MODULO 1• Meccanica UNITÀ 2• I moti rettilinei
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Consideriamo la velocità istantanea di un punto in movi- mento, che è una funzione del tempo v= v(t) definita in un opportuno intervallo I. Siano A la velocità v del punto in movimento in un istante t (= t1) di questo intervallo e B la ve- locità all’istante t+ Δ t(= t2). Costruiamo il rapporto incre- mentale della funzione v (t) relativo all’istante t e all’istante incrementato t+ Δ t:
Tale rapporto individua l’accelerazione media (scalare) che infatti è definita come il rapporto tra la variazione di ve- locità e l’intervallo di tempo in cui avviene tale variazione.
Se rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani ortogonali sull’asse x il tempo t e sull’asse y le corrispondenti velocità, as- sunte dal punto materiale, otteniamo una rappresentazione grafica della relazione tra velocità e tempo v= v(t). Il coeffi- ciente angolare della secante A(t,v(t)) e B(t+ Δ t,v(t + Δ t)) rappresenta il rapporto incrementale.
Δ Δ
Δ Δ v
t
v t v t
t t
v t t v t
t amedia
= −
− = + − =
( )2 ( )1 ( ) ( )
2 1
(( )t B
v (m/s)
t (s) O
A
accelerazione media
v(t + Δt)
v(t)
t + Δt t
Δt Δv
Considerato il rapporto incrementale della funzione velocità relativo all’istante t e al generico incremento Δ t facciamo tendere a 0 il rapporto incrementale :
Il limite a cui tende il rapporto incrementale per Δt → 0 è la derivata della velocità rispetto al tempo e fisicamente rappresenta l’accelerazione istantanea.
Anche in questo caso se consideriamo una rappresentazione grafica della relazione v= v(t) possiamo ricavare l’accelerazione istantanea. Come sappiamo il punto materiale può avere cambiato accelerazione diverse volte durante il percorso. Per misurare la velocità esattamente nell’istante t= t1consideriamo intervalli di tempo Δ t sempre più piccoli e vediamo che B si avvicina sempre di più ad A, mentre la retta secante ABi(i= 1, 2, ... n) si modifica. Se l’intervallo Δ t diventa così piccolo da tendere a 0, la secante ABitende a diventare la tangente al gra- fico in A. Conseguentemente se il coefficiente angolare della secante ABiindividua l’accelerazione media relativa al tratto ABi, il coefficiente angolare della tangente in A ci fornisce l’accelerazione nell’istante t.
Δ Δ v t
Δ Δ
Δ Δ
Δ Δ
t t
v t
v t t v
t v t a
→ = → + − = ′ =
0 0
lim lim ( ) ( )
t ( )
isttantanea( )t v (m/s)
t (s) O
passaggio al limite
v(t + Δt)
v(t)
t + Δt t
Δt A ≡ Bn Δv
tangente
B1 B2
B
v (m/s)
t (s) O
accelerazione istantanea
t
B
A
