œ "ß  "ß 7ß

(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2007/08

Prova Intermedia Aprile 08

I M 1) Dopo aver trovato le soluzioni dell'equazione B  B  #B  % œ !^$ ^# , si calcolino le radici cubiche del prodotto di tali soluzioni.

I M 2) Dato il sistema lineare:

0 B ß B ß B ß B_" _# _$ _% œ B  $B ß #B  #B ß B  #B ß #B  5B_" _# _" _# _$ _% _$ _% œ "ß  "ß 7ß ! , se ne determini, al variare dei parametri e , esistenza e numerosità delle soluzioni.7 5

I M 3) Data la matrice  œ si determini, al variare del parametro ,5

"  " !

 " # 5

! " "

â â

quando essa risulti diagonalizzabile.

I M 4) L'applicazione lineare 0 À‘^$ Ä‘^$ è tale che:

Ú ÛÜ

0 "ß #ß " œ "ß $ß $

"ß "ß ! − 0

!ß "ß # œ "

Nucleo

è autovettore relativo all'autovalore

. -

Dopo aver determinato le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo di tale applicazione lineare, si determini una base per ciascuno dei due sottospazi.

I M 5) Si determini una matrice ortogonale che diagonalizza  œ .

! " " "

" ! " "

" " ! "

" " " !

â â

Giugno 1-08

I M 1) Data la matrice  œ , si calcolino le radici cubiche del suo de-

! #  "

3 $ 3  "

"  3  # #  3

â â

terminante.

I M 2) Date le due applicazioni lineari:

0 À‘^$ Ä‘^#, 0 B ß B ß B_" _# _$ œ B  B  #B ß #B  B  B_" _# _$ _" _# _$ e 1 À‘^# Ä‘^$, ,1 B ß B_" _# œ  B  #B ß B ß  B  B_" _# _" _" _#

si determini se risulta diagonalizzabile la matrice dell'applicazione composta 1 0 — .

I M 3) Data la matrice  œ , si verifichi se essa può essere diagonalizzata me-

! # !

" ! "

! # !

â â

diante una matrice ortogonale.

I M 4) Date le matrici œ " # , œ B C e ‚œ # 7 , si studi, al va-

5  # D A "  "

ºº ºº ºº ºº ºº ºº

riare dei parametri e , esistenza e numerosità delle soluzioni del problema 5 7  † œ‚, in- tendendo ovviamente Bß Cß D A e come incognite

(2)

II M 1) Data la matrice  œ , si determini se esistono valori di , e che ren-B C D

B ! !

! C !

! ! D

â â

dono massimo o minimo il valore della traccia della matrice sotto il vincolo che la somma dei minori principali di secondo ordine della matrice sia pari ad ."

II M 2) Data 0 Bß C funzione differenziabile due volte, siano , e i versori, rispettiva-? @ A mente, di "ß ! , di !ß " e di "ß " . Sapendo che: W_?ß@^# 0 P! œ #, W^#_Aß@0 P! œ ! e che

W^#_?ß?0 P_! œ #, si determini la matrice Hessiana della funzione in P ._!

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B C  C B  D œ " e il punto P , de- 1 Bß Cß D œ /_BC^#  /^#_CD  /^$_DB œ " œ "ß "ß "

terminare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione del vettore tangente.

II M 4) Risolvere il problema Max/min . s.v.:

œ 0 Bß C œ BC

C  #C Ÿ B Ÿ C

#

Giugno 2-08

I M 1) Calcolare le radici quadrate del prodotto scalare dei vettori — œŠÈ$ß 3  "ß 3È$‹ e

˜ œ #  3ß  "ß $  #3

$

È .

I M 2) Data la matrice  œ , si determini se e per quali valori del parametro 5

5 ! 5

! 5 !

5 ! 5

â â

essa ammette autovalori multipli. Si verifichi poi che la base per la matrice ortogonale che la diagonalizza è sempre la stessa, qualunque sia .5

I M 3) Si determini se e per quali valori del parametro il vettore 5 —œ "ß "ß " può essere espresso come una combinazione lineare dei tre vettori —" œ "ß "ß 5 , —# œ "ß 5ß " e

—_$ œ 5ß "ß " .

I M 4) Data la matrice  œ , si determini se esistono valori del parametro per5

" ! 5

" # !

" # $

â â

i quali la matrice ammette come autovalori elementi della diagonale principale, e si stabilisca se, in questi casi, la matrice risulta diagonalizzabile.

œ 0 Bß C œ /

B  C Ÿ "

BC

# #

II M 2) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B  C  5D œ ! e il punto P , si determi- 1 Bß Cß D œ BCD  B  C œ !^# ^# œ "ß "ß !

ni per quali valori di tale sistema non consente di definire alcuna funzione implicita, e si de-5 termini poi l'equazione della retta tangente nel punto B œ " quando con esso è definibile una funzione implicita B Ä C B ß D B .

II M 3) Rendere massimo o minimo il volume di un parallelepipedo di lati , e sapendoB C D che la sua superficie totale è pari a .#

II M 4) Data la curva > Ä Bß C œ "  $>ß >  "ˆ ^# ‰, si calcoli l'equazione della retta tangente ad essa nel punto corrispondente a > œ !, si determini poi l'espressione cartesiana C œ 0 B di tale curva e se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

Luglio 08

(3)

I M 1) Data la matrice œ " # si determini se esiste una matrice œ B B che

$ % B B

ºº ºº ºº ^"_$ ^#_%ºº

risulta simile ad mediante la matrice   œ " " .

#  #

ºº ºº

I M 2) Data la matrice  œ si determini se esistono valori dei parametri

7 5 "

" !  "

"  " "

â â

7 e per i quali la matrice data ammette l'autovalore doppio 5 -œ !, e se la matrice risulta, in tale caso, diagonalizzabile.

I M 3) Dato il sistema lineare se ne studi esistenza e numero- ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

B  B  #B  #B œ #

#B  B  B œ "

B  #B  #B  5B œ 5

$B  %B  7B œ  $

" # $ %

" # %

" # $ %

# $ %

sità delle soluzioni al variare dei parametri e .7 5

I M 4) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , sapen-

" "  "  "

# " 7 #

" ! $ 5

â â

do che 0 "ß  "ß "ß  " œ !ß "ß " , si determinino le dimensioni dell'Immagine e del Nu- cleo di tale applicazione, nonchè una base sia per l'Immagine che per il Nucleo.

II M 1) Data l'equazione 0 Bß C œ ClogB  C /^CBœ ! e dato il punto P_! œ "ß ! , si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado per la funzione implicita C œ C B definibile mediante tale equazione.

II M 2) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:

ÚÝ Ý

ÛÝ Û

ÝÜ

Ú Ü

0 Bß C œ B  "  C C Ÿ B

C  B C Ÿ %  $B

# #

II M 3) Data la funzione 0 Bß C œ B C  BC  C^# ^# si determini se esistono punti Bß C nei quali risulta massima o minima W_@0 Bß C , dove è il versore di @ "ß  " .

II M 4) Determinare per quali valori di risulta definita, per quali semidefinita e per quali in-5 definita la forma quadratica U Bß Cß D œ B  5C  D  #BC  #CD^# ^# ^# .

Settembre 1-08

I M 1) Data l'equazione B  $B  %B  #B œ !^% ^$ ^# , calcolare le radici cubiche di una delle sue radici di modulo massimo.

I M 2) Data la matrice  œ , si determini se risulta diagonalizzabile mediante

$ # "

" % %

" # &

â â

una matrice ortogonale.

I M 3) Si determinino tutte le matrici simmetriche aventi l'autovettore "ß "ß ! corrispondente all'autovalore - œ ! e l'autovettore "ß  "ß ! corrispondente all'autovalore -œ ". Deter- minare poi il terzo autovalore e il relativo autospazio.

I M 4) Data la matrice  œ , determinare, al variare del parametro , la dimen-5

$ # "

" % 5

" 5 "

â â

sione del Nucleo e dell'Immagine dell'applicazione lineare generata da .

(4)

II M 1) Risolvere il problema . Max/min

s.v.:

ÚÝ Ý ÛÝ ÝÜ

Ú ÛÜ

0 Bß C œ B C  BC B !

C ! C Ÿ "  B

#

II M 2) Data la funzione 0 Bß C œ BC  B, siano e i versori di @ ? "ß " e "ß # . Sapendo che W@ P! e che W? P! , si determini P e si calcoli poi ! W# P .!

0 œÈ# 0 œÈ& ?ß@0

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B  C  #BC  B œ !^# ^# , dopo aver verificato che le con- dizioni del Teorema del Dini sono sempre soddisfatte, qualunque sia il punto scelto, si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado per la funzione implicita B Ä C B definibile mediante il punto P_! œ  "ß ! .

II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B  C  D  'CD  $B^$ ^$ ^# ^#, si studi la natura dei suoi punti stazionari.

Settembre 2-08 I M 1) Calcolare È^$ /^{log $ 3}¹ .

I M 2) Data la matrice  œ , si verifichi se essa risulta diagonalizzabile nel-

" # "

5 # "

! 5 "

â â

l'ipotesi che ammetta l'autovalore - œ ".

I M 3) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , si deter-

" # "

 " "  %

!  " 5

# " &

â â

mini il valore del parametro che rende massima la dimensione del Nucleo di tale applicazio-5 ne, si calcoli poi 0  'ß #ß # , e si determini infine una base per Nucleo.

I M 4) Data la matrice  œ , si determini il segno degli autovalori della sua ma-

" " "

" " !

" ! !

â â

trice inversa, che non sono calcolabili esplicitamente.

II M 1) Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo, assoluti e/o relativi, per la funzione 0 Bß C œ B  C  $B  'C^$ ^$ ^# ^# nella parte di piano compresa tra gli assi e la retta

C œ B  % .

II M 2) Determinare la funzione definibile implicitamente dall'equazione /  C œ B ^C logB nel punto "ß ! e di questa determinare l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

II M 3) Data la composizione di funzioni ‘^# Ä2 ‘Ä1 ‘Ä0 ‘^#ß > ß >_" _# Ä B Ä C Ä D ß D_" _# , si calcoli ` D ß D .

` > ß >

" #

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß Cß D œ B  C  D  B  C B  C  D œ #

B  C  D œ %

# # #

Novembre 08

I M 1) Sapendo che la somma di due numeri è e che il loro prodotto è , si calcolino le ra-' ") dici cubiche di uno di essi.

(5)

I M 2) Data la matrice  œ , si determini, per il valore del parametro che ren-5

" ! 5

" ! !

" " "

â â

de la matrice non invertibile, se la matrice risulta diagonalizzabile.

I M 3) Si determini se e in quanti modi il vettore ˜ œ "ß "ß 5ß 7 può essere espresso come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß #ß %ß " , —# œ #ß !ß %ß  # , —$ œ !ß "ß "ß " e

—_% œ  "ß #ß 7ß # .

I M 4) Data la matrice  œ , si verifichi che essa ammette un solo autovalore

" " !

! " "

" ! !

â â

reale, tenendo presente che gli autovalori della matrice non sono calcolabili esplicitamente.

II M 1) Data 0 Bß C œ B  C  $BC  $B  C^$ ^# , si calcoli la derivata direzionale del secondo ordine W^#_?ß@0 P , dove P è il punto di sella della funzione data, mentre e sono i ver-_! _! ? @ sori di "ß " e "ß  " .

œ 0 Bß C œ B  BC

B  %C Ÿ %^# ^#

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ /^BC 5B  C œ !, sapendo che essa è soddisfatta nel punto "ß ! , si determini quale tipo di funzione implicita può con essa essere definita, e si calcolino derivata prima e seconda di tale funzione.

II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B  BC^# , si determini la funzione J 3 *ß ottenuta mediante una trasformazione in coordinate polari 3 *ß Ä Bß C , e di J 3 *ß si calcoli la derivata nella direzione @ œ "ß $ nel punto ß œ "ß .

# #

È 3 * 1

Gennaio 09

I M 1) Calcolare le radici cubiche del numero che, moltiplicato per $  3 , da per risultato

%  #3 .

I M 2) Data la matrice  œ , determinare i valori del parametro per i quali5

# # 5

! "  "

" # !

â â

ammette autovalori multipli, e verificare se, in tali casi, la matrice risulti diagonalizzabile.

I M 3) Date le matrici œ e œ , determinare se la

"  " " " " "

 " " " " " "

" "  " " " "

â â â â

matrice  † risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare almeno una matrice che la diagonalizza.

I M 4) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , deter-

" #  $ "

# ! " 7

#  % 5 #

â â

minare per quali valori di e il Nucleo ha dimensione massima, e determinare poi per7 5 esso, in questo caso, una base costituita da vettori tra loro ortogonali.

II M 1) Data la composizione di funzioni ‘^$ Ä1 ‘^# Ä0 ‘ß > ß > ß >_" _# _$ Ä B ß B1 _" _# Ä C0 , calcolare fC > ß > ß >_" _# _$ esprimendolo come prodotto delle opportune matrici Jacobiane. Si applichi poi il risultato trovato al caso B ß B_" _# œ > > ß >  >_{" #} _$ _# ; C œ B  B_"^# _#^#.

(6)

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ BC  D /^BC  D /^BC œ !, con P_! œ "ß !ß " , determinare quale funzione implicita possa con essa definirsi e di questa calcolare le derivate prime.

œ 0 Bß C œ B C

%B  C Ÿ %

#

# #

II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B /  C /  D /^C ^D ^B, calcolare W_@0 !ß !ß ! e W^#_@ß@0 !ß !ß ! , dove @ è il versore di "ß "ß " .

Febbraio 1-09

I M 1) Data la matrice  œ , determinare almeno una matrice che la dia-

" ! "

! " "

 "  " "

â â

gonalizza. Può quest'ultima essere una matrice ortogonale ?

I M 2) Determinare tutte le applicazioni lineari 0 À‘^$ Ä‘^# per le quali una base per il Nu- cleo è costituita dai vettori —" œ "ß "ß " e —# œ "ß  "ß " . Determinare poi quella per la quale risulta 0 "ß #ß $ œ "ß # .

I M 3) Determinare, al variare dei parametri e , la numerosità delle soluzioni del sistema7 5 lineare omogeneo , e determinare una base per lo spazio delle so-

ÚÝ Ý ÛÝ ÝÜ

B  #B  #B œ !

 $B  B  )B œ !

#B  5B œ ! B  7B  #B œ !

" # $

" $

" # $

luzioni.

I M 4) Data la matrice  œ , determinare, al variare del parametro , la pre-5

" " ! !

! ! " "

! ! " 5

â â

senza di eventuali autovalori multipli.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  #C C Ÿ B

B Ÿ #  C

#

II M 2) Data la matrice ºº/ / ºº, determinare se esistono valori che rendono

C B Bß C

B B

#

massimo o minimo il valore del suo determinante.

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ D † /^CB C † /^DB œ !, si considerino i due punti P_" œ !ß "ß " e P_# œ "ß !ß ! che la soddisfano. Determinare in quale dei due punti sono soddisfatte le ipotesi del Teorema del Dini, stabilire quale tipo di funzione implicita può essere definita, calcolare l'equazione del piano tangente a tale funzione nel punto opportuno.

II M 4) Data la forma quadratica U Bß Cß D œ #5BC  B  C  D^# ^# ^#, determinare, al variare del parametro , quando tale forma risulti definita, semidefinita o indefinita.5

Febbraio 2-09 I M 1) Calcolare Ê^% &  3 &3  & .

"  3  #  3

I M 2) Dati i vettori —_" œ "ß  #ß !ß % , —_# œ "ß "ß "ß  " e —_$ œ 'ß  'ß 7ß 5 , si determini, al variare di e , la dimensione del sottospazio da essi generato.7 5

(7)

I M 3) Data la matrice  œ , si verifichi che non esistono valori del parametro 5

! ! !

! ! "

! " 5

â â

per i quali essa ammette autovalori multipli e, nel caso 5 œ !, si determini la matrice ortogonale che diagonalizza .

I M 4) Determinare se risulta diagonalizzabile l'inversa della matrice  œ .

" ! "

! " "

! ! "

â â

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C

#B  C Ÿ "

#C  B !

#

# #

II M 2) Risolvere il problema Max/min .

s.v.:

œ 0 Bß Cß D œ B  C  D B  C  D œ $^# ^# ^#

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß Dß A œ B C D  CDA  B  A œ ! , che risulta soddisfatto 1 Bß Cß Dß A œ B  C  D  A œ !

# # #

# $ # $

nel punto Pœ "ß "ß "ß " , si calcoli la matrice Jacobiana della funzione implicita Bß C Ä Dß A , da questo definita.

II M 4) Data 0 Bß C funzione differenziabile, sapendo che nel punto P la derivata nella dire-!

zione del vettore "ß " è pari a È# mentre la derivata nella direzione del vettore Š"ßÈ$‹ è pari a , determinare ! f0 P ._!

Aprile 09

I M 1) Calcolare le radici terze del numero complesso il cui modulo è pari a mentre l'argo-) mento è pari a $ .

%1

I M 2) Sapendo che, nella matrice  œ , la seconda riga è perpendico-

"  # " #

# ! # 5

7  % 7 #

â â

lare alla prima, e che la dimensione del Nucleo è massima, si determini una base per il Nucleo e una base per l'Immagine dell'applicazione lineare generata dalla matrice .

I M 3) Determinare il valore del parametro in modo tale che l'angolo compreso tra i vettori5

—œ "ß "ß  " e ˜œ "ß "ß 5 risulti uguale a °.$!

I M 4) Data la matrice  œ , determinare se esistono valori di per i5

" "  "

# 5 #

 # $ !

â â

quali la matrice ammette autovalori multipli e se, in tali casi, risulta diagonalizzabile.

Max/min s.v.:

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  %C Ÿ "

B  #C Ÿ !

# #

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B  C  D  $B  $D^$ ^# ^$ ^#, determinarne i punti stazionari e stabilir- ne la natura.

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B  #BC  C œ !^$ ^% , verificata in Pœ "ß " , determinare l'espressione del Polinomio di Taylor di II grado per la funzione implicita definibile in tale punto.

II M 4) Determinare l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di II grado per la funzione 0 Bß Cß D œ /^BC  /^CD  D^#.

œ &#34;ß  &#34;ß 7ß

œ "ß  "ß 7ß