œ #ß "ß  &#34

(1)

COMPITI DI MATHEMATICS for economic applications AA. 2010/11

Prova Intermedia 2011

I M 1) Dopo aver calcolato Ë Œ^$ " % & , si calcoli il prodotto delle tre radici tro-

$ "  3  #  3 vate.

I M 2) Data la matrice  œ , si determini una matrice ortogonale che la dia-

" ! ! "

! " ! !

! ! " !

" ! ! "

â â

gonalizza.

I M 3) Determinare, al variare dei parametri e , se il vettore 5 7 ˜œ "ß "ß 7 è esprimibile come combinazione lineare dei vettori —_" œ "ß  #ß # , —_# œ #ß "ß  " e —_$ œ "ß $ß 5 . I M 4) Date œ " # e œ $ # matrici simili, determinare almeno una matrice

$ % % #

ºº ºº ºº ºº

 che realizza la similitudine tra e . 

I M 5) Data la matrice  œ , si determini per quali valori di la matrice risulta5

" " "

! " "

" ! 5

â â

invertibile e si determini poi l'inversa ^" nel caso che risulti ¸^"¸ œ ".

$ English version

I M 1) After calculating Ë Œ^$ " % & , compute the product of the three roots.

$ "  3  #  3

I M 2) Given the matrix  œ , determine an orthogonal matrix that diagona-

" ! ! "

! " ! !

! ! " !

" ! ! "

â â

lizes .

I M 3) Check if and how, varying the parameters and , the vector 7 5 ˜œ "ß "ß 7 may be expressed as a linear combination of the vectors —" œ "ß  #ß # , —# œ #ß "ß  " and

—_$ œ "ß $ß 5 .

I M 4) Given the two similar matrices œ " # and œ $ # , determinate at least

$ % % #

ºº ºº ºº ºº

one matrix that realizes the similarity between and .  

I M 5) Given the matrix  œ , find the values of for which the matrix is inver-5

" " "

! " "

" ! 5

â â

tible and then determine the inverse ^" under the assumption that ¸^"¸ œ " .

$ I Appello Sessione Invernale 2011

(2)

I M 1) Se D œ " È$ 3, calcolare D^$^#.

I M 2) Date le matrici œ #  # e œ ! " , dopo aver verificato che  † e

$ " # "

ºº ºº ºº ºº

 † hanno gli stessi autovalori, verificare se è possibile diagonalizzarle con una stessa matrice modale.

I M 3) Le colonne della matrice œ costituiscono una base di ‘ . Determi-

" !  #

! " !

# ! "

â â

$

nare le coordinate del vettore ˜ œ "ß  "ß # in tale base.

I M 4) Data l'applicazione lineare 0 À Ä , † œ con œ , determi-

" # %

" ! "

# 5 "

" # 5

‘^$ ‘  —^% ˜ 

â â

nare, al variare di , le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine di tale applicazione lineare.5 II M 1) Data l'equazione 0 Bß C œ B C  C B œ !^% ^$ ed il punto T œ "ß "! che la soddisfa, determinare l'espressione del polinomio di Taylor di II grado della funzione implicita

B Ä C B da questa definita.

II M 2) Risolvere il problema Max/min 3 .

s.v.:

œ 0 Bß C œ B  C 

BC  B œ "

II M 3) Data 0 Bß C œ /^BC  /^CB calcolare W_@0 "ß " , dove è il versore di @ "ß  " . II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B D  C  D  BC^{# #} ^# ^# , verificare che i suoi punti stazionari sono tutti punti di sella.

English version I M 1) If D œ " È$ 3, compute D^$^#.

I M 2) Given the matrices œ #  # e œ ! " , after verifying that  † and

$ " # "

ºº ºº ºº ºº

 † have the same eigenvalues, check if it is possible to diagonalize both the matrices with the same modal matrix.

I M 3) The columns of the matrix œ provide a basis for ‘ . Determine the

" !  #

! " !

# ! "

â â

$

coordinates of the vector ˜ œ "ß  "ß # with respect to such basis.

I M 4) Given the linear application 0 À Ä , † œ with œ , find,

" # %

" ! "

# 5 "

" # 5

‘^$ ‘  —^% ˜ 

â â

depending on the variation of the parameter , the dimensions of Kernel and Rankspace of5 such linear application.

II M 1) Given the equation 0 Bß C œ B C  C B œ !^% ^$ and the point T œ "ß "! that satisfies such equation, determine the expression of the second degree Taylor polynomial of the implicit function B Ä C B defined by this equation.

II M 2) Solve the problem Max/min 3 .

s.v.:

œ 0 Bß C œ B  C 

BC  B œ "

II M 3) Given 0 Bß C œ /^BC  /^CB compute W@0 "ß " , if is the unit-vector of @ "ß  " .

(3)

II M 4) Given 0 Bß Cß D œ B D  C  D  BC^{# #} ^# ^# , ensure that all its stationary points are sad- dle points.

II Appello Sessione Invernale 2011

I M 1) Data la matrice  œ , determinarne gli autovalori e i corrispondenti

" !  #

! " !

# ! "

â â

autovettori.

I M 2) Data la matrice  œ determinare, al variare dei parametri e la pre-7 5

" ! 7

! # !

5 " "

â â

senza di autovalori multipli.

I M 3) Sia 0 B ß B ß B_" _# _$ œ B  B ß B  B ß B  $B  #B ß  B  #B  $B_" _# _" _$ _" _# _$ _" _# _$ una applicazione lineare 0 À‘^$ Ä‘^%; si determinino la dimensione ed una base per l'Immagine e per il Nucleo di tale applicazione.

I M 4) Partendo dal vettore —_" œ "ß !ß  " , si determini una base ortonormale per ‘^$. II M 1) Verificare che a 5 la forma quadratica generata dalla matrice œ è

" ! 5

! " "

5 " 5

‡

â â

una forma quadratica indefinita.

II M 2) Risolvere il problema Max/min . s.v.:

œ 0 Bß C œ BC  C

B  #C œ "^# ^#

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B C  C D  BCD œ "^% ^{$ #} ^$ ed i punti T œ  "ß "ß !_" e T œ "ß "ß "_# che la soddisfano, determinare in quale di essi è definibile una funzione implicita Bß C Ä D Bß C e di questa determinare le derivate prime nel punto opportuno.

II M 4) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B C  BC^$ ^#. English version

I M 1) Given the matrix  œ , find its eigenvalues and the corresponding ei-

" !  #

! " !

# ! "

â â

genvectors.

I M 2) Given the matrix  œ check, depending on the variation of the parame-

" ! 7

! # !

5 " "

â â

ters and , the existence of multiple eigenvalues.7 5

I M 3) Given 0 B ß B ß B_" _# _$ œ B  B ß B  B ß B  $B  #B ß  B  #B  $B_" _# _" _$ _" _# _$ _" _# _$ , a linear application 0 À‘^$ Ä‘^%, find the dimensions and the bases for Rankspace and Kernel of such linear application.

I M 4) Starting from the vector —_" œ "ß !ß  " , construct an orthonormal basis for ‘^$. II M 1) Verify that a 5 the quadratic form generated by the matrix œ is a non

" ! 5

! " "

5 " 5

‡

â â

definite quadratic form.

(4)

II M 2) Solve the problem Max/min . s.v.:

œ 0 Bß C œ BC  C

B  #C œ "^# ^#

II M 3) Given the equation 0 Bß Cß D œ B C  C D  BCD œ "^% ^{$ #} ^$ and the points T œ  "ß "ß !_" and T œ "ß "ß "_# that satisfie such equation, check for which of them is definable an implicit function Bß C Ä D Bß C and determine its first derivatives at the ap- propriate point.

II M 4) Check the nature of the stationary points of the function 0 Bß C œ B C  BC^$ ^#.

œ #ß &#34;ß  &#34

œ #ß "ß  &#34