Cinematica rotazionale
Moto Circolare Uniforme
Un oggetto che si muove su una circonferenza con una velocità costante v, compie un moto circolare uniforme.
Il modulo della velocità resta costante, ma la direzione cambia continuamente.
Un cambiamento nella direzione della velocità costituisce un' accelerazione proprio come costituisce un'accelerazione un cambiamento nel modulo della velocità.
cambiamento nel modulo della velocità.
ac
vt Il corpo che segue una traiettoria circolare a velocità costante è quindi soggetto ad un' accelerazione rivolta verso il centro del cerchio, chiamata accelerazione centripeta. Questa accelerazione sarà uguale ad:
r a vt
c
2
=
Moto Circolare Uniforme
L’accelerazione centripeta dipende da Vt ed da r in quanto più grande è la velocità Vt e più rapidamente cambia la direzione della velocità, quindi l' accelerazione aumenta.
Più è grande il raggio, e meno rapidamente la velocità cambia direzione e quindi l' accelerazione diminuisce.
v2
ac vt
r a vt
c
2
ω =
ω ω ω
La velocità può anche essere espressa in termini di velocità angolare che si esprime in radianti al secondo, definendo così la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta,
[ ]
= sec ω rad
( )
r r ar
v 2
2
e
ω ω
ω = =
=
Moto Circolare Uniformemente Accelerato
Se il moto è accelerato costantemente ed è circolare si parla di moto circolare uniformemente accelerato.
Questo è molto simile a quello rettilineo uniformemente accelerato, con la sola differenza che invece di accelerazione e velocità si parla di accelerazione angolare e velocità angolare.
accelerazione angolare e velocità angolare.
L'accelerazione angolare è definita come la rapidità di variazione della velocità angolare.
ω ω
α = = &
dt d
ω α
ω r
dt r d dt
r d
dt
a = dvt = ( ) = =
tan
Parlando di accelerazione angolare è utile definire anche l'accelerazione tangenziale da non confondere con l' accelerazione centripeta ar.
Le equazioni cinematiche a confronto
Moto uniformemente accelerato
at v
v =
0+ ω = ω
0+ α t
1 1
lineare angolare
2 0
0
2
1 at t
v x
x = + +
0 0 22
1 t
t α
ω θ
θ = + +
) (
2
02 0
2
v a x x
v = + − ω
2= ω
02+ 2 α ( θ − θ
0)
Un problema di cinematica rotazionale
Un punto materiale P si muove lungo una traiettoria circolare di centro O e raggio R seguendo la legge oraria:
Dove c=1m/sec2 è la sua accelerazione
s P θ
θ θ θ
R
o
2
2 1 ct R
s = θ =
Dove c=1m/sec2 è la sua accelerazione tangenziale.
o
Si determini nel punto il valore della accelerazione angolare ed il modulo della accelerazione complessiva.
rad 2
= 3
θ
Un problema di cinematica rotazionale
Si tratta di un moto circolare uniformemente accelerato la cui velocità tangenziale è determinabile come:
s P θ
θθ θ
R
E quindi l’espressione v ct
=
ω = ct dt
ct d
s
vt =
=
=
2
2 1
&
o
R
t 2R 3
=
= θ
E quindi l’espressione
della velocità angolare è R ct R
vt
=
ω =
Dalla legge oraria si ha
R ct2
2
= 1
θ quindi l’angolo rad
2
= 3 θ
sarà raggiunto all’istante pertanto …
Un problema di cinematica rotazionale
… pertanto il cercato valore di velocità angolare è
sec 3
3
rad R
c R
c c R
=
ω =
Per la accelerazione totale a, bisogna ricordare che il a
a P
at
an
Per la accelerazione totale a, bisogna ricordare che il moto è circolare ed accelerato. E allora l’accelerazione è la somma vettoriale di una accelerazione centripeta e di una accelerazione tangenziale.
Quindi
t
n a
a
ar r r +
=
Pertanto, per il modulo di a, si avrà
2
2 a
a
a = +
Un problema di cinematica rotazionale
A questo punto ricordando che
mentre per la componente centripeta
R ct R
a vt
n
2
2 ( )
=
=
c dt
ct v d
at = t = ( ) =
&
che calcolata all’istante t prima determinato vale che calcolata all’istante t prima determinato vale
3 3
2
c R
c c R
an =
=
si ottiene
2
2 (c 3) 2c 2m
c
a = + = =
