œ "ß #ß  &#34

(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2008/09

Prova Intermedia Aprile 09

I M 1) Calcolare le radici cubiche del numero D œ $ 3^%!! # 3^"!# & 3^)#$ % 3^#".

I M 2) Sapendo che i vettori —_" œ "ß #ß  " , —2 œ #ß "ß " e —_$ œ B ß B ß B_" _# _$ costitui- scono una base di ‘^$ e che in tale base le coordinate del vettore ˜œ "ß $ß ! sono

#ß  #ß " , si determini —_$. Determinare poi, sempre in tale base, le coordinate del vettore

"ß "ß " .

I M 3) Data la matrice  œ , che ammette un autovalore fisso a 7ß 5, deter-

# ! "

# " #

" 7 5

â â

minare, al variare di e , l'esistenza di eventuali autovalori multipli.7 5

I M 4) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , deter-

" #  "  #

# $ " !

" ! & 5

" $ 7  '

â â

minare i valori di e che rendono minima la dimensione dell'Immagine e, in questo caso,7 5 determinare una base sia per l'Immagine che per il Nucleo di tale applicazione lineare.

I M 5) Le matrici e , non singolari, ammettono l'autovettore in corrispondenza dell'au-  — tovalore . Determinare, per la matrice - Œœ^#†^"† † ^"†, l'autovalore a cui corrisponde l'autovettore .—

English version

I M 1) Calculate the cube roots of the number D œ $ 3^%!! # 3^"!# & 3^)#$ % 3^#".

I M 2) The vectors —_" œ "ß #ß  " , —2 œ #ß "ß " and —_$ œ B ß B ß B_" _# _$ provide a basis for ‘^$ and the coordinates of the vector ˜œ "ß $ß ! in this basis are #ß  #ß " ; find —$. Then find, again in this basis, the coordinates of the vector "ß "ß " .

I M 3) Given the matrix  œ , that admits a fixed eigenvalue a 7ß 5, determi-

# ! "

# " #

" 7 5

â â

ne, depending on the variation of the parameters and , the existence of multiple eigenva-7 5 lues.

I M 4) Given the linear application generated by the matrix  œ , find

" #  "  #

# $ " !

" ! & 5

" $ 7  '

â â

the values for and for which the dimensionis of the Rankspace is minimum and, for these7 5 values, determine a basis for the Rankspace and for the Kernel of such a linear application.

I M 5) The two non-singular matrices and have the eigenvector corresponding to the  — eigenvalue . Find, for the matrix - Œœ^#†^"† † ^"†, the eigenvalue to which corresponds the eigenvector .—

Giugno 1-09

(2)

I M 1) Calcolare É^& "  3 ^#! # "  3 ^#!.

I M 2) Si consideri una applicazione lineare ‘^$ Ä‘^$, ˜œ —† per la quale:

- l'immagine del vettore "ß #ß $ è doppia dell'immagine del vettore #ß "ß # ; - il vettore "ß "ß " appartiene al Nucleo.

Si determini la caratteristica di .

I M 3) Sapendo che il vettore ha coordinate ˜  "ß "ß # nella base costituita dai vettori

—_" œ "ß #ß # , —2 œ  #ß  #ß " e —_$ œ "ß !ß # , si determinino le sue coordinate nella base costituita dai vettori e—_"ß #—2ß $—_$f.

I M 4) Data la matrice  œ , senza calcolarne esplicitamente gli autovalori,

" # ! 5  " 5

# " "

â â

si determini per quali valori del parametro il polinomio caratteristico della matrice è funzio-5 ne strettamente monotòna di , e si determini poi, quando la matrice ammette l'autovalore-

- œ ! , la tipologia degli altri due autovalori.

II M 1) Si verifichi che la funzione 0 Bß C œ BÈ^$ C risulta differenziabile in !ß ! .

II M 2) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo, relativi o assoluti, per la funzione 0 Bß C œ B  C^# ^# nella parte di piano contenuta nel primo quadrante, al di sotto del grafico della parabola C œ "  B^#.

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B C D œ " e il punto P che lo 1 Bß Cß D œ B  C  D œ "_# _# _# œ  "ß "ß  "

soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.

II M 4) Determinare se è possibile rendere massima o minima la superficie totale di un parallelepipedo di lati , e , sapendo che il volume del solido è pari a e che uno degli spigoli èB C D "

doppio di un altro.

English version I M 1) Compute É^& "  3 ^#! # "  3 ^#!.

I M 2) Consider a linear application ‘^$ Ä‘^$, ˜œ —† for which:

- the image of the vector "ß #ß $ is double respect to the image of the vector #ß "ß # ; - the vector "ß "ß " belongs to the Kernel.

Determine the rank of .

I M 3) If the vector has coordinates ˜  "ß "ß # in the base formed by —_" œ "ß #ß # ,

—2 œ  #ß  #ß " e —_$ œ "ß !ß # , determine its coordinates in the base formed by the vectors .e—_"ß #—2ß $—_$f

I M 4) Given the matrix  œ , without explicitly calculating its eigenvalues,

" # ! 5  " 5

# " "

â â

determine for what values of the parameter the characteristic polynomial of the matrix is a5 strictly monotonic function of , and then determine, when the matrix admits the eigenvalue-

- œ ! , the type of the two other eigenvalues.

II M 1) Verify that the function 0 Bß C œ BÈ^$ C is differentiable in !ß ! .

II M 2) Determine any points of maximum and/or minimum, relative or absolute, for the function 0 Bß C œ B  C^# ^# in the domain contained in the first quadrant, below the graph of the parabola C œ "  B^#.

(3)

II M 3) Given the system œ0 Bß Cß D œ B C D œ " and the point P

1 Bß Cß D œ B  C  D œ "_# _# _# œ  "ß "ß  "

that satisfies the system, determine an implicit function defined with it and compute the equation of the tangent line at the appropriate point.

II M 4) Determine if it is possible to maximize or minimize the total surface area of a parallelepiped with sides , and , knowing that the volume of the solid is equal to and that oneB C D "

of the edges is double of another.

Giugno 2-09

I M 1) Determinare autovalori e autovettori della matrice  œ .

"  " "

# ! #

" ! "

â â

I M 2) Data la matrice  œ , si determini se esistono valori del para-

#5  " ! !

! 5 !

5 ! $  5

â â

metro per i quali essa non risulta diagonalizzabile.5

I M 3) Determinare se e quanti valori esistono dei parametri e per i quali il vettore7 5

˜ œ "ß "ß  "ß 5 risulta esprimibile come combinazione lineare dei vettori

—_" œ "ß #ß "ß " , , —2 œ #ß "ß  %ß & —_$ œ  "ß #ß (ß  & e .—_% œ  #ß #ß "!ß 7 I M 4) Si consideri una applicazione lineare ‘^$ Ä‘^$, ˜œ —† per la quale:

- i vettori "ß  "ß " e "ß "ß  " appartengono al Nucleo;

- il vettore "ß #ß $ è autovettore corrispondente all'autovalore - œ #. Si determini l'immagine del vettore "ß "ß " .

II M 1) In un parallelepipedo di lati , e , il volume del solido è pari a e la sua superficieB C D "

totale è pari a . Dato che la terna ( "ß ß #" soddisfa a tali condizioni, determinare se è pos-

Œ # 

sibile definire una funzione implicita B Ä C B ß D B e di questa calcolare le derivate prime.

II M 2) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  % Ÿ ! B  %C  % Ÿ !

# #

#

II M 3) Determinare se esistono valori Bß C che rendono minimo il determinante della matrice . œ B C

B /

ºº ^# C^#ºº

II M 4) Data 0 Bß C œ B C  #B^# , e dati i versori e dei vettori ? @ "ß " e "ß ! , determinare se esistono punti nei quali T W_?0 T œÈ# e W_@0 T œ  %.

English version

I M 1) Find eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrix  œ .

"  " "

# ! #

" ! "

â â

I M 2) Given the matrix  œ , determine if there are values of the pa-

#5  " ! !

! 5 !

5 ! $  5

â â

rameter for which is not diagonalizable.5 

(4)

I M 3) Determine if and how many values for the parameters and exist for which the vec-7 5 tor ˜œ "ß "ß  "ß 5 is expressible as a linear combination of vectors —_" œ "ß #ß "ß " ,

—2 œ #ß "ß  %ß & , —_$ œ  "ß #ß (ß  & and .—_% œ  #ß #ß "!ß 7 I M 4) Consider a linear application ‘^$ Ä‘^$, ˜œ —† for which:

- the vectors "ß  "ß " and "ß "ß  " belong to the Kernel;

- the vector "ß #ß $ is an eigenvector corresponding to the eigenvalue -œ #. Find the image of the vector "ß "ß " .

II M 1) In a parallelepiped with sides , and , the volume of the solid is equal to and itsB C D "

total area is equal to . Since the triad ( "ß ß #" satisfies these conditions, determine if it is

Œ # 

possible to define an implicit function B Ä C B ß D B and compute its first derivatives.

II M 2) Solve the problem .

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  % Ÿ ! B  %C  % Ÿ !

# #

#

II M 3) Determine if there are values Bß C that minimizes the value of the determinant of the

matrix . œ B C

B /

ºº ^# ^#Cºº

II M 4) Given 0 Bß C œ B C  #B^# , let and be the unit vectors of ? @ "ß " and "ß ! ; determine if there are points where T W_?0 T œÈ# and W_@0 T œ  %.

Luglio 09

I M 1) Data la matrice  œ , calcolare le radici quadrate dei suoi autovalori

" ! "

" " !

! " "

â â

complessi.

I M 2) Partendo dai vettori —" œ "ß "ß ! e —2 œ !ß !ß  " si costruisca una base ortonor- male di ‘^$ e si trovino le coordinate, in tale base, del vettore ˜_/œ "ß "ß " .

I M 3) Determinare se esistono valori del parametro per i quali i vettori 5 —" œ "ß "ß " e

—2 œ "ß "ß 5 formano un angolo di °.%&

I M 4) Determinare la matrice simmetrica $ sapendo che ammette gli autovettori "ß !ß " e

"ß !ß  " in corrispondenza dell'autovalore -œ " e l'autovettore !ß "ß ! in corrispondenza dell'autovalore .- œ  "

II M 1) Data l'equazione 0 Bß C œ B  $BC  C  " œ !^$ ^$ ed il punto T œ  "ß ! che la soddisfa, si determini l'espressione del polinomio di Taylor di secondo grado della funzione implicita C œ C B definibile nel punto B œ  ".

II M 2) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione 0 Bß C œ B  C^# ^# nella regione costituita dal triangolo avente vertici !ß ! , #ß " e "ß # .

II M 3) Determinare l'espressione dei differenziali totali primo e secondo della funzione 0 Bß Cß D œ B /  C /^C ^D nel punto "ß !ß ! .

II M 4) Data la curva ‘Ä‘^$ß > Ä > ß >  >ß >ˆ ^# ^$ ‰, si determini in quale punto il vettore tangente alla curva è parallelo al vettore #ß  #ß  " e si determini poi, in quel punto, l'equazione della retta tangente.

English version

(5)

I M 1) Given the matrix  œ , calculate the square roots of its complex eigenva-

" ! "

" " !

! " "

â â

lues.

I M 2) Starting from the vectors —_" œ "ß "ß ! and —2 œ !ß !ß  " build an orthonormal basis for ‘^$ and find the coordinates, in this basis, of the vector ˜/ œ "ß "ß " .

I M 3) Determine if there are values of the parameter for which the vectors 5 —_" œ "ß "ß "

and —2 œ "ß "ß 5 form an angle of °.%&

I M 4) Determine the symmetric matrix _$ if the matrix admits the eigenvectors "ß !ß " and

"ß !ß  " corresponding to the eigenvalue -œ " and the eigenvector !ß "ß ! corresponding to the eigenvalue - œ  ".

II M 1) Given the equation 0 Bß C œ B  $BC  C  " œ !^$ ^$ and the point T œ  "ß ! that satisfies such equation, built the expression of Taylor's second degree polynomial of the implicit function C œ C B defined at the point B œ  ".

II M 2) Determine maximum and minimum points of the function 0 Bß C œ B  C^# ^# in the region formed by the triangle with vertices !ß ! , #ß " and "ß # .

II M 3) Determine the expression of the first and second order total differentials of the function 0 Bß Cß D œ B /  C /^C ^D at the point "ß !ß ! .

II M 4) Given the curve ‘Ä‘^$ß > Ä > ß >  >ß >ˆ ^# ^$ ‰, determine at what point the tangent vector to the curve is parallel to the vector #ß  #ß  " and then determine, at that point, the equation of the tangent line.

Settembre 1-09

I M 1) Calcolare il prodotto delle radici quarte dell'unità immaginaria.

I M 2) Data la matrice  œ , verificare che essa ammette un autovalore fisso

# ! "

# " #

"  & 5

â â

a 5, e determinare poi, al variare di , l'esistenza di autovalori multipli.5 I M 3) Si consideri l'applicazione lineare ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† per la quale:

0 B ß B ß B ß B_" _# _$ _% œ B  B  B à B  B  B à B  B  B_" _# _$ _# _$ _% _" _$ _% .

Determinare una base per il Nucleo e una base per l'Immagine di tale applicazione lineare.

I M 4) Determinare l'inversa della matrice  œ . Si valuti la procedura più

" ! ! !

" " ! !

" " " !

" " " "

â â

opportuna.

II M 1) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione 0 Bß C œ / C  C B^B ^# ^#. II M 2) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione 0 Bß C œ B  C  "^# ^# nel triangolo di vertici !ß ! ß "ß ! e !ß " .

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B  C  D œ " e il punto P che lo 1 Bß Cß D œ BC  CD  BD œ "^# ^# ^$ œ "ß "ß  "

soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.

(6)

II M 4) In un problema di massimi e minimi per 0 À‘^$ Ä‘ con un vincolo di uguaglianza, l'Hessiano orlato, calcolato in un punto stazionario per la funzione Lagrangiana, risulta essere pari a ‡ œ . Determinare, al variare di , la natura del punto stazionario.5

! " " "

" 5 ! "

" ! " 5

" " 5 "

â â

English version

I M 1) Compute the product of the fourth roots of the imaginary unit.

I M 2) Given the matrix  œ , verify that it admits a fixed eigenvalue a 5,

# ! "

# " #

"  & 5

â â

and then determine, on varying , the existence of multiple eigenvalues.5 I M 3) Consider the linear application ‘^% Ä ‘^$, ˜œ —† for which:

0 B ß B ß B ß B_" _# _$ _% œ B  B  B à B  B  B à B  B  B_" _# _$ _# _$ _% _" _$ _% .

Determine a basis for the Kernel and a basis for the Rankspace of this linear application.

I M 4) Determine the inverse of the matrix  œ . Evaluate the appropriate

" ! ! !

" " ! !

" " " !

" " " "

â â

procedure.

II M 1) Determine maximum and minimum points for the function 0 Bß C œ / C  C B^B ^# ^#. II M 2) Determine maximum and minimum points for the function 0 Bß C œ B  C  "^# ^# in the triangle with vertices !ß ! ß "ß ! and !ß " .

II M 3) Given the system œ0 Bß Cß D œ B  C  D œ " and the point P

1 Bß Cß D œ BC  CD  BD œ "^# ^# ^$ œ "ß "ß  "

that satisfies such system, determine an implicit function definable with it and calculate the equation of the tangent line at the appropriate point.

II M 4) In a problem of maxima and minima with an equality constraint for 0 À‘^$ Ä‘, the bordered Hessian, computed in a stationary point for the Lagrangian function, is equal to

‡ œ 5

! " " "

" 5 ! "

" ! " 5

" " 5 "

â â

. Determine, on varying , the nature of such stationary point.

Settembre 2-09

I M 1) Determinare l'inversa ^" della matrice œ e calcolare ^".

! ! 3

! 3 !

3 ! !

â â

I M 2) La matrice  œ ammette l'autovettore "ß "ß " in corrispon-

" 7 "

5 ! 2

#5  7  #2

â â

denza dell'autovalore - œ #. Determinare gli altri autovalori della matrice.

(7)

I M 3) L'applicazione lineare ‘^% Ä‘^%, ˜œ —† con œ ha, per op-

" ! ! 5 5 " ! !

! 5 " !

! ! 5 "

â â

portuni valori di , dimensione massima per il suo Nucleo. In tali casi se ne determini una5 base.

I M 4) Studiare la presenza di autovalori multipli per la matrice  œ al va-

" ! ! "

! 5 5 !

" ! ! "

â â

riare del parametro , e determinare una matrice ortogonale che diagonalizza nel caso in5  cui essa presenta un autovalore con la massima molteplicità algebrica.

II M 1) Risolvere il problema Max/min .

s.v.:

œ 0 Bß C œ #B  #C

BC œ "

s.v.:

œ 0 Bß C œ BC  B  C

B  C Ÿ "

# #

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B  BCD  C  C D œ !^$ ^$ ^{# #} ed il punto "ß "ß " che la soddisfa, determinare una funzione implicita con essa definibile e di questa determinare l'e- quazione del piano tangente nel punto opportuno.

II M 4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ /^B#C cos B  D , se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

English version

I M 1) Determine the inverse ^" of the matrix œ and compute ^".

! ! 3

! 3 !

3 ! !

â â

I M 2) The matrix  œ admits the eigenvector "ß "ß " corresponding

" 7 "

5 ! 2

#5  7  #2

â â

to the eigenvalue - œ #. Find the other eigenvalues of the matrix.

I M 3) The linear application ‘^% Ä‘^%, ˜œ —† with œ has maxi-

" ! ! 5 5 " ! !

! 5 " !

! ! 5 "

â â

mum dimension for its Kernel for appropriate values of . Find, for such values, a basis for5 the Kernel.

I M 4) Evaluate the presence of multiple eigenvalues for the matrix  œ on

" ! ! "

! 5 5 !

" ! ! "

â â

varying the parameter , and then determine an orthogonal matrix that diagonalizes when it5  has an eigenvalue with maximum algebraic multiplicity.

II M 1) Solve the problem Max/min .

s.v.:

œ 0 Bß C œ #B  #C

BC œ "

s.v.:

œ 0 Bß C œ BC  B  C

B  C Ÿ "

# #

(8)

II M 3) Given the equation 0 Bß Cß D œ B  BCD  C  C D œ !^$ ^$ ^{# #} and the point "ß "ß "

that satisfies such equation, determine an implicit function definable with it and determine for such function the equation of the tangent plane at the appropriate point.

II M 4) Given the function 0 Bß Cß D œ /^B#C cos B  D , determine the expression of its second degree Mac Laurin's polynomial.

Ottobre 09

I M 1) Determinare tutte le soluzioni dell'equazione B  (B  "%B  ) œ !^' ^% ^# .

I M 2) Data la matrice  œ determinare per quali valori del parametro risulta5

" ! "

! 5 !

" ! "

â â

 —† œ— e determinare poi, sempre al variare del parametro , se la matrice può risultare5 non diagonalizzabile.

I M 3) Data l'applicazione lineare ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† , con œ ,

" !  " #

# " 7 !

 " # " 5

â â

determinare se e per quali valori di e il vettore 7 5 œ appartiene all'Immagine di

#

%

˜

â â

â ââ â â ââ â â ââ â tale applicazione lineare.

I M 4) Data la matrice  œ si determini se la sua inversa risulta diagonaliz-

# # "

! "  "

" # !

â â

zabile.

s.v.:

œ 0 Bß C œ /  /

B  C œ "

B C

II M 2) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B  C  D  %B  %C  %D œ 5^% ^% ^% , con da determi-5 narsi opportunamente, si determini se esistono punti che la soddisfano ma nei quali non è possibile definire alcuna funzione implicita.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C B  C Ÿ "

C Ÿ !

#

# #

II M 4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B  C  D  #BC^# ^# ^# , siano , e i versori dei vettori? @ A

—" œ "ß  "ß ! , —# œ "ß !ß " e —$ œ !ß "ß " . Determinare se e in quali punti risulta:

ÚÝ ÛÝ Ü

È È

È W

W W

?

@ A

0 T œ % #

0 T œ $ #

0 T œ  #

.

English version

I M 1) Find all the roots of the equation B  (B  "%B  ) œ !^' ^% ^# .

I M 2) Given the matrix  œ , determine for which values of the parameter is5

" ! "

! 5 !

" ! "

â â

 —† œ— and then check, always on varying the parameter , if the matrix cannot be diago-5 nalizable.

(9)

I M 3) Given the linear application ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† , with œ ,

" !  " #

# " 7 !

 " # " 5

â â

determine if and for what values of and the vector 7 5 œ belongs to the Rankspace

#

%

˜

â â

â ââ â â ââ â â ââ â of such linear application.

I M 4) Given the matrix  œ determine if its inverse results a diagonalizable

# # "

! "  "

" # !

â â

matrix.

s.v.:

œ 0 Bß C œ /  /

B  C œ "

B C

II M 2) Given the equation 0 Bß Cß D œ B  C  D  %B  %C  %D œ 5 5^% ^% ^% , to be appro- priately determined, evaluate if there are points, satisfying such equation, for which is not possible to define any implicit function.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C B  C Ÿ "

C Ÿ !

#

# #

II M 4) Given the function 0 Bß Cß D œ B  C  D  #BC^# ^# ^# , let , and be the unit vec-? @ A tors of —_" œ "ß  "ß ! , —_# œ "ß !ß " and —_$ œ !ß "ß " . Determine if and at what points results:

ÚÝ ÛÝ Ü

È È

È W

W W

?

@ A

0 T œ % #

0 T œ $ #

0 T œ  #

.

I Appello Sessione Invernale 2010 I M 1) Sapendo che / œ #  #^D È$ 3, calcolare .D

I M 2) Data la matrice  œ , se ne determini la caratteristica, al varia-

" ! ! 5

!  " ! !

! ! " !

5 ! !  "

â â

re del parametro 5 −‚, e, sempre al variare di , si studi la molteplicità dei suoi autovalori.5 I M 3) Determinare, al variare dei parametri e , se il vettore 7 5 ˜œ  (ß  (ß ""ß ! appartiene al sottospazio generato dai vettori —_" œ "ß  "ß 7ß  # e —_# œ  #ß #ß "ß 5 . I M 4) Determinare tutte le matrici $ per le quali il vettore "ß  "ß # appartiene al Nucleo dell'applicazione lineare ˜œ —† ; il vettore "ß #ß $ è un autovettore corrispondente all'autovalore - œ  #, sapendo infine che la dimensione del Nucleo è pari a ."

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C  "

C  B  " Ÿ ! B Ÿ !

#

II M 2) Determinare, al variare del parametro , la natura dei punti stazionari della funzione5 0 Bß C œ B  5BC  C^# ^$.

(10)

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ /^{B" C} C /^{# B"} œ !, si determinino tutti i punti "ß C che la soddisfano, si verifichi in tali punti l'applicabilità del Teorema del Dini per una funzione implicita C œ C B , e di questa si calcoli la derivata prima.

II M 4) Data 0 Bß C œ B C  B^# ^# e T œ "ß #_! , calcolare W_@0 T_! , dove rappresenta la@ direzione che da porta nell'origine T_! !ß ! .

English version I M 1) If / œ #  #^D È$ 3, compute .D

I M 2) Given the matrix  œ , determine its rank, on varying the para-

" ! ! 5

!  " ! !

! ! " !

5 ! !  "

â â

meter 5 −‚, and, again on varying , study the multiplicities of its eigenvalues.5

I M 3) Determine, on varying the parameters and , if the vector 7 5 ˜œ  (ß  (ß ""ß ! may belong to the subspace spanned by the two vectors —_" œ "ß  "ß 7ß  # and

—_# œ  #ß #ß "ß 5 .

I M 4) Find all the matrices _$ for which these properties are all satisfied:

a) the vector "ß  "ß # belongs to the Kernel of the linear application ˜œ —† ; b) the vector "ß #ß $ is an eigenvector corresponding to the eigenvalue -œ  #; c) the dimension of the Kernel is equal to ."

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C  "

C  B  " Ÿ ! B Ÿ !

#

II M 2) Determine, on varying the parameter , the type of stationary points of the function5 0 Bß C œ B  5BC  C^# ^$.

II M 3) Given the equation 0 Bß C œ /^{B" C}  C /^{# B"} œ !, find all the points "ß C that satisfy such equation, verify at these points the applicability of Dini's theorem for an implicit function C œ C B , and for this function compute the first derivative.

II M 4) Given 0 Bß C œ B C  B^# ^# and T œ "ß #_! , compute W_@0 T_! , where represents@ the direction that from brings to the origin T_! !ß ! .

II Appello Sessione Invernale 2010 I M 1) Calcolare la somma delle radici cubiche del numero D œ )3.

I M 2) Data l'applicazione lineare ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† con œ , de-

"  " $ #

# " " 7 ) " * 5

â â

terminare i valori di e per i quali sono uguali le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine7 5 di tale applicazione, e per i quali l'immagine del vettore "ß "ß "ß " è il vettore &ß "ß "$ . I M 3) Determinare una matrice ortogonale che diagonalizza  œ , sapen-

" ! #

! "  "

#  " 5

â â

do che la matrice non è invertibile.

(11)

I M 4) Date le matrici œ " 5 "  " e œ  " " , si determini per

5 !  " " 5 !

" "

# 5

ºº ºº

â â

quali valori di la matrice 5  † ha due autovalori dello stesso segno.

II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ , si determini il valore di

B C

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

Ú ÛÜ

# $

# # #

5 per il quale la funzione risulta continua a Bß C − ‘^#, verificando poi se la funzione risulta anche differenziabile in !ß ! .

II M 2) Data l'equazione 0 Bß C œ B  C œ "^C ^B , soddisfatta in T œ #ß " , si determini l'e- quazione della retta tangente al grafico della funzione implicita C œ C B da essa definita.

II M 3) Data 0 Bß C œ B †logˆB  C^#‰, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  $C C  B Ÿ #

C Ÿ B

#

# #

#

English version

I M 1) Calculate the sum of the cube roots of the number D œ )3.

I M 2) Given the linear application ‘^% Ä‘^$, ˜œ —† with œ ,

"  " $ #

# " " 7 ) " * 5

â â

find the values for and for which Kernel and Rankspace of such application have equal7 5 dimensions, and the values of and for which the image of the vector 7 5 "ß "ß "ß " is given by the vector &ß "ß "$ .

I M 3) Find an orthogonal matrix that diagonalizes  œ , knowing that the

" ! #

! "  "

#  " 5

â â

matrix is not invertible.

I M 4) Given the matrices œ " 5 "  " and œ  " " , determine the

5 !  " " 5 !

" "

# 5

ºº ºº

â â

values of for which the matrix 5  † has two eigenvalues with the same sign.

II M 1) Given the function 0 Bß C œ , determine the value

B C

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

Ú ÛÜ

# $

# # #

of for which the function is continuous 5 a Bß C − ‘^#, then checking if the function is also differentiable at !ß ! .

II M 2) Given the equation 0 Bß C œ B  C œ "^C ^B , satisfied at T œ #ß " , determine the equation of the tangent line to the graph of the implicit function C œ C B defined by such equation.

II M 3) Given 0 Bß C œ B †logˆB  C^#‰, determine its maximum and/or minimum relative points.

(12)

II M 4) Solve the problem . Max/min

s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  $C C  B Ÿ #

C Ÿ B

#

# #

#

Appello Sessione Straordinaria I 2010 I M 1) Calcolare le radici cubiche di D œ $  3  #  3.

"  3 3

I M 2) Determinare se e come, al variare dei parametri e , il vettore 7 5 ˜œ  #ß &ß 5 può essere espresso come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß #ß % , —# œ  #ß %ß ! ,

—_$ œ #ß !ß % e —_% œ $ß 7ß ( .

I M 3) Data la matrice  œ si determini, al variare del parametro , la pre-5

" !  "

! 5 !

" ! 5

â â

senza di autovalori multipli e quella di autovalori complessi.

I M 4) Data la matrice œ , si determini se la matrice  risulta

"  " !

! "  "

! ! "

â â

"

diagonalizzabile.

II M 1) Data la curva ‘Ä‘^$ À > Ä /Š ^{> >}^# à >  >ß^# sen>‹, se ne determini l'equazione della retta tangente nel punto > œ !.

II M 2) Dato il sistema sen cos cos ed il

œ0 Bß Cß D œ B  C  B  D  C  D œ !

1 Bß Cß D œ B  C  D  BCD œ !^$ ^$ ^%

punto Pœ "ß "ß " che lo soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  #B Ÿ $ B  C  #B Ÿ $

# #

II M 4) Determinare se può essere resa minima o massima l'area di un rettangolo sapendo che la sua diagonale ha lunghezza pari ad ."

English version I M 1) Compute the cube roots of D œ $  3  #  3.

"  3 3

I M 2) Determine whether and how, on varying the parameters and , the vector7 5

˜œ  #ß &ß 5 may be expressed as a linear combination of the vectors —_" œ "ß #ß % ,

—_# œ  #ß %ß ! , —_$ œ #ß !ß % and .—_% œ $ß 7ß (

I M 3) Given the matrix  œ determine, on varying the parameter , the5

" !  "

! 5 !

" ! 5

â â

presence of multiple eigenvalues and then the presence of complex eigenvalues.

I M 4) Given the matrix œ , determine if the matrix  is diago-

"  " !

! "  "

! ! "

â â

"

nalizable.

(13)

II M 1) Given the curve ‘Ä‘^$ À > Ä /Š ^{> >}^# à >  >ß^# sen>‹, determine the equation of the tangent line at the point > œ !.

II M 2) Given the system sen cos cos and

œ0 Bß Cß D œ B  C  B  D  C  D œ !

1 Bß Cß D œ B  C  D  BCD œ !^$ ^$ ^%

the point P œ "ß "ß " that satisfies such system, determine an implicit function defined with it and calculate for this function the equation of the tangent line at the appropriate point.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  #B Ÿ $ B  C  #B Ÿ $

# #

II M 4) Determine if it can be minimized or maximized the area of a rectangle knowing that its diagonal has length equal to ."

œ &#34;ß #ß  &#34

œ "ß #ß  &#34