + z⁵

5 − 2R²z³ 3

^R

0

= 2

5M R²

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Momento d’inerzia di una sfera (2)

Alternativa: usiamo l’angolo θ come variabile I =

Z π/2

−π/2

ρπ(R cos θ)²

2 (R cos θ)²

| {z }

HP

R cos θdθ

| {z }

dx

da cui

I = ρR⁵π

Z π/2 0

cos⁵ θdθ = 3

4M R²

Z π/2 0

1 − sin² θ²

cos θdθ da cui si ritrova il risultato precedente

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Un teorema utile sul momento d’inerzia

• Il momento d’inerzia I di un corpo di massa M rispetto ad un certo asse `e dato da

I = I_cm + M d²

dove I_cm `e il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello considerato, distante d da questo, e passante per il centro di massa del sistema considerato (teorema degli assi paralleli).

Dimostrazione: chiamiamo ~r_i e ~r ⁰_i le posizioni rispetto al primo asse e rispetto al CM, d la distanza fra l’origine sul primo asse e il CM, da cui ~~ r = ~r ⁰_i + ~d. Vale:

I = X

i

m_ir_⊥i² = X

i

m_i[(~r ⁰_i + ~d)_⊥]² = X

i

m_ir_⊥i⁰² + X

i

m_id²_⊥ + 2 X

i

m_i~r ⁰_i · ~d_⊥

ma X

i

m_i~r ⁰_i = 0 perch´e il centro di massa `e nell’origine, da cui l’enunciato.

(notare che ~a⊥ ·~b_⊥ = ~a ·~b⊥ = ~a⊥ ·~b, facilmente dimostrabile usando ~a_⊥ = ~a − ˆn(ˆn ·~a) e l’analogo per ~b_⊥, con ˆn versore dell’asse di rotazione)