Analisi Matematica 1

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INGEGNERIA INFORMATICA E AUTOMATICA A.A.2009/2010

CANALE A–K

Analisi Matematica 1

Parte II

DIARIO DELLE LEZIONI

Prof. Dario Salvitti

9 novembre 2009 _{1 ora} Presentazione del corso.

Il problema del calcolo dell’area come limite di somme approssimanti per difetto o per eccesso.

Bibliografia : [1] §§6.1;6.2 10 novembre 2009 _{2 ore}

Calcolo dell’area per funzioni continue positive. Successioni di aree di plurirettangoli come approssimanti per eccesso o per difetto. La differenza fra gli approssimanti per ec- cesso e quelli per difetto tende a zero. Le successioni di approssimanti sono monot` one limitate. L’integrale definito.

Un esempio di funzione non continua che non ` e integrabile.

f(x) =

⎧ ⎨

⎩

1 se x ∈ [0, 1] ∩ Q 0 se x ∈ [0, 1]\Q

Bibliografia : [1] §§6.2 11 novembre 2009 _{4 ore}

Propriet` a dell’integrale definito: linearit` a, positivit` a, mono- tonia, disuguaglianza del valore assoluto, additivit` a rispet- to all’intervallo di integrazione. Il teorema della media integrale.

Primo teorema fondamentale del calcolo. Le primitive di una funzione continua. Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante. L’integrale indefinito. Secon- do teorema fondamentale del calcolo. Primitive di funzioni elementari.

Bibliografia : [1] §§6.3; 6.4; 6.5.1; 6.8 12 novembre 2009 _{2 ore}

Metodi di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti.

Bibliografia : [1] §§6.5;

16 novembre 2009 _{1 ora}

Calcolo dell’area compresa tra due curve. Esercizi.

Bibliografia : appunti.

17 novembre 2009 _{2 ore} Integrazione di funzioni razionali.

Bibliografia : [1] §§10.1;

18 novembre 2009 _{4 ore}

Integrazione di funzioni razionali nel caso generale. Inte- grazione di semplici funzioni irrazionali. Integrazione di fun- zioni goniometriche. Sostituzione con funzioni iperboliche.

Integrali impropri: integrazione di funzioni non limitate su domini limitati.

Bibliografia : [1] §§10.2; 7.1; 7.2: 7.3 19 novembre 2009 _{2 ore}

Integrazione di funzioni su domini illimitati. Criteri di con- vergenza del confronto e del confronto asintotico, al finito e all’infinito. Integrabilit` a assoluta. L’integrabilit` a assolu- ta implica l’integrabilit` a. Convergenza della serie armonica generalizzata.

Bibliografia : [1] §§7.4: 7.5 23 novembre 2009 _{1 ora}

Criterio di condensazione. Serie di Abel.

Bibliografia : appunti 24 novembre 2009 _{2 ore}

Esercizi sugli integrali impropri. Dimostrazione della con- vergenza di



0

sin(x

) dx. Dimostrazione dell’integrabilit` a e della non integrabilit` a assoluta della funzione ^{sin x}

x in [1, +∞).

Bibliografia : appunti 25 novembre 2009 _{4 ore} Derivata della funzione F (x) = 

a(x)

f(t) dt. Studio delle funzioni integrali.

Equazioni differenziali ordinarie. Risoluzioni delle equazioni a variabili separabili e delle equazioni lineari di I gra- do. Integrale generale e integrali particolari. Problema di Cauchy.

Bibliografia : [1] §§6.8: 7.1; 7.2 26 novembre 2009 _{2 ore}

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omoge- nee: equazioni del secondo ordine ed equazioni di ordine qualunque.

Bibliografia : [1] §§7.3.1; 7.3.2; 7.3.4; 7.4 30 novembre 2009 _{1 ora}

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omo- genee. Teorema di struttura delle soluzioni. Metodo della somiglianza.

Bibliografia : [1] §§7.3.3; 7.3.5

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1 dicembre 2009 _{2 ore}

Esercizi sulle equazioni lineari a coefficienti costanti nei vari casi contemplati dal metodo della somiglianza. Il principio di sovrapposizione. Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Bibliografia : [1] §§7.3.5 2 dicembre 2009 _{4 ore}

Funzioni a pi` u variabili. Domini di funzioni a due variabili.

Funzioni della forma f(x, y)

. Interpretazione grafica di un sistema di disequazioni a due incognite. Punti di accumulazione, limiti al finito. Coordinate polari.

Bibliografia : [1] §§10.2.1; 10.2.2; 10.3.1

3 dicembre 2009 _{2 ore}

Limite all’infinito di funzioni a due variabili. Funzioni con- tinue. Derivate parziali. La derivabilit` a non implica la con- tinuit` a. Derivate miste. Teorema dell’inversione dell’ordine di derivazione. Derivate successive.

Bibliografia : [1] §§10.2.1; 10.4.1; 10.5.1 9 dicembre 2009 _{4 ore}

Controesempio al teorema dell’inversione dell’ordine di derivazione:

f(x, y) =

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

xy x

− y

x

+ y

per ( x, y) = (0, 0)

0 per (x, y) = (0, 0),

Esempi di : funzioni f(x, y) discontinue ma continue nelle due variabili separatamente; funzioni che non ammettono limite per (x, y) → (x

, y

) ma che hanno lo stesso valore limite su qualunque retta per ( x

, y

); funzioni che non am- mettono limite per ( x, y) → (x

, y

) ma per le quali esistono i limiti iterati lim

x→x0

lim

y→y0

e lim

y→y0

lim

x→x0

; funzioni che ammet- tono limite per (x, y) → (x

, y

) ma per le quali non esistono i limiti iterati lim

x→x0

lim

y→y0

e lim

y→y0

lim

x→x0

.

Equazione del piano tangente. Differenziabilit` a. La dif- ferenziabilit` a implica la continuit` a. Funzioni di classe C

(D), D aperto ⊂ R

. Criterio sufficiente per la differen- ziabilit` a (teorema del differenziale totale). Controesempio:

f(x, y) =

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x

y

cos 1

x

y

per xy = 0

0 per xy = 0,

Bibliografia : [1] §§10.4.2; 10.4.3 10 dicembre 2009 _{2 ore}

Esempio di limite in due variabili in cui la funzione f(ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) non `e uniformemente limitata in ρ :

f(x, y) =

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ x

y

x

+ y

per (x, y) = (0, 0) 0 per (x, y) = (0, 0).

Il differenziale di una funzione. Derivate direzionali. For- mula del gradiente. Gradiente come indicatore di massimo accrescimento.

Bibliografia : [1] §§10.4.3; 10.4.4 14 dicembre 2009 _{1 ora}

Massimi e minimi relativi per funzioni di due variabili. Punti critici. Teorema di Fermat. Hessiano. Condizione sufficiente per la determinazione della natura dei punti critici.

Bibliografia : [1] §§10.6.1; 10.6.3 15 dicembre 2009 _{2 ora}

Calcolo del volume del sottografico di una funzione continua z = f(x, y). Formula dell’integrale iterato. Integrali doppi su domini rettangolari. Domini x−semplici, y−semplici, regolari. Esempi.

Bibliografia : [1] §§12.1.1;

16 dicembre 2009 _{4 ore}

Calcolo del volume di una semisfera come integrale doppio.

Cambiamenti di variabile, jacobiano di una trasformazione.

Coordinate polari. Trasformazioni x = x(u, v), y = y(u, v) ad hoc. Esercizi.

Bibliografia : [1] §§12.1.2;

17 dicembre 2009 _{2 ore}

Esercizio sui massimi e minimi relativi ed assoluti di una funzione di due variabili su un dominio limitato chiuso.

Termine corso

Riferimenti bibliografici

[1] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

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