1122 1122 1122 Na Na Na → → → 1222 1022 918 F Mg Ne + + + e e + − + + e e

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 1

1) Il nucleo ²⁷Si (Z=14) decade β⁺ nel nucleo stabile ²⁷Al (Z=13) che ha energia di legame 224.95 MeV.

L’energia cinetica massima del positrone emesso nel decadimento è 3.79 MeV.

a)  Calcolare l’energia di legame del nucleo ²⁷Si.

b)  Giustificare con la formula di Weizsacker, che la differenza di energia di legame dei nuclei ²⁷Si e

27Al è dovuta alla differenza di energia elettrostatica

c)  Calcolare il raggio dei nuclei con A=27 nell’ipotesi b)

[m_e=0.511 MeV/c² m_p=938.27 MeV/c² m_n=939.56 MeV/c²]

2) Il nucleo di deuterio ²H ha energia di legame 2.23 MeV, mentre il nucleo di trizio ³H ha energia di legame 8.48 MeV.

a) Calcolare l’energia che occorre per portare due nuclei di deuterio ²H alla distanza d=1.4x10^-13 cm e la temperatura corrispondente.

b) Se in queste condizioni avviene la reazione di fusione dei due nuclei di deuterio, indicare i prodotti dello stato finale e calcolare l’energia prodotta nella reazione di fusione.

[ k=8.6x10^-11 MeV/K m_p=938.27 MeV/c² m_n=939.56 MeV/c²]

3) Il nucleo di radio ²²⁶Ra (Z=88) decade α con un periodo di dimezzamento di 1602 anni. Scrivere la reazione di decadimento. Calcolare il numero di nuclei presenti in 1 g di radio e il numero di disintegrazioni al secondo. Tale numero è definito 1 Curie (Ci), ed è la storica unità di misura di attività.

4) Direi quali fra i seguenti decadimenti sono ammessi e quali proibiti sulla base del bilancio energetico

11

22

Na →

Mg + e

+ ν

ν

α

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 2

Valori delle masse: M(²²Na) = 20486.41 GeV/c², M(²²Mg) = 20492.49 GeV/c², M(²²Ne) = 20483.57 GeV/c², M(¹⁸F) = 16766.73 GeV/c², M(α) = 3728.17 GeV/c²

5) Calcolare l’energia di legame di un nucleo di ⁸Be. E’ un nucleo stabile?

(Massa del ⁸Be = 8.005305 amu; 1 amu = 931.582 MeV).

6) Utilizzando la teoria del decadimento a di Gamow, Condon, Gurney, stimare il tempo di vita medio del ²³²Th, considerando il decadimento

7) Determinare l’attività di 1 g di carbonio in un organismo vivente, sapendo che il rapporto fra gli atomi di ¹⁴C e ¹²C è 1.2 ×10^-12. Il tempo di dimezzamento del ¹⁴C è 5730 anni.

Se l’attività di 50 g di legno carbonizzato di un accampamento preistorico è 7200 disintegrazioni al minuto, determinare l’età dell’accampamento.

8) Una quantità di 200 mg di ²²⁶Ra ( λ_a =1.37×10⁻¹¹ s⁻¹) è racchiusa in un contenitore ermetico. Il Ra decade in ²²²Rn ( λ_b = 2.1×10⁻⁶ s⁻¹) che in condizioni normali è in forma gassosa. Ogni due giorni viene estratto dal contenitore tutto il Rn gassoso.

a) Quanti mC di Rn si hanno a disposizione dopo ogni estrazione ?

b) Quale sarebbe la quantità di Rn che si otterrebbe se, prima della estrazione, si attendesse che Ra e Rn arrivassero all’equilibrio ?

90

232Th → ²²⁸₈₈Ra +α Q = 4 MeV

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 3

Il nucleo ²⁷Si (Z=14) decade β⁺ nel nucleo stabile ²⁷Al (Z=13) che ha energia di legame

224.95 MeV. L’energia cinetica massima del positrone emesso nel decadimento è 3.79 MeV.

a)  Calcolare l’energia di legame del nucleo ²⁷Si.

b)  Giustificare con la formula di Weizsacker, che la differenza di energia di legame dei nuclei ²⁷Si e ²⁷Al è dovuta alla differenza di energia elettrostatica

c)  Calcolare il raggio dei nuclei con A=27 nell’ipotesi b)

[m_e=0.511 MeV/c² m_p=938.27 MeV/c² m_n=939.56 MeV/c²]

Soluzione

Il decadimento è

Per la conservazione dell’energia

Scriviamo le masse dei due nuclei intermini dell’energia di legame

14

27

Si →

Al + e

+ ν

B ( )

Si ^{= 14m}

^+13m

^{− M} ( )

^{Si ⇒ M} ( )

^{Si = 14m}

^+13m

^{− B} ( )

^Si

B (

Al ) ^{= 13m}

^+14m

^{− M} (

^Al ) ^{⇒ M} (

^Al ) ^{= 13m}

^+14m

^{− B} (

^Al )

Q = M ( )

Si ^{− M} (

^Al ) ^{− m}

^{= T}

^{+ T}

^{+ T}

^{≈ T}

^{+ T}

^{= T}

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

14m

+13m

− B ( )

Si ^−13m

^−14m

^{+ B} (

^Al ) ^{− m}

^{= T}

B ( )

Si ^{= B} (

^Al ) ^{− T}

^{− m}

^{− m}

^{+ m}

B ( )

Si = 224.95 − 3.79 − 939.56 − 0.511+ 938.27 = 219.359 MeV

Sostituendo le masse nell’espressione di Q si ricava

b) Dato che i nuclei hanno stesso numero di massa A, i termini di volume e superficie della formula semiempirica di massa sono uguali. A è dispari quindi il temine di pairing è nullo. Il termine di asimmetria è uguale essendo proporzionale a (N-Z)² che è uguale.

L’unico termine differente è quello coulombiano perché proporzionale a Z² che è 13 per Al e 14 per Si.

3)

E

= −0.86 Z Z −1 ( )

R( fm) MeV

ΔB = B^Al − B^Si = 224.95 - 219.359 = 5.591 MeV ΔB = E_C^Al − E_C^Si = −0.86 ×13×12

R + 0.86 ×14 ×13

R = 0.86 ×13× 2 R R = 0.86 × 26

5.591 fm = 4.0 fm

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 5

Il nucleo di deuterio ²H ha energia di legame 2.23 MeV, mentre il nucleo di trizio ³H ha energia di legame 8.48 MeV.

a) Calcolare l’energia che occorre per portare due nuclei di deuterio ²H alla distanza d=1.4x10^-13 cm e la temperatura corrispondente.

b) Se in queste condizioni avviene la reazione di fusione dei due nuclei di deuterio, indicare i prodotti dello stato finale e calcolare l’energia prodotta nella reazione di fusione.

[ k=8.6x10^-11 MeV/K m_p=938.27 MeV/c² m_n=939.56 MeV/c²]

Soluzione a)

b) La reazione di fusione dei due nuclei di deuterio è E = α!c

d = 3 2kT T = 2α!c

3kd = 2 ×197

3×137 × 8.6 ×10⁻¹¹×1.4 = 1.14 ×10⁻¹¹ K

1

2

H +

H →

H + p

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

L’energia liberata dalla fusione è data dalla differenza fra le masse iniziali e le masse dei prodotti

Ricaviamo le masse di deuterio e trizio dalle energie di legame che sono note

Sostituendo le masse nell’espressione di Q si ottiene

Q = 2M ( )

H ^{− M} ( )

^{H − m}

Q = 2 m ^⎡ ⎣

+ m

− B ( )

H ⎤

⎦− m ^⎡ ⎣

+ 2m

− B ( )

H ⎤

⎦− m

Q = −2B ( )

H ^{+ B} ( )

^H = −2 × 2.23+ 8.48 = 4.02 MeV

B ( )

H ^{= m}

^{+ m}

^{− M} ( )

^H = 2.23 MeV ⇒ M ( )

H ^{= m}

^{+ m}

^{− B} ( )

^H

B ( )

H ^{= m}

^{+ 2m}

^{− M} ( )

^H = 8.48 MeV ⇒ M ( )

H ^{= m}

^{+ 2m}

^{− B} ( )

^H

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 7

Il nucleo di radio ²²⁶Ra (Z=88) decade α con un periodo di dimezzamento di 1602 anni.

Scrivere la reazione di decadimento. Calcolare il numero di nuclei presenti in 1 g di radio e il numero di disintegrazioni al secondo. Tale numero è definito 1 Curie (Ci), ed è la storica unità di misura di attività.

Soluzione

88

226

Ra →

Rn + α

N₀ = m

M N_A =1× 6.02 ×10²³

226 = 2.7 ×10²¹

λ

τ

A₀ = N₀

λ

1602 × 365× 24 × 3600 = 3.7 ×10¹⁰ Bq

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

Esercizio 4

Direi quali fra i seguenti decadimenti sono ammessi e quali proibiti sulla base del bilancio energetico

Valori delle masse: M(²²Na) = 20486.41 GeV/c², M(²²Mg) = 20492.49 GeV/c², M(²²Ne)

= 20483.57 GeV/c², M(¹⁸F) = 16766.73 GeV/c², M(α) = 3728.17 GeV/c²

Soluzione

11

22

Na →

Mg + e

+ ν

Na →

Ne + e

+ ν

Na →

F + α

β

20486.41 < 20492.49 + 0.51 NO

β

20486.41 > 20483.57 + 0.51 SI

α

20486.41 < 16766.73 + 3728.17 NO

à  NUCLEO INSTABILE decade β

11

22

Na →

Mg + e

+ ν

11

22

Na →

Ne + e

+ ν

11

22

Na →

F + α

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 9

Calcolare l’energia di legame di un nucleo di ⁸Be. E’ un nucleo stabile?

La massa del Be è 8.005305 amu (1 amu = 931.582 MeV).

Soluzione

Stabilità rispetto a decadimento β.

Il minimo nella parabola di massa si ha per (Lez. 6 p.17)

Calcoliamo Z_min per A =8. I valori dei parametri sono a_C=0.71 a_A=93.2.

Quindi il nucleo è stabile per decadimento β

B ( )

Be ^{= 4m}

^{+ 4m}

^{− M} ( )

^Be = 4 × 938.27+4 × 939.56 − 8.005305× 931.582 = 53.72 MeV

Z

= 939.56 − 938.27 + 0.71× 8

+ 93.2

2 0.71× 8 (

+ 93.2 × 8

) ^{= 3.95 ≈ 4}

Z

= m

− m

+ a

A

+ a

2 a (

A

+ a

A

)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

Stabilità rispetto a decadimento α Il nucleo decade se

Sostituendo le energie di legame (per ⁴He B(4,2)=28.29 MeV) si ottiene la disuguaglianza

che è verificata, quindi il nucleo decade α

4

8

Be →

He +

He

Q = M (

Be ) ^{− 2M} (

^He ) > 0 ⇒ 2B (

He ) ^{> B} (

^Be )

2 × 28.29 = 56.58 > 53.72

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 11

Utilizzando la teoria del decadimento α di Gamow, Condon, Gurney, stimare il tempo di vita medio del ²³²Th, considerando il decadimento

Soluzione

90

232Th → ²²⁸₈₈Ra +

α

La probalità di fuga della particella α dal nucleo per effetto tunnel è

con

dove α è la costante di struttura fine e β la velocità della particella α all’uscita della barriera.

Consideriamo w_α=1 la probabilità che si sia formata nel nucleo la particella.

La velocità della particella nella buca di potenziale è

dove abbiamo considerato che la buca di potenziale (Modello di Fermi) è profonda ~40 MeV.

P = 1

τ ^{= w}

v

2R e

G = π(Z − 2)α β

v₀ = c 2(T_α +V )

M_αc² = c 2 × (4 + 40)MeV

4000 MeV = 0.15 c

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

Quindi il numero di collisioni sulla barriera per unità di tempo è

La velocità all’uscita della barriera è

Calcoliamo ora il fattore di Gamow

Mettendo tutti i termini nella formula di P otteniamo

Il valore calcolato di vita media del ²³²Th in base alla teoria di Gamow è in buon accordo con il valore sperimentale 1.4×10¹⁰ y .

v₀

2R = v₀

2R₀A^1/3 = 0.15 × 3×10⁸

2 ×1.2 ×10⁻¹⁵× 232

( )

21s⁻¹

G = π(Z − 2)α

β ⁼

π (90 − 2)

137 × 0.045 = 45 β = 2T_α

M_αc² = 2 × 4 MeV

4000 MeV = 0.045

P = v₀

2Re^−2G = 3×10²¹× e⁻⁹⁰ ≈ 3×10²¹×10⁻³⁹ = 3×10⁻¹⁸s⁻¹ τ = 1

P = 0.33×10¹⁸s=1.1×10¹⁰y

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 13

Determinare l’attività di 1 g di carbonio in un organismo vivente, sapendo che il rapporto fra gli atomi di ¹⁴C e ¹²C è 1.2 ×10^-12. Il tempo di dimezzamento del ¹⁴C è 5730 anni.

Se l’attività di 50 g di legno carbonizzato di un accampamento preistorico è 150 disintegrazioni al minuto, determinare l’età dell’accampamento.

Soluzione

Il numero di atomi in un 1 g di carbonio è

Il numero di atomi di ¹⁴C è

La costante di disintegrazione

Quindi l’attività di 1 g di carbonio in un organismo vivente è N = N_Am

A = 6.02 ×10²³

12 = 5.02 ×10²²

N

C

= 5.02 ×10

×1.2 ×10

= 6 ×10

λ = ln 2

T_1/2 = 1.21×10⁻⁴y^-1 = 3.8 ×10⁻¹²s^-1

N

λ = 0.23 Bq

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

L’attività di 50 g di legno carbonizzato è

dove t è il tempo passato da quando il legno fu bruciato nell’accampamento.

Applicando la legge del decadimento radioattivo

dove l’attività iniziale è quella di 50 g di un organismo vivente, cioè

Ricaviamo quindi t

A(t) =150 dis/min = 2.5 Bq

A(t) = A

e

A₀ = m × N14Cλ = 50 × 0.23 = 11.5 Bq

t = 1 λ ^ln

A₀

A(t) = 1

1.21×10⁻⁴ ln11.5

2.5 = 12612 y

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 15

Una quantità di 200 mg di ²²⁶Ra ( λ_a =1.37×10⁻¹¹ s⁻¹) è racchiusa in un contenitore ermetico. Il Ra decade in ²²²Rn ( λ_b = 2.1×10⁻⁶ s⁻¹) che in condizioni normali è in forma gassosa. Ogni due giorni viene estratto dal contenitore tutto il Rn gassoso.

a) Quanti mC di Rn si hanno a disposizione dopo ogni estrazione ?

b) Quale sarebbe la quantità di Rn che si otterrebbe se, prima della estrazione, si attendesse che Ra e Rn arrivassero all’equilibrio ?

Soluzione

a) Le equazioni per i decadimenti sono di ²²⁶Raಲ²Rn e del ²²²Rn sono

le cui soluzioni

dove abbiamo considerato che N_b(0)=0, dato che il Rn è estratto.

dN

dt = −λ

N

dN

dt = λ

N

− λ

N

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩

⎪ ⎪

N

(t) = N

(0)e

N

(t) = N

(0) λ

λ

− λ

^e

−λ_at

− e

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro

Considerando che λ_b >>λ_a possiamo approssimare il numero di atomi di ²²²Rn

Calcoliamo Na(0) cioè il numero di atomi di ²²⁶Ra

e sostituendo tale valore, per t=2g=172800 s si ottiene

L’attività del ²²²Rn estratto è

N

(t) = N

(0) λ

λ

− λ

^e

−λ_at

− e

⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ≈ N

(0) λ

λ

^{1− e}

−λ_bt

⎡ ⎣ ⎤ ⎦

N

(0) = m N

M = 200 ×10

× 6.02 ×10

226 = 5.33×10

N

(2g) = N

(0) λ

λ

^{1− e}

−λ_bt

⎡⎣ ⎤⎦= 5.33×10

1.37 ×10

2.1×10

( 1− e

) ^{=1.056 ×10}

A = N

(2g) λ

=1.056 ×10

× 2.1×10

= 2.2176 ×10

Bq = 2.2176 ×10

Bq

3.7 ×10

Bq/Ci =59.7 ×10

Ci

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 4 Paolo Maestro 17

da cui si ricava

e la corrispondente attività

N

λ

= N

λ

N

= N

λ

λ

^{= 5.33×10}

20

1.37 ×10

2.1×10

= 3.48×10

A = N

λ

= 3.48×10

× 2.1×10

= 2.2176 ×10

Bq = 2.2176 ×10

Bq

3.7 ×10

Bq/Ci =196.7 ×10

Ci